有一次跟一位數學老師聊。

問用《幾何原本》直接教中學學生的可能性。

答案是否定的，這本書，是整個古希臘數學成果和哲學精神融為一體的歷史性鉅著，不能零散地拆分理解，它宏觀的架構，超過了一般中學生的理解能力，個別題目還可以教教。

（一）

但是，這本《幾何原本》又很重要，除了《聖經》以外，沒有任何其他著作，在研究、使用和傳播的廣泛性方面，能夠與《幾何原本》相比。總得要給學生好好介紹一下。

《幾何原本》為古希臘數學家歐幾里得所著，歐幾里得是公元前330——275年的人，大概相當於我們的戰國時期。

《幾何原本》早期均為希臘文抄本，九世紀出現了阿拉伯譯本，後有了拉丁文本。

《幾何原本》的希臘原始抄本已經流失了，它的所有現代版本都是以希臘評註家泰奧恩編寫的修訂本為依據。

這本書，傳入中國的歷史也很是曲折。

蒙哥，是元太祖成吉思汗幼子託雷的長子，蒙古帝國第四位大汗，也是成吉思汗的子孫們最有學識的一個皇帝。

《多桑蒙古史》記載說蒙哥曾解說過歐幾里得《幾何原本》一書中的若干圖式。他學的應該當阿拉伯文的譯本。

順便說一句，這位大汗就是《神鵰俠侶》裡在襄陽城外被楊過飛石擊斃的那位，實際上他是在1259年的釣魚山戰鬥中死去的。

（二）

最早把《幾何原本》翻譯成漢語的是明代的徐光啟。

徐光啟（公元1562-1633年）字子先，號玄扈，上海縣徐家彙人，幼年家境不算好，青年時代仕途也不順利。

公元1581年中秀才，公元1604年才中進士，被選為庶吉士，在翰林院學習。

徐光啟主要精力並沒有在學習儒家經典或者人情逢迎，而是放在科學研究上來。

他跟著利瑪竇等許多西方傳教士學天文、歷算、火器，遍覽兵書、屯田、鹽業、水利等書。

他是個實幹型官員，很重視對各種科學知識的考察和研究，善於吸取古代的，外國的和民間的生產經驗，並注重用親身實踐加以檢驗，他看到不懂的事情就問，問了趕緊記下來，而且刨根問底地思考。

