上一篇“成绩暂时差点没关系”中把教育目标分了三个层次，分别是基础知识，思维方法，实际应用，其中思维方法是我重点阐述的核心。接下来，我把数学思维方法从“数学思维方法研究的对象和内容”，“数学思维方法的产生，发展与层次性”，“数学思维方法与数学教育”三个方面作一个概述，科普，帮助大家对数学思维建立一个理性认识。
数学思维方法研究的对象和内容
数学思维方法研究人们从事数学活动时思维发生，发展的规律，以及这些思维规律所具有的方法论意义上的特征。由于数学思维方法的研究具有思维活动的心理学特征和思维科学的特征，因此它必将涉及和运用一些心理学，思维科学中的概念。具体的说，数学思维方法将把思维，数学思维，数学发展中的发现，发明与创新的思维过程作为自己的研究对象。
一．思维与数学思维
（一）思维
数学思维是从属于一般思维的，要讨论研究数学思维，就必然涉及心理学与思维科学的研究成果。
心理学给思维的定义是：思维是人脑借助于语言对客观事物的本质及其规律的间接与概括的反映。
从思维科学研究的角度分析，思维是作为人的个体理性认识事物的表现，它通常可以分为抽象（逻辑）思维，形象思维和特异思维（包括灵感思维，特异感知思维等）。目前，有关思维科学的研究正在积极进行中。
思维是一个复杂的心理过程，当客观事物作用于人脑时，人脑会对各种信息有一个分析，综合，比较，抽象，概况，系统化，具体化的过程。作为一种认识过程，思维是在感性认识基础上进行的理性认识，它属于认识过程的高级阶段。举个例子，在对三角形的认识中，感知只能认识到三角形的形状，颜色和大小，而思维则舍弃三角形的这些表象特征，概况出三角形都具有三个角，三条边和三角形内角和等于180度等共同的本质特征。
1. 思维的特征
（1）思维的方向性
思维的方向性特征又称为目的性，探索性或问题性特征。所谓思维的方向性，是指思维在对事物的本质及其规律的寻找过程中，总是以解决问题作为方向，也就是说思维总是沿着解决问题的方向发展自己。问题在思维中起到一种激励作用，它是思维探索活动的动力，同时也是思维活动的路标和指南针。
（2）思维的概括性
思维的概括性特征是指思维不仅仅依赖当前的刺激和直接的感知，它还具有舍弃某些事物的表象而直接进行抽象概括的特征。即把同一类事物的共同的，本质的特征或事物间的规律性的联系，抽取出来加以概括。举个例子，人们通过对大小不同圆的圆周与其半径的推算，舍弃了圆的大小及半径的长短，抽象概括出一切圆的周长与半径之比都是一个常数。思维的概括性包含两层意思：第一，能把一类事物中的共性加以抽象概括；第二，能从部分事物的相互关系中抽象出普遍的或必然的联系，并把它推广到同类的现象中去。
（3）思维的间接性。
思维的间接性是指人们凭借已有的知识经验或以其他事物为媒介，间接地推 知事物过去的变化，认识事物现实的本质，预见事物未来的发展。在数学研究中，思维的间接性十分明显。因为数学本身就是一种非现实存在的理性构造，人们就是运用了间接性的思维特征，才从已有的数学成果中获得了新的理论。
2.思维的分类
根据不同的分类形式，思维有不同的表现形态。
（1）根据思维的形态不同，可以将思维分为动作思维、形象思维和抽象思维。
动作思维是指以实际的动作为支柱的思维，也称为操作思维或实践思维。它的特点是直观的、在实际操作活动中产生和进行的。3岁前的儿童思维就以动作思维为主。
形象思维是指用表象进行分析、综合、抽象、概括的过程。形象思维中的基本单位是表象，幼儿在3～6岁的思维多属于形象思维。成人的思维中也有形象思维的发生，特别是艺术家、作家、导演等更多地运用形象思维。数学家有时也借助形象思维来表述某些抽象的概念，当然，成人的形象思维与儿童的形象思维有本质的差异。
