上一篇“成績暫時差點沒關係”中把教育目標分了三個層次，分別是基礎知識，思維方法，實際應用，其中思維方法是我重點闡述的核心。接下來，我把數學思維方法從“數學思維方法研究的對象和內容”，“數學思維方法的產生，發展與層次性”，“數學思維方法與數學教育”三個方面作一個概述，科普，幫助大家對數學思維建立一個理性認識。
數學思維方法研究的對象和內容
數學思維方法研究人們從事數學活動時思維發生，發展的規律，以及這些思維規律所具有的方法論意義上的特徵。由於數學思維方法的研究具有思維活動的心理學特徵和思維科學的特徵，因此它必將涉及和運用一些心理學，思維科學中的概念。具體的說，數學思維方法將把思維，數學思維，數學發展中的發現，發明與創新的思維過程作為自己的研究對象。
一．思維與數學思維
（一）思維
數學思維是從屬於一般思維的，要討論研究數學思維，就必然涉及心理學與思維科學的研究成果。
心理學給思維的定義是：思維是人腦藉助於語言對客觀事物的本質及其規律的間接與概括的反映。
從思維科學研究的角度分析，思維是作為人的個體理性認識事物的表現，它通常可以分為抽象（邏輯）思維，形象思維和特異思維（包括靈感思維，特異感知思維等）。目前，有關思維科學的研究正在積極進行中。
思維是一個複雜的心理過程，當客觀事物作用於人腦時，人腦會對各種信息有一個分析，綜合，比較，抽象，概況，系統化，具體化的過程。作為一種認識過程，思維是在感性認識基礎上進行的理性認識，它屬於認識過程的高級階段。舉個例子，在對三角形的認識中，感知只能認識到三角形的形狀，顏色和大小，而思維則捨棄三角形的這些表象特徵，概況出三角形都具有三個角，三條邊和三角形內角和等於180度等共同的本質特徵。
1. 思維的特徵
（1）思維的方向性
思維的方向性特徵又稱為目的性，探索性或問題性特徵。所謂思維的方向性，是指思維在對事物的本質及其規律的尋找過程中，總是以解決問題作為方向，也就是說思維總是沿著解決問題的方向發展自己。問題在思維中起到一種激勵作用，它是思維探索活動的動力，同時也是思維活動的路標和指南針。
（2）思維的概括性
思維的概括性特徵是指思維不僅僅依賴當前的刺激和直接的感知，它還具有捨棄某些事物的表象而直接進行抽象概括的特徵。即把同一類事物的共同的，本質的特徵或事物間的規律性的聯繫，抽取出來加以概括。舉個例子，人們通過對大小不同圓的圓周與其半徑的推算，捨棄了圓的大小及半徑的長短，抽象概括出一切圓的周長與半徑之比都是一個常數。思維的概括性包含兩層意思：第一，能把一類事物中的共性加以抽象概括；第二，能從部分事物的相互關係中抽象出普遍的或必然的聯繫，並把它推廣到同類的現象中去。
（3）思維的間接性。
思維的間接性是指人們憑藉已有的知識經驗或以其他事物為媒介，間接地推 知事物過去的變化，認識事物現實的本質，預見事物未來的發展。在數學研究中，思維的間接性十分明顯。因為數學本身就是一種非現實存在的理性構造，人們就是運用了間接性的思維特徵，才從已有的數學成果中獲得了新的理論。
2.思維的分類
根據不同的分類形式，思維有不同的表現形態。
（1）根據思維的形態不同，可以將思維分為動作思維、形象思維和抽象思維。
動作思維是指以實際的動作為支柱的思維，也稱為操作思維或實踐思維。它的特點是直觀的、在實際操作活動中產生和進行的。3歲前的兒童思維就以動作思維為主。
形象思維是指用表象進行分析、綜合、抽象、概括的過程。形象思維中的基本單位是表象，幼兒在3～6歲的思維多屬於形象思維。成人的思維中也有形象思維的發生，特別是藝術家、作家、導演等更多地運用形象思維。數學家有時也藉助形象思維來表述某些抽象的概念，當然，成人的形象思維與兒童的形象思維有本質的差異。
