老師們：
四點共圓是一個經典問題，很多優秀老師都以此做為切入點發表研究文章。本文為您收集四點共圓問題的研究現狀，嘗試剖析作者的研究思路。
四點共圓問題有兩個研究方向：求證四個點共圓和推導四點共圓的充要條件。以下從三個角度來梳理研究思路。
第一境界：掌握已有的解題技巧；
第二境界：剖析背後的思維方法；
第三境界：分享自己的研究成果。
純幾何角度
在小編多方查證下：四點共圓問題在80，90年代還曾入選過《初級中學課本_幾何》中。（那個時候小編還沒出生！所以對於更早的課本有沒有四點共圓問題小編就不知道了，在網上只找到了89年版的）以下是該書中涉及證明四個點共圓的定理：
圖 1：對角互補
圖 2：公共弦
圖3：外角等於內對角
圖4：相交弦定理
圖 5：切割線定理
可以看出這些證明四點共圓的方法都是純幾何證法。在初中範圍內，證明四點共圓的方法一般有7種[1]：
1， 圓的定義法：根據圓的定義“到定點的距離等於定長的集合為圓”。首先尋找圓心，之後去求出各點到圓心的長度。在高中遇到四點共圓問題時，很多學生和老師的思路也是如此。
2， 對角互補法：利用“如果一個四邊形的對角互補，那麼它內接於圓。”進行證明。找出四邊形的一組對角，之後證明它們互補，進而得出四個點共圓。
3， 公共邊法：利用“有相同邊的兩個三角形，且公共邊的對應的角相等且在邊的同一側，那麼這兩個三角形內接於同一個圓”，進行證明。
4， 外角等於它的內對角法：找到一個角的外角和其內對角相等即可得證。其原理和對角互補法相似，不過多闡述。
5， 圓冪定理：圓冪定理即為相交弦定理，切割線定理和割線定理的統一形式。它的具體內容為：如果交點為P的兩條相交直線與圓O相交於A、B與C、D，則PA·PB=PC·PD。一般運用其逆定理證明四點共圓，很多高中老師都是運用圓冪定理去推導四點共圓的充要條件。
6， 證明四點組成的圖形是矩形，等腰梯形等必有外接圓的圖形[2]。
7， 托勒密定理：托勒密定理為“圓的凸內接四邊形的對邊乘積和等於對角線乘積”。運用托勒密定理的逆定理進行證明。
以上即為初中（30年前）常見的證明四點共圓的方式。雖然說現在這些定理推論都不教了，但是遇到四點共圓問題還是要用這些東西。名義上是減負，但是不會這些去證明四點共圓問題反而讓學生感到更加困難。
那我們為什麼要介紹四點共圓問題的純幾何方法呢？經過小編大量的閱讀四點共圓方面的文章，發現很多老師的工作都是基於這些純幾何的定理推論。
解析幾何角度
在高中知識點的範疇內，四點共圓問題很少有純幾何的題目（除了數學競賽外[3]）。作為圓錐曲線的一部分，圓的問題一般都是緊密的和圓錐曲線聯繫在一起。更有很多老師不滿足於研究這種退化的二次曲線，把四點共圓問題放到非退化的二次曲線背景去研究。
我們在前文中提到，很多老師都是基於圓冪定理來證明四個點共圓或者推導四點共圓問題的充要條件。我們再來看下圓冪定理：
如果交點為P的兩條相交直線與圓O相交於A、B與C、D，則PA·PB=PC·PD。
那麼證明四點共圓問題時，我們可以先用四個點構建一個四邊形並用代數式表示出兩條對角線的方程之後和圓錐曲線聯立。求得PA·PB和PC·PD的值，證明它們相等進而得證四點共圓。
四點共圓的充要條件的推導也是基於圓冪定理之上。這樣推導的四點共圓充要條件為：
圓錐曲線上四個不同的點組成的四邊形對角線傾斜角互補。
在證明四點共圓問題和推導四點共圓充要條件有一個小技巧就是可以用交點P建立兩條對角線的參數方程。這樣PA·PB和PC·PD的值可以用韋達定理得出，並且避免討論直線沒有斜率的情況[4]。
繼續考察圓冪定理可以發現：保持四個點不重不漏，四邊形可已作出三組相對的線段。那麼基於圓冪定理，我們當然可以直接判斷：
1. 四個點共圓則其組成的四邊形的對邊平行或傾斜角互補（兩條直線平行時因為沒有交點，所以無法用圓冪定理，下同）；
2. 四個點組成的四邊形中的三組直線只要有一組直線的傾斜角互補（即四點共圓），則剩下的兩組直線平行或傾斜角互補。
值得一提的是：張乃貴老師在其《圓錐曲線上四點共圓充要條件的研究》[5]一文中並沒有假定四點已經共圓，而是直接給出我們上面的2個推論。在其證明過程中發現當拋物線上的四個點共圓時，它們的縱座標之和等於0。即：
在姬士學，王恩權老師的文章中也給出了相同的推論[6]。這個條件是拋物線上四點共圓的一個充要條件。
