日本数学家望月新一的论文与无法测透的证明

当有数学家宣称解开了某一知名的猜想,却没有人能解读,那数学界该怎么反应?任职于京都大学的数学家望月新一(Shinichi Mochizuki),在2012年于其个人网站刊注销四篇论文,共五百多页,宣称已证明数论中很重要却未被证实的猜想“ABC 猜想”(ABC conjecture)。但从论文发布至今,每个曾尝试解读此证明的数学同行,在经过一段时间的努力后,都只能绝望的放弃。

日本数学家望月新一的论文与无法测透的证明

数学界在过去几十年中,曾出现几件轰动一时的大新闻。 1994 年,悬宕近三百年的费马最后定理被英国数学家怀尔斯(Andrew John Wiles)解开,2003 年,庞加莱猜想由俄罗斯隐士数学家裴瑞尔曼(Grigori Yakovlevich Perelman)所破解,而最为大众所熟知的是在2013年,当时仍名不见经传的华人数学家张益唐,证明存在无穷多对质数距离都小于7000 万。望月新一在几年前提出 ABC 猜想的证明时,也让数学界震撼不已,许多国际知名媒体都曾大幅报导。

ABC 猜想是在 1980 年代分别由两位数学家分别提出,它的内容其实不难理解。假设有三个正整数 a、b、c,满足 a+b=c,三数互质(没有大于 1 的公因素)。令 d 为 a、b、c 三数的质因素乘积,那 d 通常会比 c 大。举例来说,a=3,b=7,c=3+7=10,a、b、c 三数互质,d=3×7×2×5=210,d>c。

ABC 猜想为何如此重要,主要有两个原因。一是从主动来说,a 和b 的质因素与两者加总的质因素应该没有任何关系,但此猜想却将它们连在一起,意味着如果a 和b 能被许多数值较小的质数分解,那能分解c 的质数将很少且较大。往前推一步,如果ABC 猜想被证明是正确的,将颠覆我们一般认知──在加法和乘法的代数交互上,会产生无限可能和不可解问题,换句话说,在加法、乘法和质数之间,一定存在人类未曾触及过的某种关联。

另一个原因是 ABC 猜想能证实许多知名且尚未解决的难题,例如费马最后定理的推广猜想、Mordell 猜想、Erdős–Woods 猜想等。此外ABC 猜想还能间接推导并简化很多已被证明的重要定理,比如怀尔斯用几百页的篇幅证明了费马最后定理,但如果ABC 猜想被证明,那么要证明费马最后定理只需一页的篇幅。 ABC 猜想在数论的应用非常广,甚至可以衍生证明超过二十个定理。

望月新一自小是天才儿童,16 岁就读美国普林斯顿大学数学系,19 岁毕业,22 岁拿到数学博士学位。他在二十几岁时就在远阿贝尔几何(Anabelian geometry)领域做出重大贡献,还被邀请到四年一度的国际数学家大会上演讲。但在 1988 年他突然消失于数学界,潜心研究 ABC 猜想,他所使用的数学工具,正是远阿贝尔几何。在苦心研究二十几年后,望月以自己独创的“宇宙际Teichmüller”(Inter-Universal Teichmüller)理论,证明出 ABC 猜想。

但当数学界兴致勃勃的想要解读望月的论文,却发现里面的所有公式就像来自未来的产物,整篇论文就像天书一样,所有的概念与定义都无法连接到现有的语言或技术;再加上作者一些古怪的坚持,不想在大众面前发布、不想到处旅行解释他的发现等。种种的一切让这份论文越难被解读。

有鉴于过去望月在数学领域非常细腻与杰出的研究,数学界并没有将它束之高阁,或干脆视它为“不可能成功”的证明,而是为此举办会议,招聚当今世界顶尖的数学家共同讨论。由克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute)与牛津大学数学研究所共同资助的研讨会,虽然望月没有与会,却有许多优秀的理论学家或算数几何学家参与其中,但会议宗旨并非去证明望月的论文是对的,而是去装备这群人,让他们有足够的背景知识来阅读望月的论文。

“但会议的结果却令人感到挫折”,参与其中的佛罗里达大学数学教授 Knudson 指出。特别是在会议最后两天,底下的听众一再要求提出说明性例子,讲者却只能再次保证那不知何时能套现的诺言。 Knudson 认为,对于探索望月论文中的未知世界,数学家看起来没有多少耐心,但或许还是能激发出一些人想要更深入挖掘的动力。

根据望月自己的说法,要读懂他的论文,数学所研究生需要花10 年左右的时间,英国诺丁汉大学数论学家Fesenko 则表示,就算是学有专精的算数几何学家,也要花上500 小时才能看懂。而到目前为止,全世界只有四位数学家表示能完全读懂所有的证明。

望月可说是孤寂的天才。熟识他的人说,望月并非天生性格内向,但他非常专注于自己的数学研究中。这对许多成名甚早,往后却因过多的荣耀与邀约,而失去通透心灵的数学家而言,望月能在人生达到第一次学术高峰时,断然远离会令其分心的学界,追求研究上的卓越,可说是相当不容易。或许他明白要远离人群,独自在数学理论中遨游,才有机会更上层楼,解开宇宙中最深邃难解的谜题。

但可惜的是,望月却忽略一件事,他忘记伟大的研究是需要让众人理解,也需要花费心思去解释,否则只会让一切的努力枉然,也将想要更进一步认识他的人阻挡于墙外。就如同牛津大学教授Minhyong Kim 对望月的行事作风所下的评论:“当沉浸在自己的理论世界太久,会发现不到他人所发出的困惑,因为你先入为主地假设了所有人都明白很多基础知识。”


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