抽象思維是運用概念、判斷和推理的形式來反映事物本質的思維。這種思維是以概念為支柱進行的思維，人們把它看作是人類思維的核心形態，又稱為理性思維。抽象思維的形式又有形式邏輯與辯證邏輯之分，兩者既有區別又有聯繫。形式邏輯的概念具有抽象性和確定性，辯證邏輯的概念具有具體性和靈活性。數學作為一種形式邏輯思維的表述過程和構造形式，它在發生發展的過程中也具有辯證邏輯的形式。如微積分中極限概念的產生、發展和最後定義，就明顯地表現出辯證邏輯思維的形式。
（2）根據思維過程的指向不同，可以將思維分為集中思維和發散思維。
集中思維又稱求同思維，聚合思維或縱向思維。集中思維是指把問題的各種信息集中到一起求出一個共同的，單一的，確定的答案。如果某個問題只有一個正確答案，思維的過程就是要找出這個正確的答案。
發散思維又稱求異思維，分散思維或橫向思維。發散思維是指思考問題時，從一個目標出發，沿著各種不同途徑去思考，尋找各種可能的正確答案。這種思維無一定的方向和範圍，不墨守成規，具有更大的主動性和創造性。科學家的發明創造，藝術家的藝術作品，理論家的新觀點和新創見，多得益於發散思維的成果。
（3）根據思維的智力品質不同，可以將思維分為習慣性思維和創造性思維。
習慣性思維是指用慣常的方式，固定的模式解決問題的思維。這種思維較為普遍，人麼總願意用舊有的，習慣的方式去解決問題，可以不費太大的努力就得出答案。這種思維缺乏主動性，有時會產生錯誤的認識。
創造性思維是指有主動性和創新性的思維，它沒有固定的模式和方法，也不遵循已有的思路。創造性思維利用已有的信息獨立思考，根據問題和情境創造性的探索答案。創造性思維往往是邏輯思維和非邏輯性思維的有機結合。
（二）數學思維的概念與特徵
數學思維是人類思維的一種形式，具有思維的一般規律與特徵。
1. 數學思維的概念
一般的說，數學思維就是數學活動中的思維。更確切的說，數學思維是人腦在和數學對象交互作用的過程中，運用特殊的數學符號語言以抽象和概括為特點，對客觀事物按照數學自身的形式或規律做出的間接概括的反映。
數學思維是由數學對象，並且主要是由數學問題推動發展的。可以認為，數學問題是推動數學發展的動力和方向，當然解決問題也正是數學思維要達到的目的。從本質上說，數學思維的過程就是不斷提出問題和解決問題的過程，數學思維的能力也就是提出數學問題，解決數學問題的能力。
數學問題解決的差異代表了不同的數學思維表現形式，解決不同的數學問題就形成了不同的數學思維規律。可以認為，數學問題對數學思維的啟動，導向，展開都起著決定性的作用。注重數學問題在教學中的作用，有著十分重要的意義。
從數學問題解決的角度分析，數學思維總是指向問題的分析，問題的變換和問題的最後解決。在這一點上可以認為數學思維與數學問題解決是密不可分的。
我們還可以把數學思維簡單的分為具體實踐問題的數學化思維和具體數學問題的解題思維。前者是應用數學中數學家們要進行的數學思維，後者則是數學教育尤其是初等數學教育中常見的數學思維。
下面舉一個高中數學中具體數學問題解決的數學思維的一個例子，它表明了數學思維在數學問題解決中的變換。
例 已知 a,b,m ∈R+,且a>b,求證：
（a+m）/(b+m) < a/b
解題思路（1）：由於待證式中的字母均為正數，容易看出，它等價於更簡單的下述問題
變換為： 已知a,b,m ∈R+,且a>b,求證：（a+m）b < (b+m)a
