素數定理自 Gauss 與 Legendre 以經驗公式的形式提出 (詳見 第三節) 以來， 許多數學家對此做過研究。 其中一個比較重要的結果是由俄國數學家 Pafnuty Chebyshev (1821-1894) 做出的。 早在 1850 年， Chebyshev 就證明了對於足夠大的 x， 素數分佈 π(x) 與素數定理給出的分佈 Li(x) 之間的相對誤差不會超過 11%。
（Pafnuty Chebyshev。圖片來自網絡）
但在 Riemann 1859 年的研究以前， 數學家們對素數分佈的研究主要侷限在實分析手段上。 從這個意義上講， 即使撇開具體的結果不論， Riemann 建立在複變函數之上的研究僅就其方法而言， 也是對素數分佈研究的重大突破。 這一方法上的突破為素數定理的最終證明鋪平了道路。
在第五節的末尾我們曾經提到， Riemann 對素數分佈的研究之所以沒能直接導致素數定理的證明， 是因為人們對 Riemann ζ 函數非平凡零點的分佈還知道得太少。 那麼， 為了證明素數定理， 我們起碼要知道多少有關 Riemann ζ 函數非平凡零點分佈的信息呢？ 這一問題的答案到了 1895 年隨著 von Mangoldt 對 Riemann 論文的深入研究而變得明朗起來。 von Mangoldt 的研究我們在第五節中已經提到過， 正是他證明了 Riemann 關於 J(x) 的公式。 但 von Mangoldt 那項研究的價值比僅僅證明 Riemann 關於 J(x) 的公式要深遠得多。
von Mangoldt 在研究中使用了一個比 Riemann 的 J(x) 更簡單有效的輔助函數 Ψ(x)， 它的定義為：
Ψ(x) = Σn
其中 Λ(n) 被稱為 von Mangoldt 函數 (von Mangoldt function)， 它對於 n=pk (p 為素數， k 為自然數) 取值為 ln(p)； 對於其它 n 取值為 0。 運用 Ψ(x)， von Mangoldt 證明了一個本質上與 Riemann 關於 J(x) 的公式相等價的公式：
Ψ(x) = x - Σρ(xρ/ρ) - (1/2)ln(1-x-2) - ln(2π)
其中有關 ρ 的求和與 Riemann 的 J(x) 中的求和一樣， 也是先將 ρ 與 1-ρ 配對， 再依 Im(ρ) 從小到大的順序進行。
很明顯， von Mangoldt 的 Ψ(x) 表達式比 Riemann 的 J(x) 簡單多了。 時至今日， Ψ(x) 在解析數論的研究中差不多已完全取代了 Riemann 的 J(x)。 引進 Ψ(x) 的另一個重大好處是早在幾年前， 上文提到的 Chebyshev 就已經證明了素數定理 π(x) ~ Li(x) 等價於 Ψ(x) ~ x。 為了紀念 Chebyshev 的貢獻， von Mangoldt 函數也被稱為第二 Chebyshev 函數 (second Chebyshev function)。
將這一點與 von Mangoldt 有關 Ψ(x) 的那個本質上與 Riemann 關於 J(x) 的公式相等價的公式聯繫在一起， 不難看到素數定理成立的條件是 lim
x→∞Σρ(xρ-1/ρ)=0。 這一條件啟示我們考慮 xρ-1 在 x→∞ 時趨於零的情形。 而要讓 xρ-1 在 x→∞ 時趨於零， Re(ρ) 必須小於 1。 換句話說 Riemann ζ 函數在直線 Re(s)=1 上必須沒有非平凡零點。 這就是我們為證明素數定理而必須知道的有關 Riemann ζ 函數非平凡零點分佈的信息。 由於 Riemann ζ 函數的非平凡零點是以 ρ 與 1-ρ 成對的方式出現的， 因此這一信息等價於 0
讀者們大概還記得， 在 第五節 中我們曾經提到過 (證明參閱 附錄一)， Riemann ζ 函數的所有非平凡零點都位於 0≤Re(s)≤1 的區域內。 因此為了證明素數定理， 我們所需知道的有關 Riemann ζ 函數非平凡零點分佈的信息要比我們已知的 (也是當時數學家們已知的) 略多一些 (但仍大大少於 Riemann 猜想所要求的)。 這樣，在經過了 Chebyshev、Riemann、 Hadamard 和 von Mangoldt 等人的卓越努力之後， 我們離素數定理的證明終於只剩下了最後一小步： 即把已知的零點分佈規律中那個小小的等號去掉。
這一小步雖也絕非輕而易舉， 卻已難不住在 Riemann 峰上攀登了三十幾個年頭， 為素數定理完整證明的到來等待了一個世紀的數學家們。 von Mangoldt 的結果發表後的第二年 (即1896 年)， Hadamard 與 Vallée-Poussin 就幾乎同時獨立地給出了對這最後一小步的證明， 從而完成了自 Gauss 以來數學界的一個重大心願。 那時 Stieljes 已經去世兩年了。
經過素數定理的證明， 人們對於 Riemann ζ 函數非平凡零點分佈的瞭解又推進了一步， 那就是證明了Riemann ζ 函數的所有非平凡零點都位於複平面上 0
素數定理的證明——尤其是以一種與 Riemann 的論文如此密切相關的方式所實現的證明——讓數學界把更多的注意力放到了 Riemann 猜想上來。 四年後 (即 1900 年) 的一個夏日， 兩百多位當時最傑出的數學家會聚到了巴黎， 一位 38 歲的德國數學家走上了講臺， 作了一次永載數學史冊的偉大演講。
(David Hilbert。圖片來自網絡）
演講的題目叫做 “數學問題”，演講者的名字叫做 David Hilbert (1862-1943)， 他恰好來自 Gauss 與 Riemann 的學術故鄉——群星璀燦的 Göttingen 大學。 他是 Göttingen 數學精神的偉大繼承者， 一位與 Gauss 及 Riemann 齊名的數學巨匠。 Hilbert 在演講稿中列出了二十三個對後世產生深遠影響的數學問題， Riemann 猜想被列為其中第八個問題的一部分， 從此成為整個數學界矚目的難題之一。
二十世紀的數學大幕在 Hilbert 的演講聲中徐徐拉開， Riemann 猜想也迎來了一段新的百年征程。
（摘自《黎曼猜想漫談：一場攀登數學高峰的天才盛宴》，作者：盧昌海）
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