幽谷山水

用二进制可以很方便的解答这个问题，智能时代，从小培养孩子的黑客技术。

我们知道十进制1111=10º+10+10²+10³，所以S=4º+4+4²+4³+……就是4进制1111……，一共有n+1个1。

因为2²=4，只要把一位拆成两位，4进制就能转化成二进制，考虑到二进制11等于3，把S乘以3变成n+1个3就可以转化为二进制11111……，一共有2 n+2个1。

我们把7也换成二进制，7=2²+2+2º，所以二进制是111。3S中只要1的个数是3的倍数就能整除111。(参考十进制666666÷666理解)。

回到题目上，因为S除以7余1，所以3S除以7余3，二进制就是余11。3S有2n+2个1，减去2个剩2n个，所以2n是3的倍数。216是3的倍数，正确答案是C。

唠科请留步

先上答案：选C。用换元法结合余数三大定理，今天用小学奥数知识点尝试解题，欢迎指正，下面是我的解题思路。

先翻译一下，这个算式的和(S)除以7余1，求n可能等于下面哪个选项？

A,214 B,215 C,216 D,217

解题思路

① 换元法先化简算式，如图。

② 利用余数三大定理解题

① 已知S除以7余1，3除以7余数为3

→ 3S要除以7余3（积的余数等于余数的积）

② 4的n+1次方要除以7余4。

③ 4的n+1次方等于4的n次方乘以4

→ 4的n次方除以7要余1。

④ 观察4的指数顺序从0开始的数除以7的余数。

→ 归纳为1，4，2顺序循环。

→ n为3的倍数时，4的n次方除以7余1。

进而保证S除以7余1。

答案为C

一学堂王老师

从4的零次方开始，1,4,16,64,256,1028除以7的余数分别为1,4,2,1,4,2,发现规律没有，

所以n=1,2,3*****的余数分别为5,0,1,5,0，1*****，n为3的倍数时，余数为1.答案只有C.

这道题应该还是比较简单。做题我们还是不要把方法搞得太复杂。现在初中生连余数定理根本就不懂啊，就是找点规律来做题。

初中数学研究

4°+4¹+4²=21能被7整除，以后3项为一组，可以提取4^3k，每三项和都为7的倍数，因此容易得到n为3的倍数时，给定式子被7整除，注意提取的的因式4^3k=8^2k=（7+1）^2k，二项式展开，观察容易得到被7除余1，因此之后就是每3项规律一样，对自然数k，当n=3k时（跟n=0时一样），被7除余1，当被n=3k+1时（跟n=1时一样）余数为5，当被n=3k+2时被7整除。题中要求余数为1，即要求n是3的倍数，题中只有216符合要求。

初一二项式没教，可以找到上述规律。

ZJA70179005

选C，我们发现4的n次方除7的余数分别为1，4，2，并以此循环。而1+4+2=7，因此，4的等比数列中任意3个连续项之和一定被7整除。在原式中，我们发现将连续的3项组合后，这个数会被7整除，而下个数则被7除余1。我们的项数从0开始，使得项的个数为3的倍数则需要最后一项为（3n-1），其下一项为3n，故选3的倍数。

认可一二

余数为1，说明除4的零次方以外的数，其和必能被七整除。

關鍵字: 黑客技术 解答 数学