抽象思维是运用概念、判断和推理的形式来反映事物本质的思维。这种思维是以概念为支柱进行的思维，人们把它看作是人类思维的核心形态，又称为理性思维。抽象思维的形式又有形式逻辑与辩证逻辑之分，两者既有区别又有联系。形式逻辑的概念具有抽象性和确定性，辩证逻辑的概念具有具体性和灵活性。数学作为一种形式逻辑思维的表述过程和构造形式，它在发生发展的过程中也具有辩证逻辑的形式。如微积分中极限概念的产生、发展和最后定义，就明显地表现出辩证逻辑思维的形式。
（2）根据思维过程的指向不同，可以将思维分为集中思维和发散思维。
集中思维又称求同思维，聚合思维或纵向思维。集中思维是指把问题的各种信息集中到一起求出一个共同的，单一的，确定的答案。如果某个问题只有一个正确答案，思维的过程就是要找出这个正确的答案。
发散思维又称求异思维，分散思维或横向思维。发散思维是指思考问题时，从一个目标出发，沿着各种不同途径去思考，寻找各种可能的正确答案。这种思维无一定的方向和范围，不墨守成规，具有更大的主动性和创造性。科学家的发明创造，艺术家的艺术作品，理论家的新观点和新创见，多得益于发散思维的成果。
（3）根据思维的智力品质不同，可以将思维分为习惯性思维和创造性思维。
习惯性思维是指用惯常的方式，固定的模式解决问题的思维。这种思维较为普遍，人么总愿意用旧有的，习惯的方式去解决问题，可以不费太大的努力就得出答案。这种思维缺乏主动性，有时会产生错误的认识。
创造性思维是指有主动性和创新性的思维，它没有固定的模式和方法，也不遵循已有的思路。创造性思维利用已有的信息独立思考，根据问题和情境创造性的探索答案。创造性思维往往是逻辑思维和非逻辑性思维的有机结合。
（二）数学思维的概念与特征
数学思维是人类思维的一种形式，具有思维的一般规律与特征。
1. 数学思维的概念
一般的说，数学思维就是数学活动中的思维。更确切的说，数学思维是人脑在和数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符号语言以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律做出的间接概括的反映。
数学思维是由数学对象，并且主要是由数学问题推动发展的。可以认为，数学问题是推动数学发展的动力和方向，当然解决问题也正是数学思维要达到的目的。从本质上说，数学思维的过程就是不断提出问题和解决问题的过程，数学思维的能力也就是提出数学问题，解决数学问题的能力。
数学问题解决的差异代表了不同的数学思维表现形式，解决不同的数学问题就形成了不同的数学思维规律。可以认为，数学问题对数学思维的启动，导向，展开都起着决定性的作用。注重数学问题在教学中的作用，有着十分重要的意义。
从数学问题解决的角度分析，数学思维总是指向问题的分析，问题的变换和问题的最后解决。在这一点上可以认为数学思维与数学问题解决是密不可分的。
我们还可以把数学思维简单的分为具体实践问题的数学化思维和具体数学问题的解题思维。前者是应用数学中数学家们要进行的数学思维，后者则是数学教育尤其是初等数学教育中常见的数学思维。
下面举一个高中数学中具体数学问题解决的数学思维的一个例子，它表明了数学思维在数学问题解决中的变换。
例 已知 a,b,m ∈R+,且a>b,求证：
（a+m）/(b+m) < a/b
解题思路（1）：由于待证式中的字母均为正数，容易看出，它等价于更简单的下述问题
变换为： 已知a,b,m ∈R+,且a>b,求证：（a+m）b < (b+m)a
解题思路（2）：待证式还等价于（a+m）/(b+m) - a/b < 0,因此它就变换为更加开放的下述问题
