周一啦，又是一个开学季。还在上学的同学们，你们的作业都补好了吗？好了，回归正题，今天的这道全等三角形的例题中，运用了很多基本图形性质，同时本题《基本图形分析法》也使用三种辅助线的添加方法，因此在关键步骤上的图形性质运用也不同。本题第一种方法里还运用两个分析方法进行解述。话不多说，一起来思考吧。
例20 如图5-61，已知：△ABC中，AB=AC，CD是高，P是BC上的任一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：PE+PF=CD。
图5-61
分析：本题要证明PE+PF=CD，是一条线段等于两条线段的和，所以可根据线段和的定义，在CD上截取DG=PE后，再证明留下的CG=PF。
在作出了DC=PE后，由条件CD⊥AB，PE⊥AB，可得DG∥EP，所以四边形DEPG就应是平行四边形，于是联结PG（如图5-62），再由∠GDE=90°，就可得四边形DEPG是矩形，∠PGC=90。这样要证明相等的这两条线段CG和PF就成为一对轴对称型的全等三角形，也就是△PFC和△CGP的对应边，于是问题就可证△PFC≌△CGP。由于已经证明∠PFC=∠CGP=90°，PC=CP是公共边，所以还要再证一个性质由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，而由PG∥BA，又可得∠ABC=∠GPC，所以有∠FCP=∠GPC，从而就可以完成分析。
图5-62
本题在作出了PG，并得到了四边形DEPG是矩形后，就出现了PG∥BA，是三角形内一条边的平行线段，所以可应用平行线型相似三角形进行证明，于是延长PG交AC于K（如图5-63），则由AB=AC，就可得KP=KC，那么CG和PF就成为等腰三角形两腰上的高，所以结论可以证明。
图5-63
本题在根据线段和的定义进行分析时，也可以考虑将PE和PF这两条线段接起来，也就是延长EP到G，使PG=PF（如图5-64），那么问题就是要证CD=GE。但由于CD⊥AB，PE⊥AB，所以问题实际上就是应证四边形DEGC是矩形，也就是应证∠G=90°。而已知∠PFC=90°，这样就出现了这两个相等的角是关于PC成轴对称的，从而就可应用轴对称型全等三角形进行证明，问题也就成为应证△PCF≌△PCG。由所作的PF=PG和PC=PC是公共边，可知还应证明它们的夹角相等，也就是要证∠CPF=∠CPG。由于BC、EG相交于P，∠CPG=∠BPE，而由PE⊥AB和PF⊥AC，又可得∠CPF和∠BPE分别是∠ACB和∠ABC的余角，而∠ABC=∠ACB，所以上述性质就可以证明。
图5-64
如果在将PE和PF这两条线段接起来时，考虑将PF接在PE的延长线上，那就可以延长PE到G，使PG=CD（如图5-65），问题就成为要证EG=PF。但在作出了PG=CD后，由于PG∥CD，所以四边形PCDG就是平行四边形，也就可得DG=CP。这样就出现了要证明相等的两条线段EG、PF是Rt△DGE和Rt△CPF的直角边，而DG和CP是它们的斜边，所以问题可转化成证这两个三角形全等。显然由DG=CP，∠DEG=∠CFP=90°，以及由GD∥BC，∠GDE=∠B和AB=AC，∠B=∠C，∠GDE=∠PCF，就可以完成分析。
图5-65
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