三角形內角和為180°，這其實是平面幾何的必然結果，也是《幾何原本》中第五公設的推論；如果離開了平面幾何，比如在一些曲面上，三角形的內角和是可以不等於180°的。
我們有很多方法，來證明平面內三角形內角和為180°，也就是一個平角的角度，但是無論我們用到什麼方法，本質上都用到了歐幾里得第五公設或者是第五公設的等價原理。
這其中隱含的原理，數學家們探索了兩千多年，如果你不使用第五公設（或者等價原理），你是不可能證明三角形內角和為180°的。
公元前300年前後，著名古希臘數學家歐幾里得創作了《幾何原本》，書中以23條定義、五個公理和五個公設為基礎，以嚴密的數學邏輯推導出467個定理，奠定了平面幾何的基礎。
公理是指人類根據現實經驗得出，無需自證的基本事實，《幾何原本》中的五個公理包括：
1.等於同量的量彼此相等。
2.等量加等量，和相等。
3.等量減等量，差相等。
4.彼此重合的圖形是全等的。
5.整體大於部分。
公設也是指無需自證的基本事實，但是相比於公理來說，公設更有深度一些，近代數學中公設等價於公理，《幾何原本》中的五個公設包括：
1.過兩點能作且只能作一條直線。
2.線段可以無限延長。
3.以任一點為圓心，任意長為半徑可作一圓。
4.直角都相等。
5.平面內一條直線和兩條直線相交，若在直線同側的兩個內角之和小於180°，則這兩條直線無限延長後在這一側一定相交。
五個公設中的前四個很容易理解，基本上也不會有爭議，但是大名鼎鼎的第五公設可折騰了數學家兩千多年，因為第五公設看起來怎麼也不像不證自明，雖然歐幾里得極盡減少第五公設的語言描述，但是第五公設比前面四個公設加起來還長。
由於第五公設本質上與“平行線不相交”等價，所以第五公設也叫做平行公設，歷史上有很多人試圖用前面四個公設來證明第五公設，但都失敗了。雖然有一些人宣稱完成了證明，但是在證明過程中，都不經意地引入了第五公設的等價命題，比如平行線不相交、三角形內角和為兩個直角等等。
歐幾里得在著作《幾何原本》時，肯定也注意到了這個問題，相信他也做過類似的嘗試，以至於第五公設在《幾何原本》中直到命題29才首先被使用，而且這個命題必須得使用第五公設才能完成證明。
命題29：一條直線與兩條平行直線相交，則所成的內錯角相等，同位角相等，且同旁內角之和等於180°。
在1795年，英國數學家普萊費爾提出了一條和第五公設等價的描述，既“過直線外一點，能且只能做一條平行線”，該描述比《幾何原本》中的描述簡單很多，被稱作普萊費爾公理。
直到1868年，意大利數學家貝爾特拉米，才首先證明第五公設獨立於前面四條公設，而且第五公設的否定描述也是自洽的，也就是說歐氏幾何與非歐幾何是兩個不同的幾何系統。
其實早在貝爾特拉米之前，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基就已經發現了第五公設不可證，現在我們把非歐幾何中的雙曲幾何，也稱作羅巴切夫斯基幾何。
在同一時期，德國數學家黎曼從第五公設的另外一個反面出發，創立了橢圓幾何，也稱作黎曼幾何，於是黎曼幾何與羅巴切夫斯基幾何共同稱作非歐幾何，它們的區別在於：
1、歐氏幾何，也稱作平面幾何，第五公設成立，平面內三角形內角和等於180°，過直線外一點可以做一條平行線。
2、黎曼幾何，也稱作橢圓幾何，第五公設不成立，平面內三角形內角和大於180°，過直線外一點找不到任何一條與之平行的直線。
3、羅巴切夫斯基幾何，也稱作雙曲幾何，第五公設不成立，平面內三角形內角和小於180°，過直線外一點至少可以做兩條平行線。
現在我們知道，數學家爭論了上千年的第五公設，本來就是一個獨立的公理，而這個獨立公理的反面也是一個公理，從不同的公理出發可以得到不同的數學系統，這也是第五公設不可證的本質原因，從第五公設反面建立起來的非歐幾何，也是廣義相對論的數學基礎。
這其中隱含的數學思想是非常深刻的，數學中還存在很多類似的原理，比如在1900年，德國數學家希爾伯特提出了23個數學問題，排第一的是連續統假設，直到幾十年後，數學家才證明連續統假設也是獨立的，而連續統假設的反面，則是另外一個自洽的數學系統。
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