创设"最近发展区"，培养学生的创新意识
在数学教学中如何培养学生的创新意识，是一个严肃而又深刻的课题。21世纪高新技术产业的发展，要求人们具备创新意识。然而创新意识的培养又是一个长期的智力开发的过程。
学生所学知识是人类经过创造发明已经得出的结果。因此，在数学教学中使学生领会到知识形成的过程，在教师指导下自己经历这个知识发现与形成的过程，对学生创新意识的启迪与培养有着基础作用。因为这样的教学过程，实际上是学生参与的"再创造"过程。
教学中教师要采用灵活多样的方法训练和鼓励学生的创造性思维。
例 在赞科夫的实验中，教师出了一道7+7+4+7+7+7+7=？的题目。解这个题的最"笨"的方法，就是一步一步地连加。教师启发学生用简便地方法来解答。于是，学生提出了用6X7+4的方法解。这时候，一个叫伊戈尔的学生提出了"新方案"，他建议用7X7-3的方法解。赞科夫认为，伊戈尔的思维具有创造性，这个"方案"是他自己"发现"的，在他的思维活动中，他"看见"了一个实际并不存在的7：他假设在4的位置上是一个7，这样就可以把题目先假设为7X7。接着他的思维又参与了论证：7-3才是原题中实际存在的4。赞科夫说，伊戈尔的解题方法不是靠死记硬背得来的，而是他取得了一种迅速而又准确地把握新材料并把他在思想上加以改造的能力，这可以说是一种高效的或者创造性的思维能力。
汕头大学数学系钱昌本教授，在西安交通大学任教时，曾以数学课外小组的形式作为发展学生智力的尝试，经常利用5分钟问题激发学生的智力活动。
例如 老师像学生那么大时，学生才2岁，学生若长到老师这般年龄，则老师将44岁。问老师和学生现在年龄各是多少？常规做法是这样的：
设学生为x岁，老师为y岁，则师生年龄差为y-x岁。联立方程为
x-(y-x)=2
y+(y-x)=44
解方程组得 x=16,y=30
钱教授启发学生，利用图形分析。于是有的学生提出了如下解法：
从图中可以知道，AB=BC=CD，所有师生年龄差BC为1/3（44-2）=14岁，从而马上求得：学生现年16岁，老师现年30岁。
由于教师对学生灵活的思路及时加以了肯定，课题教学气氛非常活跃，学生都有跃跃欲试的愿望。这样的教学，实际上是在启迪学生的创新意识。其实，学生数学创新意识的培养，首先要求教师要有创新意识。教师对教学内容进行创新思索，再引导学生去经历这个过程，将会取得很好的效果。
这里我们特别举一道周春荔教授为中学生数学课外讲座的课堂教案设计实录。
例 已知：▲ABC中，P为BC边上任意一点，PE||BA，PF||CA，若S▲ABC=1，求证：S▲BPF,S▲PCE和S■PEAF中至少有一个不小于4/9。
这是一道高中联赛问题，通常学生都是利用二次函数求极值的方法求解，命题组给出的答案也是这种方法。
周春荔教授向学生介绍自己求解这个问题的新的解法思路，以启发学生去灵活地分析问题。因为题目要求学生达到的潜在发展区水平离学生现有的发展水平较远，于是，采用如下策略，使较远的发展过程转化为依次递进的"最近发展区"。
(1) 教师开门见山，很直观地将▲ABC每边三等份，如图所示
使其成为9个全等的小三角形。每个小三角形面积都是1/9。
在这样的启发下，学生易知问题转化为：证明 ▲BPF，▲PCE，平行四边形PEAF中至少有一个图形要占不少于四个小三角形面积。
如此创设的问题情境使得思路直观，新颖，因而吸引了学生的注意，也激发了学生的 兴趣，从而进入思维情境，与老师一同思索。
(2) 能够直接看出结果？教师指出，若P在线段BM1上，显然S▲PEC≥4/9；若P在线段M2C上，则S▲BPF≥4/9。那么，P在M1M2内部时，是否平行四边形PEAF的面积大于4/9？如下图
此时学生的注意力都集中到了该图上，在老师的引导下思索。所余问题只需比较平行四边形PEAF的面积与▲AN1N2（由四个小三角形组成）面积的大小。利用几何知识不难证明，▲①≌▲②，▲③≌▲④。由此运用割补法，将▲②补到▲①处，将▲③补到▲④处。平行四边形PEAF的面积仍大于▲AN1N2的面积。因此，平行四边形PEAF的面积不小于4/9成立。
(3) 在学生欣喜品味胜利成果之时，教师继续创设问题情境：这个问题代数形式的实质表达是什么？离开图形直观，抽象为纯粹的数量关系，这时学生在老师的诱导下思索：设S▲PBF=S1，S▲PCE=S2,BP=a,PC=b,如下图
由S▲ABC=1及相似三角形面积之比等于对应边之比的平方，可得：
因此问题等价于：
若a>0,b>0,求证：
中至少有一个表达式的值不小于4/9。
这是一道已经转化为学生现有发展水平的地道的代数问题。通常我们不难采用反证法加以证明。
设
都小于4/9，
由
由
由
而由（1），（2）可知(2a-b)(a-2b)<0，与（3）式矛盾。因此就证明了
中至少有一个表达式的值不小于4/9。
(4) 教师进一步创设问题情境：依问题的代数形式，你能否设计一种几何解法？这里我们注意到（a+b）的平方很容易以a+b为边的正方形面积直观表示如下图：
在老师的启发下由学生独立地思索，正方形a平方，b平方及两个矩形ab(即2ab)中，至少有一项不小于(a+b)平方的4/9。
这样为学生创设了又一个"最近发展区"。
这样的讲解启发学生动脑动手，使学生进入并始终处在一种数学情境之中，处于教师所激发形成的"思维场"中体验思维的过程，在由教师所创设的符合学生思维水平的一个个"最近发展区"中完成思维过程。这样的施教既有一定的深度又有力度，使数学教学成为数学思维活动的教学，使教师的"教"有效地转化为学生的"学"。
在数学教学中发展学生的创新意识，固然要利用发散性思维，多角度看问题。数形结合等多种形式，可以有助于对学生创造性思维的培养。而展示思维过程的"过程教学法"，有时甚至直接展现教师的思维，对学生创造性思维的培养能起到重要的作用。
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