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當人想要模仿行走時，他創造了與腿並不相象的輪子。
——（法國）阿波利奈爾
撰文 | 蔡天新（浙江大學數學學院教授）
知識分子為更好的智趣生活 ID：The-Intellectual
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自行車的發明，讓鄉村小夥子們能夠去遙遠的村莊尋找自己心儀的女孩子。我所認識的已故美國作家戈爾·維達爾認定，自行車的發明使得世界人口有了少許的增長。對此我是這樣理解的，有了自行車以後，在當時人口主要集居地的農村，青年人擇偶範圍的半徑擴大了兩三倍，面積則擴大了近十倍，結婚率和生育率因此有了相應提高。
誰發明了獨輪車？
在自行車發明之前，人類早已發明了使用輪子的手拉車。大約於公元前1500-前900年形成的印度醫學典籍《梨俱吠陀》（
Rigveda）裡，就有這樣的詩句：男人與女人相互平等
一如手拉車的兩個輪子
這部典籍是印度醫學之源，屬於世界上最古老的宗教——吠陀教的經典《吠陀》。全書用詩的語言寫成，“吠陀”的本義是知識，“梨俱”是作品中詩節的名稱。
►印度南方的四輪手推車。作者攝於班加羅爾。
直到19世紀60年代，為躲避宗教迫害，從東海岸的紐約移民到西部猶太州鹽湖城的摩門教徒們，在首領楊百翰帶領下，仍使用手拉車完成遷移。如今，以楊百翰命名的大學是美國最大的教會大學、歷史第三悠久的私立大學，擁有一個頻繁國際演出的歌舞團。
手拉車或手推車通常分為獨輪、兩輪、三輪和四輪四種。雖說多輪的運貨車大約在五千年前已經出現，獨輪車的發明卻要遲許多。一般認為，獨輪車是由古希臘人發明的，可是證據少得可憐，僅僅有兩張發現於阿提卡半島的古代建築物資清單，這兩份清單開列於公元前408年至前406年間，出現了monokyklou、dikyklos和tetrakyklos字樣，後兩者分別意為“雙輪車”和“四輪車”，而mono有單一之意，加上非複數後綴。因此，monokyklou被解釋為獨輪車是合理的。但實際上，在整個古典希臘時期，都沒有使用獨輪車的其他文字、圖像或實物留存下來。
除了希臘，中國也被認為是最早發明獨輪車的國家。獨輪車在四川和山東發掘的漢墓壁畫及浮雕中已有出現，而按文字記載，獨輪車的概念來自三國時期的蜀國丞相諸葛亮（181-234）。陳壽的《三國志》（280）裡就有記載“木牛流馬，皆出其意”，後人考證，木牛流馬很可能就是獨輪車。到了宋代，高承所撰《事物紀原》也將獨輪車的發明歸功於諸葛亮。
更早一些時候，在主要取材於西漢經學家劉向（前77-前6）所著《孝子傳》的《二十四孝》一書中，有自幼喪母的董永用“鹿車”載父的故事。“鹿車載自隨。”鹿車，很多人也認為是獨輪車的別稱。董永後來賣身葬父，成為孝子的模範，他的故鄉湖北孝感因此得名，那兒還有“董永與七仙女”的愛情故事和“一日夫妻百日恩”的俗語流傳。
在范曄的《後漢書》（445）裡，也有兩則與鹿車有關的故事。
其一是成語“共挽鹿車”。大夫鮑宣（前30-3）的新娘少君出自有錢人家，嫁妝豐厚，但鮑宣拒絕接受。於是少君把華麗的服飾全部收藏起來，改穿簡樸衣裳，與鮑宣一起推著鹿車，到了鮑宣家。拜見婆母后，就提著水甕去汲水，奉行做媳婦的禮節，獲得鄉親稱讚。
其二發生在公元23年。赤眉起義爆發，殺死西漢最後一個皇帝劉玄，大臣趙憙也被赤眉軍包圍，只得從房上逃走。同行的有好友韓仲伯，韓因妻子長相漂亮，擔心賊兵強暴她，自己也會跟著受害，於是要把她丟下。趙憙責罵他，用泥塗在韓妻臉上，把她裝上鹿車，親自推行。每遇賊兵，趙憙就說她病重，得以免受汙辱並逃脫。