他一生著述很多，主要有《農政全書》、主持編譯了《崇禎曆書》，翻譯了《泰西水法》。

數學方面，除了參與翻譯了《幾何原本》之外，還編譯了《大測》（平面三角和球面三角）、《割圓八線表》（三角函數表）和測量方面的《測量義法》《勾股義》等書。

他在傳播西方科學知識，促進民族科學水平的提高上，起到了重大作用。

徐光啟晚年官至禮部尚書兼東閣大學士，參與機要，還擔負過訓練新兵和保衛京城的軍事職務。

徐光啟去世後，墓就在上海徐家彙附近的南丹公園之中，現在還能看到。

（三）

再介紹一下利瑪竇：

利瑪竇（公元1552-1610年）是意大利傳教士，是個耶穌會士，基督教分支很多，耶穌會是一支，這裡面也是一筆亂賬，有時間我們在詳細講之間的分歧。

利瑪竇的老師是格拉維烏斯，這個人是個數學家，曾經受教皇格里高利十三世之命，主持了制定過歷書。

當時的教皇保羅二世決定向東方派遣傳教士。

利瑪竇於1582年來到澳門，次年到達廣東肇慶，但是明朝閉關鎖國，以及對傳教士來中國的活動的真實目的的懷疑，一直面臨著不太友好的環境。

由於這些傳教的曲折經歷，利瑪竇採取了一種“科技先行，曲線傳教”的方法。

先向中國士大夫教授科技，然後附帶潛移默化地傳教。

利瑪竇製作和印行了《山海輿地全圖》，這是中國人首次接觸到近代地理學知識。

利瑪竇還向官員展示了三稜鏡、鐘錶等現代科技。利瑪竇用現代科技引起中國人的好奇心之後，就利用解釋各種西方事物的機會，同時介紹他們的天主教信仰。

利瑪竇此人，溫文爾雅，博學多聞，很有人格魅力，他在中國系統學習了中國的傳統文化，用中文寫了不少介紹天主教的小冊子，並且把《四書》翻譯成拉丁文。

而且呢，為了打入士大夫內部，利瑪竇蓄髮留須，穿起了儒士服裝，利用中國文化中的概念和符合中國習慣的詞語來傳教。

比如他用中國自古就有的“上帝”的概念，偷換“天主”的概念，這樣來化解中國人對天主教的疑慮和排斥。

他告訴中國人，天主教的“神”早就存在在中國的思想裡，中國傳統的“天”和“上帝”本質上與天主教所說的“唯一真神”沒有區別。

他也對中國傳統的習俗保持寬容的態度，允許中國的教徒繼續傳統的祭天、祭祖、敬孔的行為。

利瑪竇的這一系列策略可以說是很有成效的。

1596年 9月22日有一次日食，欽天監沒有算出來而利瑪竇按照西法準確預報了這次日食，名聲大振，許多人去向他學習西方曆法。

這些科技才能是他在1600年獲准進入北京的原因之一，雖然徐光啟之前在南京見過他，但到此時才有機會時時向他請教。

據說利瑪竇曾向教皇報告，認為接近中國人最好的甚至唯一的方法就是向中國人傳授西方數學。

為什麼這麼說呢？因為中國當時，確實很急需數學知識。

當時是16世紀末，明代沿用元代大統歷與回回曆，因年代久遠，誤差很大，修正曆法就成了當務之急，但是精通曆法的人才難得。所以利瑪竇算準日食，才能引起這麼大的轟動。

而在那個時候傳統的中國數學已經衰落了，許多數學典籍甚至已經失傳了。

為什麼呢，至少有一個原因是，數學在中國的發展一直與政治過於緊密。

政治的影響過大，這與數學在希臘的發展形成鮮明對比，由希臘至西歐，數學的發展當然也不是與政治絕緣的，但是數學以及一般的科學，作為對自然界規律的探索，其獨立的意義及其社會中的地位早已得到確立。

在中國則不然，科學最多也不過作為一種技術，它必須服從政治的需要。

所以，數學很多時候用在天文曆法星象的計算上，但是曆法問題在我國各朝代又有特殊的重要性，

天文異象如日食月食，彗星等，被看做災難，如政變、篡權的先兆。

自古以來，各朝各代，常設欽天監，負責人（欽天監正）就需要向皇帝秘密報告出現的天文異象，

因此，曆法問題不僅關係到農業，更關係到皇朝的命運。這樣就導致數學人才的傳承不能大規模進行，得是在皇帝信得過的家族中小規模師徒親授，萬一有個三災五難，死掉幾個，那這門學問就絕了。

所以這麼長時間下來，到明末，中國的數學比之唐代沒進步還倒退回去了。

利瑪竇到北京後，想方設法拜見了萬曆皇帝，萬曆皇帝對他進獻的自鳴鐘、八音盒、地圖等很感興趣，允許他留居北京，還給他發俸祿。

自此利瑪竇長居北京，跟士大夫廣泛交往，談論科技，傳播宗教，自己建立起良好的聲譽，也與士大夫階層建立起良好的關係。

而利瑪竇在北京期間，徐光啟正供職於翰林院。

徐光啟在利瑪竇居住附近租了一個屋子，方便請教，他一方面是學習教義，一方面學習西方科學知識。他也成了虔誠的基督徒。

1606年，徐光啟認為

“既然已經印刷了有關信仰和道德的書籍，現在他們就應該印行一些有關歐洲科學的書籍，引導人們做進一步的研究，內容則要新奇而有證明”

兩人決定翻譯《幾何原本》，利瑪竇口述，徐光啟筆錄，用了大約一年時間，翻譯完前六卷。

當時翻譯完前六卷後，利瑪竇說，就先傳這些吧，讓有同樣志向的人學習吧，如果果然有用，我們再慢慢翻譯後面的，徐光啟說好。

於是先把這六卷出版出來。

（四）

《刻序》就是徐光啟為《幾何原本》中文譯本的寫的序言。這篇文章主要說明了幾何學的源流、價值和翻譯書的過程。

徐光啟在這篇序文裡闡述了數學的社會作用，深刻說明了幾何學與我們日常生活的密切聯繫，他期望通過介紹有關幾何學的知識，使人們瞭解幾何學的求證方法，培養邏輯思維能力，從而準確、精密地認識和分析事物。

