九年級數學相似圖形壓軸題解析一例（4）

例題5、（2018年包頭市中考數學

① 如圖 1 、連接 BD ，O 是對角線 BD 的中點 ，連接 OE 。當 OE = DE 時，求 AE 的長 ；

② 如圖 2 、連接 BE 、EC ，過點 E 作 EF⊥EC 交 AB 於點 F ，連接 CF ，與 BE 交於點 G 。

當 BE 平分 ∠ABC 時 ，求 BG 的長 ；

③ 如圖 3 、連接 EC ，點 H 在 CD 上，將矩形 ABCD 沿直線 EH 摺疊，摺疊後點 D 落在 EC 上的點 D' 處，過點 D‘ 作 D‘N⊥AD 於 N ，與 EH 交於點 M ，且 AE = 1 。

（1）求 S△ED'M ：S△EMN 的值 ；

（2）連接 BE ，△D'MH 與 △CBE 是否相似？請說明理由 。

解題思路：

① 由△ABD 是直角三角形，O 是對角線 BD 的中點，可求出 OD = OB = OA ，在來證明 △ODE∽△ADO，即可求出 AE 的長；

② 先來證明 △AEF≌△DCE ，進而求出 BF = 1 ，過點 G 作 GK⊥BC 於點 K ，易證 △CKG∽△CBF ，通過方程設未知數和相似三角形的對應線段成比例，進而求出 BK = GK = 5/6 , 在等腰直角△BKG 中，用勾股定理即可得出結論；

③ （1）在 Rt△EDC 中，易求出 EC = 5 ，由 ED = ED' ,可求出 D'C = 1 ，根據勾股定理可求出 DH = 4/3，CH = 5/3 ,

再來證明 △EMN∽△EHD，則有 MN : HD = EM : EH ；△ED'M∽△ECH ，則有 D'M ：CH = EM ： EN ，

進而得出 D'M ：MN = CH : HD = 5/4 , 即可得出結論 ；

（2）先證明 ∠MD'H = ∠NED'（都和∠ED'N互餘），進而得出 ∠MD'H = ∠ECB ，即可得出 D'M /CB = D'H/CE ，

即可證明 △D'MH 與 △CBE 是否相似 。

解答過程：

① 如圖1，連接 OA ，在矩形 ABCD 中 ，CD= AB = 3 , AD = BC = 5 , ∠BAD = 90° ，

在 Rt△ABD 中 ，由勾股定理可得 ：BD = √34 。

∵ O 是 BD 的中點 ， ∴ OD = OB = OA = √34/2 ,

∴ ∠OAD = ∠ODA ，

∵ OE = DE , ∴ ∠EOD = ∠ODE ，

∴ △ODE∽△ADO ，

∴ DO/AD = DE/DO , 即 DO^2 = DE ▪ AD ,

設 AE = x ， 則 DE = 5 - x ,

∴ ( √34/2)^2 = 5 ▪ ( 5 - x ) ,

解得： x = 33/10 ,

∴ AE = 33/10 ;

② 如圖2、過點 G 作 GK⊥BC ，垂足為點 K ，則 ∠GKB = 90° ，

∵ 在矩形 ABCD 中 ，BE 平分 ∠ABC ，

∴ ∠ABE = ∠CBE = 45° ，AD∥BC ，

∴ ∠AEB = ∠EBC ,

∴ ∠AEB = ∠ABE ，△AEB 為等腰直角三角形 ，

∴ AE = AB = CD = 3 ,

∵ EF⊥EC ，∴ ∠FEC = 90° ，

又 ∵ ∠AEF + ∠DEC = 180° - ∠FEC = 90° ，∠AEF + ∠AFE = 90° ，

∴ ∠AFE = ∠DEC ，

∵ ∠A = ∠D = 90° ， AE = DC ,

∴ △AEF≌△DCE （AAS）

∴ AF = DE = 2 , BF = AB - AF = 1 。

∵ ∠GKB = ∠ABC = 90° ， ∴ FB∥GK ，

∴ △CKG∽△CBF ，

∴ GK : BF = CK : CB ,

∵ ∠KBG = 45° ，∠GKB = 90° ，

∴ ∠BGK = 45° ，△BKG 是等腰直角三角形 。

設 BK = GK = y , 則 CK = 5 - y ,

∴ y : 1 = ( 5 - y ) : 5 , 解得 y = 5/6 ,

∴ BK = GK = 5/6 ,

∴ 在等腰直角 △BKG中 ，BG = √2 BK = 5√2/6 。

③ (1) 在矩形 ABCD 中 ， ∠D = 90° ，

∵ AE = 1 , AD = 5 , ∴ DE = 4 ,

∵ DC = 3 , ∴ 在 Rt△EDC 中，EC = 5 。

由摺疊可知：ED' = ED = 4 , D'H = DH , ∠ED'H = ∠D ，

∴ D'C = 1 ，

設 D'H = DH = z , 則有 HC = 3 - z ，

在 Rt△HD'C 中，由勾股定理可得 ：（3 - z）^2 = 1^2 + z^2 ,

∴ 解得 z = 4/3 ，

∴ DH = 4/3 , CH = 5/3 。

∵ D'N⊥AD ，∴ ∠AND' = ∠D = 90° ，

∴ D'N∥DC ，

∴ △EMN∽△EHD ，△ED'M∽△ECH ，

∴ MN/HD = EM/EH , D'M/CH = EM/EH ,

∴ MN/HD = D'M/CH ,

∴ D'M/MN = CH/HD = 5/4 ,

∴ S△ED'M ：S△EMN = 5/4 ；

(2) 相似。

理由：由摺疊的性質可知，∠EHD' = ∠EHD ，∠ED'H = ∠D = 90° ，

∴ ∠MD'H + ∠ED'N = 90° ，

∵ ∠END' = 90° ， ∴ ∠ED'N + ∠NED' = 90° ，

∴ ∠MD'H = ∠NED' ,

∵ D'N∥DC ， ∴ ∠EHD = ∠D'MH ，

∴ ∠EHD' = ∠D'MH ,

∴ D'M = D'H ,

又 ∵ AD∥DC ， ∴ ∠NED' = ∠ECB ，

∴ ∠MD'H = ∠ECB ，

∵ CE = CB = 5 ,

∴ D'M/CB = D'N/CE ,

∴ △D'MH ∽ △CBE 。

評註：此題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，角平分線的定義，及列方程解未知數等知識，熟練掌握判定兩三角形相似的方法是解本題的關鍵。

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