自行車的發明者
1866年清朝首次派出出洋考察團，19歲的（遼寧）鐵嶺少年張德彝隨行。回國後他在遊記《航海述奇》裡用了“自行車”一詞，這是自行車一詞在漢語裡的首次出現。除了自行車，電報、螺絲等也是張德彝翻譯的，他還首次引進了標點符號，介紹了蒸汽機、升降機、縫紉機、收割機、管道煤氣、巧克力，等等。
1790年的一天，一位叫西夫拉克的法國青年，行走在巴黎的一條小街上。因為頭一天下過雨，路上有許多積水。忽然，一輛四輪馬車從身後疾馳而來，西夫拉克躲閃不及，被濺了一身泥水。路人看見，替西夫拉克不平，想喊那輛馬車停下，他卻擺擺手。馬車走遠了，西夫拉克仍待在路邊，他尋思著：為何不讓馬車瘦身呢？可否不要馬拉？可否把四個車輪變成兩個車輪？不是早期手拉車或馬車那樣並排的兩個輪子，而是前後各一個。他這樣想著，回家就動手開始設計。
此時，離開馬車（還有牛車、驢車）誕生已過了四千多年。大約在公元前2000年，黑海附近大草原的部落騎馬來到底格里斯和幼發拉底之間的兩河流域，開始用馬來拉有輪子的車。這些馬車不僅拉貨運物，也載人。之後，馬車就成為世界各國主要的交通和運輸工具。
經過反覆試驗，第二年，即莫扎特去世的那年，西夫拉克設計出了第一架代步的不需藉助外力的車子。它是木製的，沒有驅動和轉向裝置，騎車人靠雙腳用力蹬地前行，改變方向時必須下車移動。即使這樣，當西夫拉克騎著這輛自行車到公園兜風時，看見的人也都頗為驚異和讚歎。1817年，德國人德萊斯給自行車裝上了車把，可以控制方向，翌年在巴黎作了第一次展示。實用則要到1861年，法國人米肖父子在前輪裝上曲柄，不用踩地，用腳驅動就可以帶動車輪前進。第二年，他們製造了140多輛，第五年產量達到了400輛。1874年，英國人勞森為自行車裝上鍊條；1888年，愛爾蘭獸醫鄧洛普發明了充氣輪胎。
►小米肖的自行車（1868年）
至於張德彝在遊記中所描述的在倫敦街頭見到的自行車，應該還沒有鏈條和充氣輪胎。“前後各一輪，一大一小，大者二尺，小者尺半，上坐一人，弦上輪轉，足動首搖，其手自按機軸，而前推後曳，左右顧視，趣甚。”
其實，製造出第一輛自行車的是一位中國人，那還是在西夫拉克之前一個世紀的清朝康熙年間，發明者是揚州人黃履莊（1656-？）。據《清朝野史大觀》（1915）記載：“黃履莊所制雙輪小車一輛，長三尺餘，可坐一人，不須推輓，能自行。行時，以手挽軸旁曲拐，則復行如初，隨住隨挽日足行八十里。”
黃履莊的表兄弟為他寫的小傳裡也提到此事，那年他還不到28歲。遺憾的是，黃履莊的雙輪小車既沒有保留下來，也沒有得到推廣，這是一件非常讓人惋惜的事。有人說他發明的也許是輪椅，但輪椅怎麼能走得那麼遠呢？黃履莊在工程機械製造方面有很深的造詣，除了自行車，他一生髮明無數，被後人贊為“中國的愛迪生”。
黃履莊的發明遠近聞名，傳到了安徽宣城梅文鼎的耳朵裡。梅文鼎是清代最著名的數學家，大學士李光地曾邀其住到京城家中，向他學習數學和天文。後來經李光地推薦，康熙召見了梅文鼎，在南巡的御舟中兩人曾連續三天談論數學，康熙還親書“績學參微”四字以資鼓勵。黃履莊去世後，其墓地由江寧織造、作家曹雪芹的父親奉旨營造。
梅文鼎聽到黃履莊發明許多奇器的傳說，將信將疑，親自到揚州登門拜訪。當他來到黃家，舉手敲門，門邊的一條狗突然朝他大叫，梅文鼎不知所措。這時候黃履莊開門出迎，只見他拍拍狗的腦袋，它就乖乖地躺下，也不再發出叫聲了。