唐、虞之世。自羲、和治歷，暨司空、后稷、工、虞、典樂五官者，非度數不為功。《周官》六藝，數與居一焉；而五藝者，不以度數從事，亦不得工也。襄、曠之於音，般、墨之於械，豈有他謬巧哉？精於用法爾已。故嘗謂三代而上，為此業者，盛有元元本本，師傳、曹習之學，而畢喪於祖龍之焰。漢以來多任意揣摩，如盲人射的，虛發無效；或依擬形似，如持螢燭象，得首失尾。至於今而此道盡廢，有不得不廢者矣。

《幾何原本》者，度數之宗，所以窮方圓平直之情，盡規矩準繩之用也。利先生從少年時論道暇，留意藝學，且此業在彼中所謂師傳、曹習者，其師丁氏，又絕代名家也，以故其精其說。而與不佞遊久，講談餘晷，時時及之。因請其象數諸書，更以華文。獨謂此書未譯，則他書不可得論。遂共翻其要約六卷，既卒業而復之，由顯入微，從疑得信。蓋不用為用，眾用所基，真可謂萬象之形囿，百家之學海。雖實未竟，然以當他書，既可得而論矣。私心自謂：“不意古學廢絕二千年後，頓獲補綴唐、虞、三代之闕典遺義，其禆益當世，定復不小。”因偕二、三同志，刻而傳之。

先生曰：“是書也，以當百家之用，庶幾有羲、和、般、墨其人乎，猶其小者；有大用於此，將以習人之靈才，令細而確也。”餘以為小用、大用，實在其人。如鄧林伐材，棟樑榱桷，恣所取之耳。顧惟先生之學，略有三種：大者修身事天；小者格物窮理；物理之一端，別為象數。一一皆精實典要，洞無可疑。其分解擘析，亦能使人無疑。而餘乃亟傅其小者，趨欲先其易信，使人繹其文，想見其意理，而知先生之學可信不疑，大概如是，則是書之為用更大矣。他所說幾何諸家藉此為用，略具其自敘中。不備論。吳淞徐光啟書。

全文分為三段：

第一段談數學的源流和重要性，也就是廣義的幾何學的源流和重要性。

先要說明個小問題，

幾何，其實是寫作“幾何”，“幾”和“幾”是兩個字，

“幾”是個象形字，意思是茶几，“幾”，是形聲字，表示事物發展變化的那個微小之微小的預兆，這樣也就有了數字的意思。

而《幾何原本》這本書，英文名字叫Euclid's Elements.

Elements是元素的意思，所以為翻譯為《原本》就可以了。那為什麼前面要加幾何呢？

幾何這個詞，在中文裡原不是數學專有名詞，而是個虛詞，意思是“多少”。“對酒當歌，人生幾何”裡的幾何的意思。是從徐光啟這裡，幾何才成為數學裡geometry的中文譯法。