变换为：已知a>b>0,且m>0,比较 （a+m）/(b+m)于 a/b的大小
解题思路（3）由待证式（a+m）/(b+m) < a/b 的两边取倒数，则有(b+m)/(a+m)>b/a。故原问题又等价于下述问题
变换为：已知a>b>0,且m>0, 求证(b+m)/(a+m)>b/a
解题思路(4)若把待证式稍加变换为 （a+m）/(b+m) < (a+0)/(b+0), 则可更一般化的进一步变换成（a+x2）/(b+x2) < (a+x1)/(b+x1),其中a>b>0,x2>x1>=0，则原问题的较强命题就是下述问题
变换为：已知a>b>0,，证明函数f(x)=(a+x)/(b+x)在[0,+∞）内是严格单调的减函数。它的证明较简单，只需在x2>x1》=0的情况下，验算
f(x2)-f(x1)=（a+x2）/(b+x2)-（a+x1）/(b+x1)= -（a-b）(x2-x1)/(b+x2)(b+x1)<0即可。
2. 数学思维的特征
数学思维的特征重要表现在它的高度抽象性，形式化的严谨性和表现方式的多样性。
数学思维的高度抽象性，是指在数学思维的过程中把思维对象的某些现实的属性舍弃，把思维的对象抽象化为一定的数量关系，空间形式或逻辑关系，然后再把这些特定的数学关系表示成为一般的符号形式。数学思维的抽象性，还指它不仅仅停留再一次抽象的基础上，通常的数学符号形式可能经过多次的抽象。有时由于数学问题本身就已经抽象化了，因此这种思维过程更属于高度抽象化的形式。于人类的所有思维形式相比，这种完全认为创造的符号化的数学语言，是数学思维高度抽象化的基础。
数学思维形式化的严谨性，是指数学思维发生，发展和表述的过程，是一种形式化的严密过程。这种过程的逻辑性，严密性，准确性不容许又一丝差错，不允许有对与错之间的状态。正是数学思维的这种形式化的严谨性，使数学成为人类所有科学形式的最终表达手段。
数学思维表现的多样性，是指在数学思维的过程中，尤其在解决具体数学问题时数学思维并不是严格的逻辑演绎，并不都是三段论式的证明形式，这些只是数学思维最后的表现形式。隐藏在这些抽象，严谨形式之下的是在数学思维中出现的猜测，试错，想象，着觉，审美等思维形式。这种数学思维的多样性特征，不仅表现在数学家处理，解决数学问题的思维特征上，而且表现在普通人的数学思维活动中。现在数学教育理论的研究表明，数学思维的非逻辑演绎的多样化思维在中小学的数学活动中也是十分重要的，数学作为一种自由创新的学科，它的猜测，试错，想象，着觉，审美等思维形式有时比逻辑演绎和公理化数学思维更重要。
二．数学思维方法
数学思维方法是由数学的符号，概念，语言，按照数学特定的规律，法则，运用数学思维在数学领域中形成的一种方法。数学思维方法具有一般科学的方法论的特征，当然作为特定的数学形式，它又有着自身的特殊形式。
按照数学思维方法运用的领域，表现形式不同，可以将数学思维方法做如下几种形式的分类。
（一）按照数学思维方法适用的范围不同，可以把它分为宏观思维方法和微观思维方法
宏观数学思维方法，也称基本或重大的数学思维方法，是指对整个数学领域都产生重大影响的数学思维方法，如公理化思维方法，变量分析的思维方法等。这些思维方法曾极大地推动了整个数学的发展。当然这些思维方法又和哲学思想及科学思想的一般方法相联系。
微观数学思维方法，是指对某个数学分支发挥作用或由某些数学家群体使用的数学思维方法，如代数的一些思维方法，几何学的一些思维方法等。微观数学思维方法中还包括数学问题解决或数学问题发现的一些具体的思维方法。
（二）按照数学思维的逻辑形式不同，可以把它分为逻辑思维方法和非逻辑思维方法
