吳晶君（上海市華東師大一附中實驗中學）
劉海濤
摘要：變異理論是世界著名教育學論專家、瑞典哥德堡大學教授馬飛龍提出來的。在變異理論指導下進行初中數學變式教學，要突出體現問題本質和解決問題的基本規律。在教學實踐中，對題目可進行遞進變異、討論變異、背景變異、問題變異或圖形變異。
關鍵詞：遞進變異；討論變異；背景變異；問題變異；圖形變異
變異理論是世界著名教育學論專家，瑞典哥德堡大學教授馬飛龍提出的。該理論超越了傳統遷移理論對不同情境間的共同要素的重視，注重對所學內容的關鍵屬性進行區分，從而從具體事例中分離出普遍原理。變異理論的基本觀點：一是如果僅在一個實例中，一般和具體完全糾結在一起，前者內隱，後者外顯，因此很難對二者進行區分和分離。如果有兩個反映同一原理且彼此之間有足夠差異的實例，那麼二者共通之處（原理）就有可能同二者不同之處（實例）區分開。學習者接觸的實例越多，他們就越有可能排除其他差異特徵，進而把原理作為基本屬性或唯一的共性識別出來。二是沒有共同性當然就不會有遷移，但是沒有差異性也不會有遷移，二者同樣重要。我們之所以能認識事物的特徵，是因為這些事物有些方面相同而有些方面不同。因此，遷移在其本質上，正是差異性和共同性一起作用的結果。
作為一名數學教師，都有這樣的體驗，一道題目，教師講過，但學生還是不能獨立完成原題或類型題的解答，究其原因是學生沒有掌握解此類問題的一般規律。因而在數學教學中，對典型的例題，需要學生掌握解題規律。依據變異理論，僅從一道題目中讓學生掌握解題規律是不現實的，學生不能從中發現並掌握規律。因此，在教學中要對例題進行適當的變式，這樣學生可以從中發現相同點與不同點，掌握一般的解題規律，有利於遷移發生，那麼如何對典型例題進行變式，筆者依據變異理論，對例題的變式教學進行了實踐與思考。
一、遞進變異
遞進變異是指題目由特殊到一般的變異，而解題需要的基礎知識保持不變。一是題目的條件由特殊到一般，由簡單到複雜變異，這樣可形成遞進式變式題組。遞進式變式題組是指在課堂教學中，為了達到某一教學目的，根據學生的認知規律，合理、有效地設計一組數學問題，且這組數學問題又有一定的內在邏輯聯繫，即前一個問題是後一個問題的特殊情況，後一個問題是前一個問題的一般的、情況，這樣由特殊到一般的題目組合稱為遞進式變式題組。這種遞進式變式題組，層層遞進，由淺入深，由簡到繁，循序漸進，螺旋式上升，有利於學生對問題本質的深刻理解，進而掌握解題規律、突破教學難點。二是在解題的一般規律不變的情況下，通過變化非本質屬性，有利於學生從中分離出一般的規律。三是有利於不同層次的學生。由於問題由簡單到複雜，可使不同層次的學生順著臺階一步步的往上爬，並從中掌握一般規律。例如，在“分式”的教學中，設計如下作業。
案例1：
以上三道題，分式的分子由x-3，變式為
，分子為0的條件不斷增加。分母由2x-1變式為x-3，使得出現分子為0時，分母為0的情況。三道題目各不相同，均有差異，但其解題的本質是分式值為0的條件，分子為0而分母不為0，通過這樣有層次的三道題目，既可以使學生髮現解題的本質，又可使不同的學生找到自己的解題切入點，從而有利於不同層次的學生總結出解題的規律，形成對此類問題完整的數學認知結構。
二、討論變異
討論變異是指題目的變異向著需要分類討論的方向變異。一是數學概念是思維的細胞，是思維的基本單位。數學概念是數學教學的核心，是構成判斷、推理的要素，概念明確是思維合乎邏輯的基本要求。因而對概念的理解直接影響學生的數學思維能力。二是數學概念本身是陳述性知識，但如果運用概念解題，就屬於程序性知識，在解題教學中，學生才能理解概念的本質。三是通過分類討論使學生理解概念的本質。例如，對一元一次方程概念的理解，設計如下作業。
案例2：
三、背景變異
背景變異是指問題的背景變異，而解決問題的方法不變。同一類問題，當背景發生變化時，其解題的方法不變.一是有利於學生從中發現解題的一般規律. 二是有利於提高學生的概括能力。學生要從不同的背景題目中，總結、概括出一般的規律，需要一定的思維操作. 三是有利於學生擴大類比遷移的範圍。例如，在找規律問題中，運用背景變異設計如下作業。
案例3：
（1）如圖1，觀察圖形，並填寫表1.