Elements這本書，不完全是現在意義上狹義的幾何學，

geometry在中國古代數學分科有另外的名字——“形學”，大概相當於現在狹義的幾何學。

徐光啟是首先把“幾何”一詞作為數學的專業名詞來使用的，用它來稱呼這門數學分科的。

也有學者認為徐光啟用幾何這個詞是來源於書中的magnitude一詞，有“量”的意思，

那麼《幾何原本》的意思是：這是一切關於數量的學問的基礎。

這兩種看法都有道理。

（五）

Euclid's Elements.這本書原本有十三卷。

前六卷，大概是講平面幾何，七、八、九、十卷主要講初等幾何數論，最後三卷講立體幾何。

《幾何原本》牛在什麼地方呢，這本皇皇鉅著，根基就是幾條公理公設，

這些公設，就是比如，

過兩點能作且只能作一直線；

線段（有限直線）可以無限地延長；

以任一點為圓心,任意長為半徑,可作一圓；

凡是直角都相等；

等等。所有的定理，證明都是從這幾個極其簡單的，讓眾人無可懷疑的公理公設演繹出來的，整個體系非常恢弘精密。

文章一開始，徐光啟先追溯了一下遠古的數學應用。

徐光啟認為數學的用途，既廣泛又歷史悠久，遠在堯舜禹的時代，就有數學了

當時的官吏分工也很細，羲和管曆法，司空負責治理水土，后稷管理農業生產，工，管理土木工程，虞，管理山河，典樂，管理音樂。

這些官吏雖然職責不同，可是都離不開數學，沒有數學的觀念就不可能有什麼成效。

《周官》一書規定古代六藝，就是禮、音樂、射箭、駕車、識字、算數。

可見數是古代貴族青年必須學習的內容之一，其他五項學習內容，沒有一定的數學知識也掌握不好。

古代著名的音樂家師曠、師襄，有名的機械專家公輸班、墨翟，他們對音樂和機械的研究也沒有什麼驚人的技巧，只不過精通了用法而已。

這裡是說機械製作或者音樂的演奏，對數量的把握要很到位。樂器的音準跟數量有關，機械的精度跟數量有關。

徐光啟認為數學在中國古已有之，遠在夏商周三代以前就很繁盛，一直在師生之間傳授和學習，

直到公元前213年秦始皇焚書，一把火就把這種學問燒光了。

在徐光啟看來，漢代以後的數學就不成為學問了，不是任意揣摩，像瞎子射箭似的毫無效果；就是照貓畫虎，像用螢火蟲的火光照看大象一樣，見到頭就見不到尾。

到了明代，這種學問就完全荒廢了。

而今天翻譯《幾何原本》，這是恢復我華夏古代，有振興古學之功啊。

這裡強調數學的源遠流長，強調數學的巨大作用，都是沒問題的，

但是說“三代之上，為此業者盛，有元元本本師傳曹習之學”。恐怕是想象之詞。

不過這個心態也能理解：

從一個民族心理來說，當外來的更先進的文化傳入的時候，是一種外來知識、外來思想的衝擊，

而面對這種衝擊，人們內心是焦慮的，自信心被碾壓的粉碎，所以人總是要反身從歷史中尋找理解和解釋的資源，來接引新知識，

這樣呢，就能有效地緩解外來文化的衝擊，

當我們從歷史的博古架上中，哪怕找到隻言片語的痕跡，也可以自我安慰地認為我們之前是有的，甚至可以自欺欺人地認為他們也是學我們的，

我們被打擊的自信心才又得到妥帖的安放，那種新知識帶來的文化震撼才得以撫平。

通過這樣，才能免除自己心裡的緊張和焦慮。

徐光啟在這裡只是說，我們古代也有啊，勉強還是有幾分道理的。

後來康熙把《幾何原本》翻譯成滿文，甚至組織撰寫《數理精蘊》（這本書除幾何以外還包括了實用算數、對數和直到高次方程為止的代數知識）。

在這本《數理精蘊》裡康熙認為一切數學知識都源於中國，後來才傳到希臘。

果然皇帝免除這種文化焦慮的方法更加豪邁粗暴。

（六）

第二段談《幾何原本》翻譯的經過，

徐光啟感到這部書很重要，認為它是數學的根本，是數學的基礎，

用它可以探求方圓平直各種形狀和線條的特點，可以充分發揮直尺圓規的作用，因此有必須要翻譯它，應當把它介紹給中國讀者。

正巧，與徐光啟交誼很深的利瑪竇從小就留心這一類學問，他的老師格拉維又是這方面的專家，利瑪竇師出名門，後來由於徐光啟的請求，就和利瑪竇一道翻譯了《幾何原本》。

大概是利瑪竇口述，徐光啟記錄，翻譯從1606年開始，1607年結束並付印，後來又多次校改，

還有另一些傳教士也參與，比龐迪我、熊三拔等。

徐光啟還進一步闡述了幾何學的巨大社會作用，實際還是在說翻譯此書的目的，

徐光啟認為幾何學看來與實際生活距離較遠，看起來沒有用處，實際是一切有用的學問的基礎，

因為幾何學的分析、證明、推理，能夠培養人們的邏輯思維能力，

只有具備了這種能力，才能很好地掌握其他學問，正是在這個意義上，才把幾何學看成是

“萬物之形囿，百家之學海。”

