關鍵詞 高中數學 計算機 科技 科普

1.集合元素個數的相等

設A，B分別是有限集合，A，B如果元素個數一樣，當且僅當可以找到一種1-1對應的映射，實現A集合與B集合的互相映射。對忘記了數學，或者剛開始接觸高中數學課程的同學，這話說的夠彆扭，夠“高端”，其實無非是小學一年級就知道的用數數東西的泛化。

A={1,2,3},B={a，b，c}

1a，2b，3c

則|A|=|B|,其中|X|代表X集合中元素的個數。如果兩個集合的元素是無窮多個，用數來具體表示集合元素的個數已經不可能了，所以數不能做為精確表達集合大小的工具。將集合元素的映射關係做為比較集合的大小的工具才可行。

例如全體負整數集合，{……,-3,-2,-1}與全體正整數集合{1，2，3，….}可以建立對應關係1->-1,2->-2,3->-3,…..,我們就可以建立這兩個集合大小”相等”的印象。我們再看全體正偶數集合N2={2，4，6，8，……,2n,2n+2，……}與全體正整數集合N={1,2,….,n，n+1，…..} 也可以建立起對應關係：1->2,2->4,3->6,…..,n->2n,….。但是N2卻是N的真子集。

被很多人認為是現代數學基石的集合論出現的很晚，發明的動機也非常單純，是1874年，在康托爾CANTOR）的一篇論文裡出現的。1872年，一次旅行讓康托爾認識了理查德.戴德金（Richard.Dedekind德國的數學家）。理查德. 戴德金一直獨立研究無理數以及數的連續性問題，康托爾在其影響下開始從數論研究轉向三角函數展開序列（傅里葉變換）唯一性研究。他抓住了從我們1年級就知道的相等與對應的這個工具，利用這個工具，他研究了一系列無限序列的性質。如果一個無限集合可以用全體正整數來實現對應的話，那麼這個無限集合就被稱為可數集合。在康托爾論證超越數的存在性以及實數的不可數性時，他的核心技巧被稱為對角線技巧。這一方法後來在數理邏輯，計算機科學的理論基礎建立過程中也扮演了重要角色。

2.有理數的可數性

圖1有理數對角線法

對每個對角線上的*上依次編碼為1，2，3，.......，那麼左邊的有理數就可以和自然數1，2，3，......，建立起1-1對應的關係，所以有理數可數。

3.全體代數數的可數性

康托爾考察了形式為

的所有方程f(x,n)= 0的實數解總共有多少個的問題。其中全部a_i被限定為整數。如果方程的係數a_i全都是有理數，那麼可以乘以分母的最小公倍數，變為整數方程。在處理這個問題時，康託為任何一條上面的方程定義了下面這樣一個標記：

Index =|a_n| + |a_n-1| + |a_n-2| + ... + |a₁| + |a₀| + n

對Index=3來說，只有四個方程，分別是：2x=0, x + 1 = 0, x - 1 = 0 and x² = 0，解只有3個：0，-1，1.

這個Index後來被人形象地稱為方程的“高”（high），記作h.對每一個高h,只有有限多個方程，而每個方程又只有有限解，高為h的所有方程的總解數目必然是有限數.如果將全體方程f(x,n)= 0按其高h加以分類，用h乘以h類裡含有的各個方程解數之和的話，會得到這個類裡方程解的總數，累加起來，就可以獲得其高小於等於h的方程解的總數目，設這個總數目為M

對高為h方程全體解進行排序，獲得一個解序列，讓第i個實數解對應小於h的各類裡方程的總解數M_h-1數加上i，這樣任何一個解就可以用唯一一個自然數進行編號。方程f(x,n)= 0的所有解的編號都可以對應唯一的自然數。

通過這種辦法康託將f(x,n)= 0的全體實數解與自然數建立起了對應的關係，這樣他得到了方程f(x,n)= 0所有代數解是可用自然數來“數”數或者計數這樣一個重要結果。

4.實數的不可數性證明

利用集合論，我們來證明實數的不可數性。

設f是由“0”，“1”組成的無窮串。可以用函數f: N->{0,1}，N={0，1，2，。。。}是自然數集合來表達這種無窮串。以101010…..為例，則f(0)=1,f(1)=0,f(2)=1,….一個序列f的特徵可以用集合C={i|i ∈N,f(i)=1}來表達，對任意自然數i,如果i∈C,則f(i)=1，反之則f(i)=0.

f反碼形式的串f’的特徵函數顯然有這樣的特性f’(i)=1-f(i).現在我們證明引理

康托爾引理：所有“0”，“1”組成的無窮串數目是不可數的。

康托爾定理：所有實數的集合不可數。

證明：因為二進制數0.101….可以與101。。。。形成1-1映射，故所有的0.101…

也不可數，全體0.101…是實數的子集合，所以實數也不可數,證完

推論：超越數是存在的，且實數中超越數的數目不可數。

證明：有理數與代數都是可數集，而實數是不可數集，所以實數中除了有理數，代數數還有另外的數不能用整數的加減乘除，以及開方算式表達，這樣的數就是超越數了。而這類的超越數不可數。

以上的簡單推理是近150年來數學中最偉大的推理之一，不論是其中對角線方法對20世紀數學發現的啟示作用，還是人類對數本身的分類認識上，以上推理均為近代數學中最為重要的工作之一。

康托爾將一個集合（SET）的任意元素可以與另外一個集合的元素對應起來的兩個集合，叫做等勢（POWER）集合。顯然即使都是無窮數的集合，有理數集合的勢比全體實數的集合的勢小，而與方程f(x,n)= 0的代數解的勢一樣大。這就明確指出了，無理數比有理數多得多！同時，他也指出了必然有一些數不能表達成代數數，這些數就是超越數，超越數比代數數多得多！這是種以前從來沒出現過的描述問題，證明命題的方法。後來的人發現這種集合思想非常適合於論述基本數學對象，證明相關命題，遂成為今天的集合論。

實數的任何一個連續區間段也是不可數的，但任何兩個線段之間可以建立起映射關係，我們簡單用圖說明.

如圖X’->X。即使是可數的多個實數區間也可以與一個線段建立起對應關係，無非是將線段分成若干個與每一個區間對應的一小段，然後每一小段就按上圖進行對應就可以了。因此每個連續實數區間都與全體實數形成對應關係，都等勢。

以康托爾研究為基礎，希爾伯特進一步發問：在可數集合與實數集合之間是否存在一箇中間集合，其勢比可數集合大，比實數集合小，做為20世紀初提出的23個著名問題的第一個問題：連續統問題。這充分證明了大家對康托爾工作的肯定。

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關鍵字: 集合論 個數 約瑟夫·傅里葉