足球比賽：擲硬幣決定誰先開球
我們生活在概率的時代。大家都知道，擲硬幣的話會出現正面或者背面的情況，但沒有人能夠預測到底會出現哪一面。解決這種不確定問題的數學理論就是概率理論。
1494 年意大利數學家帕西奧尼(1445－1509)出版了一本有關算術技術的書，書中敘述了這樣的一個問題：在一場賭博中，某一方先勝6 局便算贏家，在一次比賽中，甲方勝了4局，乙方勝了3局，因出現意外，賭局不得不被中斷，此時，賭金應該如何分配？
帕西奧尼的答案是：應當按照4：3的比例把賭金分給雙方，當時，許多人都認為帕西奧尼的分法不是那麼公平合理，因為，已勝了4局的甲方只要再勝2局就可以拿走全部的賭金，而乙方則需要勝3局，並且只少有2 局必須連勝，這樣要困難得多，但是，人們又找不到更好的解決方法。
帕斯卡
在這以後的 100 多年中， 先後有多位數學家研究過這個問題，但均未得到過正確的答案，直到1654年一位經驗豐富的法國賭徒默勒以自己的親身經歷向帕斯卡請教 “賭金分配問題”，引起了這位法國天才數學家的興趣，由此引導他深人研究，並與地處偏遠南方山區的費馬頻頻通信，他們分別用了自己的方法獨立而又正確地解決了這個問題。
費馬
費馬的解法是,如果繼續賭局,最多隻要再賭4輪便可決出勝負,如果用“甲”表示甲方勝，用“乙”表示乙方勝,那麼最後4輪的結果,不外乎以下 16 種排列：
在這16種情形種，甲只需再勝兩局便可贏得比賽，這樣的情形有11 種。而以需要贏得三局，才能贏得比賽，這樣的情形只有5種。所以賭金應該按照 11：5 的比例分配。帕斯卡解決這個問題則是用了他的“黃金三角形”，歐洲人常稱之為“帕斯卡三角形”。
帕斯卡三角形
帕斯卡利用這個三角形求從n件物品中一次取出 r 件的組合數，由上圖可知，三角形第五行上的數恰好是賭博問題，其中1是甲出現4 次的組合數，4是甲出現3次的組合數等等。因此賭金應按照11:5 的比例分配，這與費馬得到的結果是完全一致的。
擲色子游戲
人稱“數學怪傑”的意大利數學家卡爾達諾也曾專門探討過賭博中骰子出點的規律。據說，卡當參加過這樣的一種賭博：把兩顆骰子擲出去,以骰子朝上的點數之作為賭的內容。已知骰子的六個面上分別為1－6點，那麼，賭注下在多少點上最有利？卡當曾預言說押在7最好。事實上，兩個骰子朝上的面共有36種可能，點數之和分別可為2－12共11種,(如下圖)：
從圖中可以看出，7是最容易出現的和數，它出現的概率最高。
帕斯卡和費馬以“賭金分配問題”開始的通信形式討論，開創了概率論研究的先河。數學史家一般認為，正是這兩個法國人的通信，奠定了概率論這一數學分支的基礎。隨後，打賭的論證也進人到他最重要的散文著作《思想錄》，成為其中最長最有名的片段之一，他的出發點是，上帝要麼存在要麼不存在，這是一個與打賭一樣非此即彼的問題。
荷蘭數學家惠更斯
後來荷蘭數學家惠更斯（1629－1695）也參加了這場討論,並寫出了關於概率論的第一篇正式論文《賭博中的推理》。帕斯卡、費馬、惠更斯一起被譽為概率論的創始人。事至今日,概率論已經在各行各業中得到了廣泛的應用,發展成為一門極其重要的數學學科。
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