印度的歷史，科普君在這裡就不介紹了，如果有興趣的話，可以去網上搜索二混子-stone的漫畫，其中有一章講的就是極簡印度史，十分有意思。今天可普君要介紹的是印度的數學歷史。古代印度作為四大文明古國之一，必然有其有突出貢獻的地方，印度的數學也算是其中之一。其實一直到現在，印度的數學還是相當不錯的，只不過印度這個國家，實在是……。好了，現在就開始進入印度數學的表演時間了（請自帶印度電影的BGM）。
古代印度
古代印度數學大致可以分為三個階段：河谷文化階段，吠陀時期和悉檀多時期。今天我們主要介紹前兩個時期。在河谷文化階段，在雅利安人入侵之前，印度河流域就已經有了達羅毗荼人居住了（達羅毗荼人後來由於被入侵的雅利安人征服了，所以現在大部分屬於低種姓階層），他們當時已經有精心規劃建設的城市。有規劃，就不可能不用到相當水平的幾何知識和計算技巧，在當地出土的一些陶器上面，就繪有一定規則的線紋、圓、方形、三角形等等，但是由於在這些陶器上還有一些象形文字並沒有被破譯，所以並不清楚這些文字和圖形是什麼意思，不能不說是一種遺憾。
達羅毗荼人
在雅利安人入侵之後，印度文明進入吠陀時期，在公元前7世紀形成了婆羅門教。"吠陀"的梵文意思是"知識、光明"，內容主要是一些對神的讚歌、巫術的咒語等等，一開始是以口口相傳的方式進行流傳的，後來才用梵文刻寫在棕櫚葉或者樹皮之上，從而成為了文獻。《吠陀》有上千種流派，僅《夜柔吠陀》就有101種，《夜柔吠陀》的一部分記錄了祭祀的一些規則，其中就有關於數學知識的《測繩的法規》部分。由於《耶柔吠陀》是用詩句寫成的，裡面並沒有任何關於數學符號的內容，也沒有任何數學著作該有的形式，所以後世的人在研究印度數學的時候，只能把其中的數學思想抽出來，用現代的數學符號和形式去表示。
夜柔吠陀
在《測繩的法規》中給出了大量作圖的方法，還有一些不需要加以證明，直接使用的幾何結論，比如：矩形被對角線分為相等的兩部分；等腰三角形的高分三角形為相等的兩部分；菱形的對角線互相垂直平分等等。在這些命題中，有一些與歐幾里得的《幾何原本》中的一些命題差不多，但很明顯可以看出它們兩個是屬於獨立發展出來的數學思想，兩者之間並沒有任何的聯繫。比如在《測繩的法規》中是這麼來描述勾股定理的：矩形對角線所給出的面積，等於長和寬所分別給出的面積之和。這和古希臘以及中國的勾股定理的描述方法都不一樣。
勾股定理
另外，在該書中，還給出了不定方程x^2+y^2=z^2的若干組正整數解，即勾股數。這個是非常具有實用價值的，在工程建設上面特別有用。在書中還給出了一系列作圖的方法，比如作已知直線的垂線問題，作一個正方形是兩個已知正方形面積之和的問題。還有就是化圓為方問題，在該書中也有闡述。
在《測繩的法規》中還有一項非凡的成就就是得出了根號2的相當精確的近似值。這說明在當時，印度人已經掌握了開平方的方法，瞭解了平方根的近似公式。在《法規》中還有很多幾何問題用代數方法來解決的現象，包括不等式、二次方程、多元不定方程等等。
在婆羅門教之外還有耆那教，他們也注重數學。耆那教的創始人馬哈維拉本人就是一個精通數學的學者，耆那教的經典中就包含了數學原理和算術等內容。不過耆那教的原始文獻流傳下來的很少，後世的學者一般是通過後來的註釋去了解其中的內容的。在耆那教的文獻中，他們採用了π=根號10的概念，另外還有計算弦長、弓形弧長的公式。
耆那四祖像
耆那教中對於數字分成了可數的、不可數的和無窮的三種，不過跟後來的集合論還是有差距的。
無論是婆羅門教、耆那教還是後來的佛教，他們所包含的數學都缺乏一種連續的師承關係，並不像古希臘的數學是有明確的繼承關係的，所以在古印度的數學中就會出現隔一段時間出現一個重大發現，然後迅速沉寂下去，再過一段時間又出現一個，但是彼此之間毫無聯繫。這也是非希臘數學的一個通病。古代阿拉伯、古代印度，甚至古代中國的數學都有這個問題。
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