数学思维的逻辑思维方法，主要是指按照形式逻辑的方式展开数学思维的方法。数学的定理证明及理论构造都是严格按照形式逻辑的思维方式展开和构成的，可以说数学的结果都是按照形式逻辑来表现的。
数学思维的非逻辑思维方法，是指在数学思维中运用的猜想，直觉，灵感，形象等思维方式。这些思维形式经常地，大量地出现在解决数学问题之中，在现代的数学教育理论中，人们越来越认识到非逻辑思维在数学学习和数学教育中的地位。
（三）按照数学思维解决问题的方式不同，可以把它分为程式化思维方法和发现性思维方法
数学的程式化思维方法，是指按照数学习惯的，原有的方式来解决问题。在数学学习和解决问题中这种方式表现为规范的逻辑演绎方式。
数学的发现性思维方法，也可以称之为创新性思维方法。这种思维方式的特点是它不遵循程式化的逻辑演绎的数学思维方式，而选择带有个人特性，主观色彩，独立特性的思维方式。现代数学教育理论十分注重这种与传统数学思维相区别的发现式思维方式。
（四）按照数学教育的阶段或数学分支领域的不同，可以将其分为不同的带有专业特征的思维方法
如按数学分支的差异，我们可以分为几何思维方法，代数思维方法，微积分的思维方法，概率统计的思维方法等。尽管现代数学的发展使某些数学分支之间的界线有些模糊，但对于初等数学或一般高等数学阶段的学习而言，不同数学分支的数学思维方法都由起自身的明显特征。
对初等数学的学习而言，集合对应的思维方法，公理化结构的思维方法，空间形式的思维方法，变量与函数的思维方法等都是具有初等数学特征的一些思维方法。对于小学数学教育而言，数学教师应当更加自觉的掌握和运用具有小学数学特征的思维方式，以便使自己的数学教学更符合小学的思维阶段性特征。
（五）在学习某个数学分支的数学思维中，我们还可以把数学思维分成不同的思维方法
这主要包括：建立数学概念的思维方法；解决数学问题的思维方法；论证表述数学命题的思维方法；构建数学理论体系的思维方法/
在数学的发展历史中，笛卡尔创立解析几何的过程可以为我们学习，考察数学思维方法提供一个很好的例证。
笛卡尔是人类文化史中的一位伟大学者，被公认为是接触的近代哲学家，是第一流的物理学家，是近代生物的奠基人，同时他还是解析几何的创立者之一（另一位是费马）。
笛卡尔创立解析几何的思维方法，可以看作是数学中重大的思维方法。笛卡尔在创立解析几何时是这样思考的：
任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。
这里的思维方式实际上代表了笛卡尔的哲学思想，尽管这种方法没有最终实现，但正是这种重大的与当时传统方法不同的思维方式，使笛卡尔创立了一种几何与代数相结合的道路。
作为一种具体的思维方法，笛卡尔把代数与几何相结合，尤其在当时的历史背景中突出了代数的重要地位。它使当时的人们能够认识到，在几何形式上互不相关的问题，可以用代数的方法归为一类。线性代数中的二次型就是利用代数的方法讨论二次曲线，二次曲面的分类。
同时，作为一种微观的数学思维方法，笛卡尔开创的代数与几何相结合的思维方式，已经成为我们今天解析几何教学中必须遵循的一种思维方法。
例如，在解析几何中讨论空间坐标系，曲面上点的性质与坐标系中方程的关系时，都要明确指出：
曲面上点的性质可用点的坐标x,y,z之间的关系式F(x,y,z)=0表示；同时每一个方程F(x,y,z)=0都表示空间的一个曲面。方程与曲面的一一对应的思维方式已经成为解析几何学习，研究和教学的一个基本的思维方式。
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