原來這是主人特製的木狗，有人來敲門時會發出狗叫聲，起到門鈴的作用。遺憾的是，作為數學家的梅文鼎並未發現，黃履莊發明的雙輪小車亮點在於，用兩個圓圈替換兩條直線（行走的雙腿），也就是直線與圓概念的偷換。而在非歐幾何學裡，圓和直線可以是等價的。
神行太保與機器人
發明一種機械，代替人的行走，或像鳥一樣飛翔，這是人類存在已久的夢想。明代小說家施耐庵的《水滸傳》描寫的是距今一千多年前北宋的故事。其中有個人物叫戴宗，綽號神行太保，他是我孩提時代豔羨之人。戴宗原在江州（今江西九江）做官，為救助宋江，他偽造了蔡京書信，被識破後上了梁山。戴宗排行第二十，職司為總探聲息頭領，可謂是如今信息社會的先行者。
戴宗有道術，每當他把甲馬拴在腿上，能日行八百里，為梁山五絕之一。第39回有一首《西江月》描寫他的神行法：“頃刻才離鄉鎮，片時又過州城。金錢甲馬果通神，萬里如同眼近。”那麼，究竟何為甲馬呢？甲馬是古人祭祀用的物品，作者在這裡把它作為一種飛行神器。而在我小時候的想象裡，甲馬是一根短小的棍子，像田徑比賽的接力棒，綁在腿上。用直線代替直線，這無疑是模仿，一種較為簡單的想象力。
按評書的說法，戴宗跑得快是因為他有一匹古怪坐騎，集十二生肖的特徵於一身。再細看《水滸傳》，甲馬每次用後要燒掉。同樣是在第39回，戴宗夜宿客店，“解下甲馬，取數陌金紙燒送了。”既然如此，甲馬應與紙錢一樣是紙製品，它是供神靈昇天時騎用的。戴宗的道術在於此，他利用了神靈享有的權利。但甲馬不能白用，所以每次用過之後，都要用紙錢一起燒送。
有時候，寫作會是一種預言。1920年，捷克作家卡雷爾•恰佩克（1890-1938）出版了劇本《羅素姆萬能機器人》，劇中有位名叫羅素姆的哲學家研製出一種機器人，被資本家大批製造出來充當勞動力。可是，如果世界上充滿了機器人，那人類就會停止生育而面臨末日。因此作者描寫了一對會戀愛和生育的機器人，以此象徵人類將免遭滅亡。
翌年，這出極富想象力的戲上演後轟動了歐洲。恰佩克在劇中創造的“機器人”角色和詞彙robot，已被西方主要語言接納，這部作品也被譯成各種文字。不過，robot一詞是由卡雷爾的畫家哥哥約瑟夫發明的，他依據捷克文Robota（勞役）和波蘭文Robotnik（工人）創造出來。卡雷爾曾七次獲得諾貝爾文學獎提名，後因肺病英年早逝，約瑟夫則死於納粹的集中營。
在恰佩克的劇本出版19年以後，美國西屋電器公司便在紐約世博會上展出了第一臺家用機器人。不久以後，第一臺可編程序機器人和第一臺工業機器人先後被註冊，隨後獲得專利。之後，各式各樣的機器人如雨後春筍般在世界各地被髮明出來。
►谷歌研製的安卓，詞意為像人的機器。
與此同時，早在1942年，22歲的美國科幻小說家阿西莫夫就在一部短篇《轉圈圈》中訂立了所謂的“機器人三定律”，某種意義上成為業界普遍認可的研發準則，也標誌著人類對機器人倫理探討的開始：
一、機器人不得傷害人類，或袖手旁觀坐視人類受到傷害；
二、除非違背第一法則，機器人必須服從人類的命令；
三、在不違背第一和第二法則情況下，機器人必須保護自己。
不知清朝的揚州人黃履莊發明的那隻木狗，可否算作機器人的前身呢？
黎曼的非歐幾何學
自從歐幾里得建立了歐氏幾何，在數學的嚴格性和推理性方面樹立了典範，兩千多年來，它始終保持著神聖而不可動搖的地位。不僅數學家們相信歐氏幾何是絕對真理，哲學家們也都認定歐氏幾何是明白的和必然的，康德在《純粹理性批判》中聲稱，物質世界必然是歐幾里得式的。
另一方面，早在1739年，即康德上大學的前一年，蘇格蘭哲學家休漠出版了一本著作，否定了宇宙中的事物有一定法則。他的不可知論表明，科學是純粹經驗性的，歐幾里得幾何的定理未必是物理的真理。