胡適先生有一篇很著名的《差不多先生》，諷刺國人不肯認真精細的做事風格，文章辛辣無比。

大概這種差不多的思維方式還真是我們的一個普遍的作風。

中國學者對邏輯推理不甚重視，由來已久。翻開古書，

甚至直接宣佈自己的結論而不做任何論證。

這個思維是在處理實際事務上是很有害的。徐光啟自己在曆法、水利、農政上都實際做過事情，是深深意識到裡面的弊端的，才在這裡特特強調數學對人思維訓練的巨大作用。

第三段再談幾何學的價值，

徐光啟轉述利瑪竇的話說：

“這部《幾何原本》如果當做百家的學問來用，就會出現像羲和、公輸班、墨翟那樣的人才，而這還是它的小的用途。它的巨大用途在於訓練人的天才，使之思維更加精細和準確。”

徐光啟完全同意這一看法，並進一步發揮，他認為用處的大小，在於人的能動性，究竟幾何學能發揮多麼大的作用，完全取決於你主觀的努力，

這還是在強調，幾何學作為各門科學的基礎，要使它多方面發揮作用，還要人們在各個領域裡繼續鑽研，人們有廣闊的天地可以馳騁，社會上人才培養的足夠多了，國家才可以隨時取用。

幾何為什麼有這樣大的功用？

由於它提供的是確定無疑的知識，對於幾何學提供的知識，我們不必懷疑，不必揣摩，不必試錯，不必修改，它的結論和論證，是無法反駁，無法增減，甚至前後位置改變都不可以改變。

幾何要訓練這樣的思維：

出發點必須是有清晰的界定的，

思維的過程應該分成許多小步，

每一步雖然簡單，卻都是清楚無疑的。

如果大家的思維都能這樣，那很多事情就很好辦了。

所以徐光啟要給當時的中國人翻譯這本《幾何原本》來幫助大家訓練精細思維能力。

最後，徐光啟又總結利瑪竇的學問，

在他看來，利瑪竇的學問共有三種，

大的就是有關修養個人品德和傳習耶穌會的教義的事情；

小的是用來探究事理。

第三種就是從探究事理這一方面派生出來的數學。

而數學的內容都是精當確實經典扼要的，是明明白白毫無可疑的，它的一套分析的方法，也能使人消除疑惑，

而徐光啟就急於傳播這種小的學問，使人們由淺入深，掌握數學的理論，

（七）

可以看出徐光啟對幾何學的社會作用的高度評價和他對利瑪竇的數學知識的堅信不疑。

後來，徐光啟還根據利瑪竇在翻譯《幾何原本》時的講述寫成了《測量法義》一書。

然後，他又將此書中的內容與我國傳統文獻中的測量之法進行了比較，又寫了《測量異同》一書。

再後來，他利用《幾何原本》中介紹的西方公理化方法整理了我國傳統文獻中的勾股知識，於1609年又寫出了《勾股義》一書用來解釋《幾何原本》。

徐光啟是有遠見的，他殷切希望《幾何原本》在中國發揮巨大的社會作用。

這本書，還是有一些反響的，

比如，上海嘉定的孫元化（1582—1632），學習了《幾何原本》之後，連續寫出了《幾何體論》和《幾何要法》兩本書。

浙江李之藻（1565—1630），是徐光啟的好友，參考《幾何原本》寫出了《圓容較義》一書。

徐光啟一直念念不忘把《幾何原本》翻譯完，然而1607年5月，徐光啟的父親去世，

儘管當時徐光啟已經加入了天主教，但是在這方面還是遵從了儒家的規則，

這年8月，徐光啟丁憂，扶靈柩回到上海老家守孝。

三年後，就在徐光啟即將結束丁憂，官復原職的時候，利瑪竇卻在北京去世了，

等到1610年12月，徐光啟回到北京，利瑪竇已經下葬一月有餘了。

而利瑪竇身為外國人，本來按照慣例應該把靈柩送到澳門，但是北京的教友為了紀念利瑪竇，上奏朝廷，申請賜地，神宗皇帝特地破例下旨賜地在北京埋葬。

據說下葬時朝廷的文武百官都參加了葬禮，葬禮非常隆重，有個太監不解為何給利瑪竇如此高的待遇，

當時的宰相葉向高說：

“遠來的客人裡，道德學問，哪一個像利先生這樣？不說別的，就說翻譯《幾何原本》這件事，就應該賜埋葬之地。”