問題變異是指問題不同，但解決問題所依據的數學方法是相同的。數學來源於生活，生活中很多問題均可轉化為方程問題。著名數學家笛卡兒曾設想一個解決所有問題的通用方法，首先將任何問題轉化為數學問題，然後將數學問題轉化為代數問題，最後將任何代數問題化歸為方程問題。要使學生掌握一類問題的解決方法，通過所要解決具體問題的不同，以使學生從中概括出解決問題的基本數學方法. 既有利於提高學生的概括能力，又可使學生形成解決某類問題的問題域. 同時，由於問題的不斷變異，又可使學生明確與其他類問題的關係，這樣可使學生形成的數學認知結構科學合理，也就是形成CPFS結構. 我國學者研究表明，CPFS結構是一個科學合理的數學認知結構，可提高學生的數學認知能力。例如，在二元一次方程組應用的教學中，設計如下變異作業。
案例4：
(1)一家眼鏡廠，有28個工人加工鏡架和鏡片，每人每天可加工鏡架69個或鏡片102片，為了使每天加工的鏡架和鏡片成套，則將如何分配工作？
設加工鏡架的工人為x人，加工鏡架的工人為y人，
則等量關係是：
①_________+__________=28；
②__________：_________=__________：__________.
根據題意列二元一次方程組為______________________________________.
（2）學生課桌裝配車間共有木工9人，每個木工一天能裝配雙人課桌4張或單人椅10把，怎樣分配工作能使一天裝配的課桌椅配套？
設x個木工裝配雙人課桌，y個工人裝配單人椅，
則根據題意列二元一次方程組為_______________________________
五、圖形變異
圖形變異是指圖形是不同的，但從圖形中分離出來的基本圖形是相同的。一是數學是研究現實世界空間形式與數量關係的科學. 因為空間形式的複雜性，人類不可能把所有圖形的性質都認識清楚。但人們發現，很多複雜的圖形是由基本圖形組合而成，把複雜圖形的問題轉化為基本圖形的問題來解決是人類智慧的結晶。因此，基本圖形的性質，以及如何從複雜圖形中分離出基本圖形是要求學生必須進行重點表徵的。初中幾何知識中，有很多基本圖形，如相似形中的A字型、8字型、一線三等角、子母三角形等，這些基本圖形的識別與性質的靈活運用是學生解決複雜問題的思維載體。通過圖形的變異，但組成圖形的基本圖形不變，有利於提高學生從複雜圖形中分離出基本圖形的能力。有利於提高學生運用基本圖形解決問題的能力。例如在“相似三角形的判定“的教學中有一類特殊的一線三等角的問題，設計如下變異作業。
六、幾點思考
第一，基於變異理論進行變式教學，題目的變異要圍繞不變的本質而展開。變異的目的是要學生通過幾個實例發現並總結、歸納出解決問題的一般性原理（規律）. 因此，在進行變異時，首先要明確問題的本質，然後圍繞問題的本質不變，變化非本質屬性，以突出問題的本質屬性，使此類問題的一般性原理凸出出來。
第二，重複有利於提高學生數學知識的記憶強度。變異是在本質不變的情況下展開的，也就是說學生解答此類問題運用的思想方法是相同的. 因此，學生要重複使用相同的原理解答題目，是一種重複的思維活動。認知心理學的研究表明，重複可以增強學生對知識的記憶，能夠使長時記憶中的記憶強度增加，即記憶的痕跡大，這樣在學生解答其他問題時，便於從長時記憶中提取需要遷移的信息，從而提高分析問題和解決問題的能力。
第三，變異有利於不同層次學生髮現並總結掌握問題的一般原理。學生之間的差異是客觀存在的，不同的學生其解決問題的能力，以及歸納、概括的能力是不同的. 因此，在進行題目變異時，要使題目有一定的梯度，也就是要遞進式變異，由簡單到複雜，從而使不同層次的學生都能夠從中分析並發現一般性的原理。
參考文獻：
[1]劉海濤.優化遞進式變式題組應用的幾點思考[J].中小學數學（初中版），2012（３）：1-2.
[2]劉海濤.利用平面幾何教學提高學生思維層次的探索[J].教學月刊（中學版），2014（12）11-14.
[3]劉海濤.數學教學中培養學生觀察能力的幾點認識[J].中國數學教育（初中版），2013（4）：13-15.
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