事實上，歐氏幾何並非無懈可擊，從它誕生那一刻起，就有一個問題困擾著數學家們，那就是歐幾里得第5公設，也稱平行公設。它的敘述不像其他四條公設那樣簡單明瞭，這條被法國人達朗貝爾戲稱為“幾何學的家醜”的著名公設可以這樣敘述，
過已知直線外一點，能且僅能作一條直線與已知直線平行。
自古以來，許多的數學家都曾嘗試證明平行公設，都沒有成功。特別值得一提的是兩位波斯數學家歐瑪爾•海亞姆和納西爾丁，他們對平行公設做了較為深入的探討。如圖，假設一個四邊形ABCD，AB和CD等長且均垂直於BC邊，則依照對稱性，∠A和∠D相等。平行公設等價於，證明∠A和∠D都是直角。
►波斯人試圖利用此圖，證明平行公設。
納西爾丁證明了，如果∠A與∠D是銳角，則可推出三角形的內角和小於180°，這正是羅巴切夫斯基幾何的基本命題，它的另一種等價形式是
過已知直線外一點，能作不止一條直線與已知直線平行。
這是非歐幾何學的一種，它是在19世紀前半葉，由德國數學家高斯、匈牙利數學家鮑耶和俄國數學家羅巴切夫斯基各自獨立發明的。
1854年，德國數學家、高斯的學生黎曼建立起一種更為廣泛的幾何學，即現在所稱的黎曼幾何學，羅氏幾何和歐氏幾何都是這種幾何學的特例（分別對應於銳角假設和直角假設）。在黎曼之前，數學家們都認為鈍角假設與公認的直線可以無限延長的假設矛盾，因此被取消了，黎曼卻把它找了回來。
黎曼區分了“無限”和“無界”這兩個概念，認為直線可以無限延長並不意味著就其長短而言是無限的，而只不過是說，它是沒有端點或無界的（例如開區間）。在做了這個區分之後，黎曼證明了，鈍角假設也與銳角假設一樣，能無矛盾地引申出新的幾何學。
在黎曼眼裡，地球儀（或任意球面）上每個大圓可以看成是一條直線。何為大圓？大圓就是地球儀上圓心在球心的圓，如每一條經線，緯線則只有赤道線是大圓。不難發現，這樣的“直線”是無界但卻長度有限，任意兩條不同的“直線”均相交。換句話說，沒有兩條直線是平行的。例如，假設赤道線是已知直線，北極點為直線外一點，每條經線均為過北極點的直線。反之亦然，這樣一來，
過已知直線外一點，不能作一條直線與已知直線平行。
事實上，每條經線均與赤道線垂直，由此也可推得，任意兩條經線與赤道線圍成的三角形內角和大於180度，因為兩底角是90度，而頂角大於零度。
用圓圈替換線段狀的兩條大腿行走，這正是自行車的秘密和成功之處。
►畢加索的雕塑《公牛頭》
最後，我想說說西班牙人畢加索。作為立體主義繪畫的鼻祖，畢加索的藝術靈感來源於四維幾何學。當畢加索從一個酷愛數學的精算師（保險、金融等行業分析風險並量化其財務影響的專業人員）朋友那裡瞭解到存在一種四維幾何學，他即刻展開了想象：繪畫是把三維空間的物體表現在二維平面上，那麼四維空間裡的物體表現在二維平面上該是什麼樣呢？於是在1907年，誕生了《亞維農少女》這幅立體主義的開山之作。
除了畫畫，畢加索也做雕塑，這對他似乎是工作和生活中的一個調劑。《公牛頭》是一件現成品，它的材料是自行車的部件，把手是牛角，坐墊是牛臉。這兩個部件原本不在一起，藝術家通過想象力，拆除了中間的三角檔，讓把手翻轉過來，與坐墊連成一體，一件藝術品就這麼誕生了。又一次，我們回到本文開頭提到的自行車。
注：本文原標題“自行車的發明與黎曼幾何學‘”，收錄在蔡天新教授的新書《數學的故事》，該書即將由中信出版社出版。
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