解題思路（2）：待證式還等價於（a+m）/(b+m) - a/b < 0,因此它就變換為更加開放的下述問題
變換為：已知a>b>0,且m>0,比較 （a+m）/(b+m)於 a/b的大小
解題思路（3）由待證式（a+m）/(b+m) < a/b 的兩邊取倒數，則有(b+m)/(a+m)>b/a。故原問題又等價於下述問題
變換為：已知a>b>0,且m>0, 求證(b+m)/(a+m)>b/a
解題思路(4)若把待證式稍加變換為 （a+m）/(b+m) < (a+0)/(b+0), 則可更一般化的進一步變換成（a+x2）/(b+x2) < (a+x1)/(b+x1),其中a>b>0,x2>x1>=0，則原問題的較強命題就是下述問題
變換為：已知a>b>0,，證明函數f(x)=(a+x)/(b+x)在[0,+∞）內是嚴格單調的減函數。它的證明較簡單，只需在x2>x1》=0的情況下，驗算
f(x2)-f(x1)=（a+x2）/(b+x2)-（a+x1）/(b+x1)= -（a-b）(x2-x1)/(b+x2)(b+x1)<0即可。
2. 數學思維的特徵
數學思維的特徵重要表現在它的高度抽象性，形式化的嚴謹性和表現方式的多樣性。
數學思維的高度抽象性，是指在數學思維的過程中把思維對象的某些現實的屬性捨棄，把思維的對象抽象化為一定的數量關係，空間形式或邏輯關係，然後再把這些特定的數學關係表示成為一般的符號形式。數學思維的抽象性，還指它不僅僅停留再一次抽象的基礎上，通常的數學符號形式可能經過多次的抽象。有時由於數學問題本身就已經抽象化了，因此這種思維過程更屬於高度抽象化的形式。於人類的所有思維形式相比，這種完全認為創造的符號化的數學語言，是數學思維高度抽象化的基礎。
數學思維形式化的嚴謹性，是指數學思維發生，發展和表述的過程，是一種形式化的嚴密過程。這種過程的邏輯性，嚴密性，準確性不容許又一絲差錯，不允許有對與錯之間的狀態。正是數學思維的這種形式化的嚴謹性，使數學成為人類所有科學形式的最終表達手段。
數學思維表現的多樣性，是指在數學思維的過程中，尤其在解決具體數學問題時數學思維並不是嚴格的邏輯演繹，並不都是三段論式的證明形式，這些只是數學思維最後的表現形式。隱藏在這些抽象，嚴謹形式之下的是在數學思維中出現的猜測，試錯，想象，著覺，審美等思維形式。這種數學思維的多樣性特徵，不僅表現在數學家處理，解決數學問題的思維特徵上，而且表現在普通人的數學思維活動中。現在數學教育理論的研究表明，數學思維的非邏輯演繹的多樣化思維在中小學的數學活動中也是十分重要的，數學作為一種自由創新的學科，它的猜測，試錯，想象，著覺，審美等思維形式有時比邏輯演繹和公理化數學思維更重要。
二．數學思維方法
數學思維方法是由數學的符號，概念，語言，按照數學特定的規律，法則，運用數學思維在數學領域中形成的一種方法。數學思維方法具有一般科學的方法論的特徵，當然作為特定的數學形式，它又有著自身的特殊形式。
按照數學思維方法運用的領域，表現形式不同，可以將數學思維方法做如下幾種形式的分類。
（一）按照數學思維方法適用的範圍不同，可以把它分為宏觀思維方法和微觀思維方法
宏觀數學思維方法，也稱基本或重大的數學思維方法，是指對整個數學領域都產生重大影響的數學思維方法，如公理化思維方法，變量分析的思維方法等。這些思維方法曾極大地推動了整個數學的發展。當然這些思維方法又和哲學思想及科學思想的一般方法相聯繫。
微觀數學思維方法，是指對某個數學分支發揮作用或由某些數學家群體使用的數學思維方法，如代數的一些思維方法，幾何學的一些思維方法等。微觀數學思維方法中還包括數學問題解決或數學問題發現的一些具體的思維方法。
