能被4，8，9整除的數的特徵
我們在三年級已經學習了能被2，3，5整除的數的特徵，這一講我們將討論整除的性質，並講解能被4，8，9整除的數的特徵。
數的整除具有如下性質：
性質1 ：如果甲數能被乙數整除，乙數能被丙數整除，那麼甲數一定能被丙數整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那麼48一定能被8整除。
性質2 ：如果兩個數都能被一個自然數整除，那麼這兩個數的和與差也一定能被這個自然數整除。例如，21與15都能被3整除，那麼21＋15及21-15都能被3整除。
性質3 ：如果一個數能分別被兩個互質的自然數整除，那麼這個數一定能被這兩個互質的自然數的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質，那麼126能被9×7＝63整除。
利用上面關於整除的性質，我們可以解決許多與整除有關的問題。為了進一步學習數的整除性，我們把學過的和將要學習的一些整除的數字特徵列出來：
（1）一個數的個位數字如果是0，2，4，6，8中的一個，那麼這個數就能被2整除。
（2）一個數的個位數字如果是0或5，那麼這個數就能被5整除。
（3）一個數各個數位上的數字之和如果能被3整除，那麼這個數就能被3整除。
（4）一個數的末兩位數如果能被4（或25）整除，那麼這個數就能被4（或25）整除。
（5）一個數的末三位數如果能被8（或125）整除，那麼這個數就能被8（或125）整除。
（6）一個數各個數位上的數字之和如果能被9整除，那麼這個數就能被9整除。
其中（1）（2）（3）是三年級學過的內容，（4）（5）（6）是本講要學習的內容。
因為100能被4（或25）整除，所以由整除的性質1知，整百的數都能被4（或25）整除。因為任何自然數都能分成一個整百的數與這個數的後兩位數之和，所以由整除的性質2知，只要這個數的後兩位數能被4（或25）整除，這個數就能被4（或25）整除。這就證明了（4）。
類似地可以證明（5）。
（6）的正確性，我們用一個具體的數來說明一般性的證明方法。
837＝800＋30＋7
＝8×100＋3×10＋7
＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7
＝8×99＋8＋3×9＋3＋7
＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。
因為99和9都能被9整除，所以根據整除的性質1和性質2知，（8x99＋3x9）能被9整除。再根據整除的性質2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判斷837能被9整除。
利用（4）（5）（6）還可以求出一個數除以4，8，9的餘數：
（4‘）一個數除以4的餘數，與它的末兩位除以4的餘數相同。
（5＇）一個數除以8的餘數，與它的末三位除以8的餘數相同。
（6＇）一個數除以9的餘數，與它的各位數字之和除以9的餘數相同。
例1 在下面的數中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？
234，789，7756，8865，3728.8064。
解：能被4整除的數有7756，3728，8064；
能被8整除的數有3728，8064；
能被9整除的數有234，8865，8064。
例2 在四位數56□2中，被蓋住的十位數分別等於幾時，這個四位數分別能被9，8，4整除？
解：如果56□2能被9整除，那麼
5＋6＋□＋2＝13＋□
應能被9整除，所以當十位數是5，即四位數是5652時能被9整除；
如果56□2能被8整除，那麼6□2應能被8整除，所以當十位數是3或7，即四位數是5632或5672時能被8整除；
如果56□2能被4整除，那麼□2應能被4整除，所以當十位數是1，3，5，7，9，即四位數是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。
到現在為止，我們已經學過能被2，3，5，4，8，9整除的數的特徵。根據整除的性質3，我們可以把判斷整除的範圍進一步擴大。例如，判斷一個數能否被6整除，因為6＝2×3，2與3互質，所以如果這個數既能被2整除又能被3整除，那麼根據整除的性質3，可判定這個數能被6整除。同理，判斷一個數能否被12整除，只需判斷這個數能否同時被3和4整除；判斷一個數能否被72整除，只需判斷這個數能否同時被8和9整除；如此等等。
例3 從0，2，5，7四個數字中任選三個，組成能同時被2，5，3整除的數，並將這些數從小到大進行排列。
解：因為組成的三位數能同時被2，5整除，所以個位數字為0。根據三位數能被3整除的特徵，數字和2＋7＋0與5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數為270，570，720，750。
例4 五位數
能被72整除，問：A與B各代表什麼數字？
分析與解：已知
能被72整除。因為72＝8×9，8和9是互質數，所以
既能被8整除，又能被9整除。根據能被8整除的數的特徵，要求
能被8整除，由此可確定B＝6。再根據能被9整除的數的特徵，
的各位數字之和為
A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，
因為l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在這個範圍內只有27能被9整除，所以A＝7。
解答例4的關鍵是把72分解成8×9，再分別根據能被8和9整除的數的特徵去討論B和A所代表的數字。在解題順序上，應先確定B所代表的數字，因為B代表的數字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數字確定下來，A所代表的數字就容易確定了。
例5 六位數
是6的倍數，這樣的六位數有多少個？
分析與解：因為6＝2×3，且2與3互質，所以這個整數既能被2整除又能被3整除。由六位數能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8這五個值。再由六位數能被3整除，推知3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B
能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9這4個值。由於B可以取4個值，A可以取5個值，題目沒有要求A≠B，所以符合條件的六位數共有5×4＝20（個）。
例6 要使六位數
能被36整除，而且所得的商最小，問A，B，C各代表什麼數字？
分析與解：因為36＝4×9，且4與9互質，所以這個六位數應既能被4整除又能被9整除。六位數
能被4整除，就要
能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。
要使所得的商最小，就要使
這個六位數儘可能小。因此首先是A儘量小，其次是B儘量小，最後是C儘量小。先試取A=0。六位數
的各位數字之和為12＋B＋C。它應能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因為B，C應儘量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使
儘可能小，應取B＝1，C＝5。
當A=0，B=1，C＝5時，六位數能被36整除，而且所得商最小，為150156÷36＝4171。
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