在幾何學中，規則圖形的面積和體積非常容易計算，我們在初高中都已經掌握了這些基本的計算公式，如下圖像所示
當涉及到曲面時，一般公式的計算方法就會統統失效，這時就需要微積分的知識來完成，如下是一個不規則的曲面，要計算它的體積，一般公式是無法計算的
這裡我們不是將其分割成無限多的矩形，而是將其分割成無限多的薄片，每個薄片都是一個二維區域，這給我們的計算提供了可能
從最簡單的球體出發，在水平方向上，我們可以將這個圓切成無限多的薄片，每個圓薄片的半徑都對應一個y值
即A=πy^2
因為圓的面積是πr^2，但球體的的半徑是不變的，所以我們可以根據勾股定理作一個直角三角形，得到y=r^2-x^2 如下圖所示
這樣就與x建立了聯繫，且區間是(-r,+r)，因為球體關於y軸對稱，所以根據微積分原理我們就得到如下結論
這樣最終就得到了球的體積
所以無限的二維平面的疊加，就是三維物體的體積，但需要微積分作為橋樑
我們繼續延伸，如下是一個X^1/2圖形繞x軸旋轉產生的不規則物體，如何來計算它的體積呢？
同樣採用疊加所有橫截面來進行計算
但這裡的半徑r是X^1/2，所以有關橫截面積就是πX
這樣我們就得到了（0,1）區間上該物體的體積，如下圖所示
這些偉大的發現都是基於牛頓和萊布尼茲的發現
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