函数与方程、方程组、及一元一次不等式（组）的综合应用
【知识梳理】
函数图像上的点和函数对应方程的解是一一对应的（那么函数图像上的点，也就是建立一个相等方程关系），函数图像上的点的上方的点，代表y值都比该点对应的函数值要大，函数图像上的点的下方的点，代表y值都比该点对应的函数值要小（那么不在函数图像上的点，也就和对应的函数建立起一个不相等的不等式关系）
【重点聚焦】
1、一次函数和一元一次方程的关系：
（1）求一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解，可以转化出求直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点，其交点的横坐标即为所求的结果，从而把数的计算转化为形的直观，是一种常用的转化方法
【分析】本题需先求出一次函数y＝kx+b与x轴的交点坐标即可求出方程的解．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）与x的交点坐标是（﹣6，0），
∴关于x的方程kx+b＝0（k≠0）的解是：x＝﹣6．
故答案为：x＝﹣6．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，在解题时要能根据关系求出方程的解是本题的关键．
【分析】方程ax+b＝0的解为y＝0时函数y＝ax+b的x的值，根据图表即可得出此方程的解．
【解答】解：根据图表可得：当x＝1时，y＝0；
因而方程ax+b＝0的解是x＝1．
故答案为x＝1．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系：方程ax+b＝0的解为函数值y＝0时函数y＝ax+b自变量x的取值．
【分析】根据一元一次方程的解是一次函数与x轴交点的横坐标，可得答案．
【解答】解：由ax+b＝0的解是x＝﹣2，得直线y＝ax+b经过点（﹣2，0），
B的图象不经过（﹣2，0），
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程，一次函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解．
（2）针对一元一次方程kx+b=c(k≠0)的解，我们可以找到一次函数y=kx+b(k≠0)图像中纵坐标为c处所对应的横坐标即可，那个坐标就是所求的x的解.
【分析】观察函数图象，找出函数值y=3，对应的横坐标，由此即可得出结果．
【解答】观察函数图象，发现：
当y=3时，x=2，
∴方程kx+b＝3的解为x=2
故答案为：x=2．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系：方程ax+b＝c的解为函数值y＝c时函数y＝ax+b自变量x的取值．
2、二元一次方程组与一次函数的方程思想：以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的函数图象上，一次函数的图象上的交点的坐标都是对应的二元一次方程组的解，即二元一次方程组的解与以这两个方程所对应的一次函数图象的交点坐标相对应.
点评：（1）解决此类问题关键要熟练掌握方程组与函数的关系，即二元一次
方程组的解就是两个函数的交点，反过来两个函数的交点就是二元一次方程组的解（2）求两个函数的交点坐标，我们只需要联立这两个解析式，得出一个方程组，通过方程组的解获得交点坐标.
【分析】根据两个一次函数图象的交点坐标满足由两个一次函数解析式所组成的方程组求解．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：两个一次函数图象的交点坐标满足由两个一次函数解析式所组成的方程组．
【分析】先利用P点坐标确定直线y＝bx的解析式，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标得到答案．
【解答】解：因为两条直线相交于点P（2，﹣4），
把x＝2，y＝﹣4代入bx﹣y＝0，可得：2b+4＝0，
解得：b＝﹣2，
把x＝2，y＝﹣4，b＝﹣2代入kx﹣y+b＝0，可得：2k+4﹣2＝0，
解得：k＝﹣1，
所以一次函数y＝kx+b的表达式是：y＝﹣x﹣2，
故答案为：y＝﹣x﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【分析】要求两直线的交点，只需要联立解析式求出方程组的解即可．
【点评】本题考查两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，本题属于基础题型．
【分析】本题可先根据函数2x+5y＝﹣4求出交点的坐标，然后将交点坐标代入直线kx﹣3y＝8中，即可求出k的值．
【解答】解：在直线2x+5y＝﹣4中，
当y＝0时，2x＝﹣4，
∴x＝﹣2．
∴这两条直线的交点坐标为（﹣2，0）．
将（﹣2，0）代入kx﹣3y＝8中，得：﹣2k＝8，
∴k＝﹣4．
故选：B．
【点评】解答此题应根据两直线相交时，函数图象的交点应同时满足两个函数的解析式．
【分析】根据解关于x、y的二元一次方程组，可得两只线的交点坐标，根据交点所在的象限，可得答案．
【点评】本题考查了两直线相交的问题，先用代入消元法求出交点的坐标，再根据交点的坐标特点，x＞0，y＜0求出不等式组的解集．
3、反比例函数和一次函数交点问题与方程思想结合：反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当它们k值同号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有2个交点；
②当它们k值异号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有0个交点．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【点评】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握．