利瑪竇墓現位於北京西城區官園橋附近的北京行政學院院內，旁邊是湯若望和南懷仁的墓碑。現在依然可以去祭拜。

對利瑪竇的蓋棺論定也很有意思，

長期以來，西方許多人，尤其是天主教徒將利瑪竇視為令人景仰的，“誘導異教徒皈依的”傳教士。

而東方卻將利瑪竇視為促進東西方交流的科學家。帶著西學而來的利瑪竇開啟了晚明士大夫學習西學的風氣。

由明萬曆至清順治年間，一共有一百五十餘種的西方書籍被翻譯成中文。

《幾何原本》後面的幾卷，也因為利瑪竇的去世，而無法再繼續翻譯了。

首先是利瑪竇死後，接任中國耶穌會總管的是龍華民（Nicolas longobardi，1559—1654），

這個人在傳教策略上與利瑪竇不同，他希望花更多的時間在傳教上，而不是用在給中國人講解西方技術上，

而且，利瑪竇比較看重士大夫的支持，但龍華民認為應該主要面向底層廣大民眾，這樣更快捷。

所以龍華民禁止傳教士向中國人傳授西方科技，使得徐光啟失去了外援，沒辦法繼續翻譯。

另外呢，《幾何原本》雖然在西方得到比較普遍的教授，但是恐怕前六卷之後的內容，也不是人人都懂得，至少徐光啟比較熟悉的其他神父，比如龐迪我、熊三拔，看起來並不懂後面的內容，

其實利瑪竇究竟能不能完全懂後面的內容，也是個未知數。

所以徐光啟只能遺憾地中止他的翻譯行為。

直到清代咸豐年間，李善蘭與英國人偉烈亞力合作，才把整本的《幾何原本》翻譯完成。

現在如果要讀《幾何原本》也不用讀李善蘭的版本，推薦讀陝西科學技術出版社的《幾何原本》，譯者是魏平。

如果你想弄得更明白，推薦你看英文版的The Thirteen Books of Euclid's Elements - by Thomas Heath - Cambridge University Press, 1908.

附錄：

《幾何原本》對世界數學的貢獻主要表現在三個方面：

1.建立了公理體系，明確提出所用的公理、公設和定義，由潛入深地解釋了一系列定理，結果就是，僅用少數公理證明了幾百個定理，

2.把邏輯證明系統地引入到數學中，歐幾里得強調，邏輯證明是確立數學命題真實性的一個基本方法

3.《幾何原本》示範性地規定了幾何證明的三種方法：分析法、綜合法和歸謬法。

《幾何原本》中的五個公設和五個公理

公設1：從任一點到任一點可作一條直線。

公設2：有限直線可沿直線無限延長。

公設3：給定中心和距離（半徑），可以作一個圓。

公設4：所有直角都相等。

公設5：如果一條直線與兩條直線橡膠，且如果同側所交兩內角之和小於兩個直角（180°），則這兩條直線無限延長後必將相交於該側的一點。

最後一條公設就是著名的平行公設，它引發了幾何史上最著名的長達2000多年的關於“平行線理論”的討論，並最終誕生了非歐幾何，值得注意的是，第五公社既不能說是正確也不能說是錯誤。它所概括的是一種情況。

根據公設5，偶記裡的還提出了5個公理，從而完成了他的序篇，這5個公理也都是不證自明的真理，但具有更一般的性質，不僅僅只對幾何學有效。

這些公理是：

公理1：與同一個東西相等的東西，彼此也相等。

公理2：等量加等量，總量仍相等。

公理3：等量減等量，餘量仍相等。

公理4：彼此重合的東西相等。

公理5：整體大於部分。

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