在幾何即圓冪定理的指導下，能做出的工作基本如此。各位老師可以試著計算下，反正小編是算的手軟了。然而以甘志國老師為代表的一些老師並沒有囤於前人的思路，反而從另一個角度來看待四點共圓問題[7][8][9][10][11]。甘志國老師通過構建曲線簇去找出一條經過四個點的圓的方程。這樣做的好處使得計算大大的簡便，並且繞過了圓冪定理這個“缺失”的知識點。比如說接下來這道題：
解題思路：
這種解法及背後的意義在我們上篇的文章都有討論，請各位老師進入名師鍛造公眾號進行觀看。
那麼基於這種想法，我們設兩條對角線的方程為：
若四點共圓，則可得出的結論為：
該條件為四點共圓的充要條件，我們發現它和圓冪定理得到的條件等價，但是圓冪定理可以快速的判斷兩組對邊的傾斜角情況（該條件也可判斷，但是需要一定的計算去判斷組合後的圓的半徑是否有意義）。在線性組合的思想下我們可以得出什麼？
兩條圓錐曲線有4個交點，則這四個點共圓[8][11]。這在幾何的背景下很難想到。（具體的證法各位老師可以觀看我們本專題的視頻）
當四點共圓時，其中的一邊上的兩個定點不斷接近，考慮極限的情況，又可以得出什麼呢？（答案當然在小編第一喜歡的甘老師四點共圓的視頻中啦）
甘老師的工作都是基於退化的二次曲線上，那麼在非退化的二次曲線上呢？這個時候二次曲線的方程變為：
在線性組合的思想下我們知道想要組合成圓的標準方程，則需要消去含有xy的交叉項，並且使二次項的係數相等且不為0。聯立這兩個方程組:
進行線性組合，當四點共圓時，我們可以得到：
同樣的有四個交點的兩條圓錐曲線，四點共圓的充要條件是：
通過圓冪定理進行推導，思路和退化情況沒有差別，最後得出：
這些就是高中範圍內四點共圓問題的常見推論和其思路。
高等數學角度
在求證四個點共圓的問題上，一些老師從矩陣的角度出發，給出只要其中有三個點不共線的四點滿足下列矩陣即可共圓。
我們可以把圓的標準方程看做：
則該矩陣是關於圓的係數的四元一次方程組，若四點滿足該矩陣，則證明方程組有唯一解，即四點共圓。這裡要注意的是三點不能共線，否則可能解出A=0的直線方程（四點共線時）。在小編看文章時很多研究者忽略了這一點，廣大老師需要注意。
而有一些老師把四點共圓放在複平面的背景下來考慮。複數表示角度簡潔方便，自然就可以聯想到用關於角度的定理去推導，在我們一開始介紹的純幾何證法有提到：如果一個四邊形對角互補，則這個四邊形內接於圓。那麼基於這個證法，複平面下的四點共圓充要條件的推導思路如下[12]：
這裡有兩點需要注意：
一是下面這個式子的順序：
要注意好誰做分子，誰做分母。分子分母上下順序相反會造成旋轉角度相反，在閱讀一些關於複平面四點共圓的文章時，有的老師上下順序便弄反了。
二是小編設四點交代了四點的順序，所以證明會簡單，不用討論角1和角3的位置關係，有些老師沒有像小編這樣取巧，證明的思路會更復雜些，但是最後的結論是一樣的[12]。
以上便為四點共圓問題的研究現狀，感興趣的老師可以根據我們羅列的參考文獻找到相應文檔資料。當然甘志國老師已將研究成果以視頻教學形式完整展示出來，想探究甘老師解題思路的您趕快來觀看專題視頻吧！
參考文獻
[1] 陳新星,趙啟鸞.四點共圓判定定理證明歸納[J].中學教研,1984.
[2] 戴浩池.點的共圓證明淺談[J].雲南教育,1981:42-43.
[3] 黃志軍.高中數學競賽中的幾道四點共圓題[J].中等數學,2014(7):2-6.
[4] 姜坤崇.標準二次曲線上四點共圓的充要條件[J].中等數學,1984(5):9-10.
[5] 張乃貴.圓錐曲線上四點共圓充要條件的研究[J].數學教學,2012(7):7-8.
[6] 姬士學.王恩權.拋物線上四點共圓的一個充要條件[J].中學數學月刊(蘇州),1997(1):24-25.
[7] 甘志國.對一道高考題的研究[J].數學通訊,2005(22):21.
[8] 甘志國.二次曲線上的四點共圓問題的探究[J].數學通訊,2013(7):40-41.
[9] 甘志國.簡解二次曲線上的四點共圓問題[J].數學教學研究,2015(8):64-65.
[10] 鄒生書.構建曲線系方程簡解四點公園問題[J].河南理科教學研究,2012(5):40-41.
[11] 徐有詳.圓錐曲線四點共圓充要條件的統一證明及簡單拓展[J].數學教學,2013(1):27-28.
[12] 戴麗萍.四點共圓的一個複數形式條件[J].中等數學,1992(2):27
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