【分析】把点的坐标代入函数的解析式可得到mn＝1，n﹣m＝﹣3，再代入求值即可求得答案．
【点评】本题主要考查函数图象上点的坐标的特征，利用交点坐标满足两函数的解析式代入可求得mn和n﹣m是解题的关键．
【点评】本题侧重考查知识点的记忆、理解、应用能力。
【分析】此题首先要观察题目，求的是矩形的面积和周长，首先表示出矩形的面积：mn，正好符合反比例函数的特点，因此根据点A在反比例函数的图象上即可得解；然后求矩形的周长：2（x+y），此时发现周长的表达式正好符合直线AB的解析式，根据A点在直线AB的函数图象上即可得解．
【点评】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，观察所求的条件和已知条件之间的联系是解决问题的关键．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，关键掌握好利用图象求方程的解时，就是看两函数图象的交点横坐标．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，根据三角形的面积公式找出点B的坐标是解题的关键．
【分析】由于将直线y＝﹣4x+10向下平移m个单位长度得直线解析式为y＝﹣4x+10﹣m，则直线y＝﹣4x+10﹣m与反比例函数有且只有一个公共点，即方程组，只有一组解，然后消去y得到关于x的二次函数，再根据判别式的意义得到关于m的方程，最后解方程求出m的值．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数与几何变换．
【分析】（1）利用函数图象，直线与x轴的交点的横坐标即为方程kx+b＝0的解；函数y＝kx+b的图象在y轴右侧部分的函数值都小于4，从而得到kx+b＜4的解集；
（2）从函数图象中找出函数y＝mx和y＝kx+b都在x轴上方所对应的自变量的范围即可；
（3）分x＜1、x＝1和x＞1看函数图象的高低，然后比较两函数值的大小；、
（4）与（2）的解题方法一样．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数与一元一次方程．
4、二次函数与方程思想结合
未完，待续！
5、一次函数与不等式思想结合
①一次函数的函数值大于0的自变量取值所有的值（即函数图像中在x轴上方所有点的横坐标）就是一元一次不等式kx+b>0(k≠0)的解集
【分析】根据点B的坐标，观察函数图象，找出在x轴上方的函数图象，由此即可得出结论．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出交点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键．
②一次函数的函数值小于0的自变量取值所有的值（即函数图像中在x轴下方所有点的横坐标）就是一元一次不等式kx+b<0(k≠0)的解集
【分析】由表格得到函数的增减性后，再得出y＝0时，对应的x的值即可．
【解答】解：当x＝1时，y＝0，
根据表可以知道函数值y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b＜0的解集是x＞1．
故选：D．
【点评】认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
③一元一次不等式m≤kx+b≤n（m、n是常数，且m＜n）的解集就是一次函数上满足m≤y≤n那条线段上所对应点的横坐标x的取值范围.
【分析】观察函数图象，分别找出函数值y=1，y=3，对应的横坐标，由此即可得出结果．
【解答】观察函数图象，发现：
当y=1时，x=0，
当y=3时，x=2，
∴不等式1＜kx+b＜3的解集为0＜x＜2
故答案为：0＜x＜2．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系：一元一次不等式m≤kx+b≤n（m、n是常数，且m＜n）的解集就是一次函数上满足m≤y≤n那条线段上所对应点的横坐标x的取值范围.
【分析】观察函数图象得到当x＞2时，直线y1＝k1x在直线y2＝k2x+b的上方，于是可得到不等式k1x＞k2x+b的解集．
【解答】解：当x＞2时，k1x＞k2x+b，
所以不等式k1x＞k2x+b的解集为x＞2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【分析】首先由已知得出y1＝x或y1＝﹣x又相交于（﹣1，1），（2，2）两点，根据y1＞y2列出不等式求出x的取值范围．
【点评】此题考查的是两条直线相交问题，关键要由已知列出不等式，注意象限和符号．
【分析】．要求l1、l2表示的两个一次函数的函数值都大于0时x的取值范围，需求出两函数与x轴的交点，再结合图象，仔细观察，写出答案．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，从平面直角坐标系中读图获取有效信息的能力是解题的关键，解题时需熟练运用待定系数法．
6、反比例函数与不等式思想结合：
（1）可以直接联立不等式求解，但是要注意因为反比例函数是分式，化成不等式求解时，一定讨论x的符号（这种方法只能解决反比例函数与数值之间的不等关系，这种情况可以化成一元一次等式求解，不能解反比例函数与一次函数建立的不等式，因为这种情况，化简后不等式变成一元二次不等式，这类不等式的解法，不在我们初中学习的范畴）
（2）画出反比例函数的图象后结合图象直接回答即可
【分析】画出反比例函数的图象后结合图象直接回答即可；
【点评】本题考查了反比例函数的图象及性质，能够确定反比例函数的解析式是解答本题的关键，难度不大，属于基础题．
【分析】（1）依据点A为直线和曲线的交点，代入函数解析式即可得出结论，同时联立方程组即可求得B点的坐标；
（2）图象在上面的y值大，联系函数解析式即可直接得出不等式的解集；
（3）找B点关于x轴的对称点C，连接AC与x轴交于P点，此点即使所求之点，依据两点之间线段最短．
【点评】本题考查的曲线与直线交点的问题，解题关键在于点的坐标的灵活运用．
7、二次函数与不等式思想结合
8、二次函数数形结合思想解题大概步骤：
本文为中考函数满分之路系列课程，后续内容持续更新中。。。