（二）按照數學思維的邏輯形式不同，可以把它分為邏輯思維方法和非邏輯思維方法
數學思維的邏輯思維方法，主要是指按照形式邏輯的方式展開數學思維的方法。數學的定理證明及理論構造都是嚴格按照形式邏輯的思維方式展開和構成的，可以說數學的結果都是按照形式邏輯來表現的。
數學思維的非邏輯思維方法，是指在數學思維中運用的猜想，直覺，靈感，形象等思維方式。這些思維形式經常地，大量地出現在解決數學問題之中，在現代的數學教育理論中，人們越來越認識到非邏輯思維在數學學習和數學教育中的地位。
（三）按照數學思維解決問題的方式不同，可以把它分為程式化思維方法和發現性思維方法
數學的程式化思維方法，是指按照數學習慣的，原有的方式來解決問題。在數學學習和解決問題中這種方式表現為規範的邏輯演繹方式。
數學的發現性思維方法，也可以稱之為創新性思維方法。這種思維方式的特點是它不遵循程式化的邏輯演繹的數學思維方式，而選擇帶有個人特性，主觀色彩，獨立特性的思維方式。現代數學教育理論十分注重這種與傳統數學思維相區別的發現式思維方式。
（四）按照數學教育的階段或數學分支領域的不同，可以將其分為不同的帶有專業特徵的思維方法
如按數學分支的差異，我們可以分為幾何思維方法，代數思維方法，微積分的思維方法，概率統計的思維方法等。儘管現代數學的發展使某些數學分支之間的界線有些模糊，但對於初等數學或一般高等數學階段的學習而言，不同數學分支的數學思維方法都由起自身的明顯特徵。
對初等數學的學習而言，集合對應的思維方法，公理化結構的思維方法，空間形式的思維方法，變量與函數的思維方法等都是具有初等數學特徵的一些思維方法。對於小學數學教育而言，數學教師應當更加自覺的掌握和運用具有小學數學特徵的思維方式，以便使自己的數學教學更符合小學的思維階段性特徵。
（五）在學習某個數學分支的數學思維中，我們還可以把數學思維分成不同的思維方法
這主要包括：建立數學概念的思維方法；解決數學問題的思維方法；論證表述數學命題的思維方法；構建數學理論體系的思維方法/
在數學的發展歷史中，笛卡爾創立解析幾何的過程可以為我們學習，考察數學思維方法提供一個很好的例證。
笛卡爾是人類文化史中的一位偉大學者，被公認為是接觸的近代哲學家，是第一流的物理學家，是近代生物的奠基人，同時他還是解析幾何的創立者之一（另一位是費馬）。
笛卡爾創立解析幾何的思維方法，可以看作是數學中重大的思維方法。笛卡爾在創立解析幾何時是這樣思考的：
任何問題→數學問題→代數問題→方程求解。
這裡的思維方式實際上代表了笛卡爾的哲學思想，儘管這種方法沒有最終實現，但正是這種重大的與當時傳統方法不同的思維方式，使笛卡爾創立了一種幾何與代數相結合的道路。
作為一種具體的思維方法，笛卡爾把代數與幾何相結合，尤其在當時的歷史背景中突出了代數的重要地位。它使當時的人們能夠認識到，在幾何形式上互不相關的問題，可以用代數的方法歸為一類。線性代數中的二次型就是利用代數的方法討論二次曲線，二次曲面的分類。
同時，作為一種微觀的數學思維方法，笛卡爾開創的代數與幾何相結合的思維方式，已經成為我們今天解析幾何教學中必須遵循的一種思維方法。
例如，在解析幾何中討論空間座標系，曲面上點的性質與座標系中方程的關係時，都要明確指出：
曲面上點的性質可用點的座標x,y,z之間的關係式F(x,y,z)=0表示；同時每一個方程F(x,y,z)=0都表示空間的一個曲面。方程與曲面的一一對應的思維方式已經成為解析幾何學習，研究和教學的一個基本的思維方式。
閱讀更多 STEAM新數學 的文章
