意大利畫家Jacopo de' Barbari的《帕喬利肖像》（1495年），現藏那不勒斯卡波迪蒙特宮
撰文 | 劉 鈍
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從獨孤信及其印談起
獨孤是南北朝時代北方鮮卑族大姓，金庸小說中有個不曾露臉的武林高手就叫獨孤求敗，不過今天這裡介紹的卻是歷史上的一個真實人物，他就是先後歷經西魏（期間還短暫仕南梁）和北周的大將軍獨孤信（公元502-557年）。獨孤信原名如順，雲中（今內蒙古托克托縣）人，本是西魏八柱國之一。這些“柱國”有多厲害，說出其中的三個人就知道了：第一位是宇文泰，八柱國之首，西魏的實際統治者，其子宇文覺為北周開國皇帝；李虎，其孫李淵是唐朝開國皇帝；李弼，隋末天下大亂時瓦崗軍首領李密乃是他的曾孫。
再說獨孤信，史稱“美容儀，善騎射”，“好自修飾，服章有殊於眾，軍中號為獨孤郎”，某日傍晚歪戴帽子縱馬入城，“詰旦，而吏民有戴帽者，鹹慕信而側帽焉”。清初那個唯美主義詩人納蘭性德就把自己的首部詞集取名為《側帽集》。獨孤信的武功也好生了得，曾經單槍匹馬生擒敵酋。由於戰功卓著，先後任別將、散騎侍郎、郡守、大都督、武衛將軍、驃騎大將軍、刺史、河內郡公、尚書令、大司馬、太保、大宗伯等要職，最後晉封衛國公。
獨孤信共生有六子七女，六子俱任官並封侯封伯，七女都嫁了當時的權貴，其中三位成了皇后（或皇太后）：長女嫁給北周第二位皇帝宇文毓，是為明敬皇后；四女嫁給李淵的父親李昺，後來被李淵追尊為元貞皇后；七女嫁給隋朝開國皇帝楊堅，輔佐夫君推行“開皇之治”，這就是以崇儉、篤信佛教而出名的獨孤伽羅皇后。獨孤信一身兼三朝皇帝的岳父，被網友稱為“史上最牛老丈人”。
北周初年，因介入宇文家族的帝位繼承人之爭，獨孤信被權臣宇文護逼迫自盡，時年五十五歲。1953年，獨孤信墓在陝西咸陽市底張灣出土，形制非常簡樸，推測是迫於形勢草葬所致。墓誌銘文16行共220字，記述了墓主的姓氏、籍貫、家世、卒年、葬日、葬地，以及夫人和三個兒子的名字。今存國家博物館。
1981年，陝西省旬陽縣一個叫宋清的中學生，在上學路上撿到一枚規則多面體形狀的印章，由煤精石磨製而成。仔細觀察，印章共有48條基本等長（約2釐米）的稜、18個正方形面和8個正三角形面，其中14個正方形面上刻著楷書陰文，分別是“臣信上疏”、“臣信上章”、“臣信上表”、“臣信啟事”、“大司馬印”、“大都督印”、“刺史之印”、“柱國之印”、“獨孤信白書”、“信白箋”、“信啟事”、“耶敕”、“令”、“密”，集官印、上書專印、日常文書印於一身，在歷代印章中還未見過類似物件。現為陝西曆史博物館收藏。
獨孤信於西魏大統十六年（公元550年）奉命出討東魏，還朝後遷尚書令、拜大司馬，而印文中已含“大司馬印”，可以斷定此印製作的時間最早不過那一年。其時獨孤信聲威日隆，不但身為八柱國之一，長女、四女也已分別嫁入豪門宇文泰家族、李虎家族，可謂一時之盛。
這枚印章的形狀是一種半正多面體。半正多面體的表面是兩種或兩種以上的全等正多邊形，其稜長則完全相等。共有13種凸的半正多面體，據說是公元前三世紀阿基米德最早發現的，所以它們也被稱作“阿基米德多面體”（Archimedean polyhedra）。此說來自三世紀亞歷山大里亞的帕普士，然而阿基米德現存著作中沒有這方面的內容。現實生活中也極少見到這種形狀的器物，15世紀末意大利畫家德巴巴里（Jacopo de' Barbari）在《帕喬利肖像》（1495）中畫了一個懸在空中的水晶多面體，其構造與獨孤信印完全一致，有人稱其為26面體，更準確點應該是48等邊半正多面體。
圖1 獨孤信印
圖2 《帕喬利肖像》中的水晶多面體
古代多面體酒骰及其他器物
1968年，河北滿城發掘出西漢中山靖王劉勝及其妻子竇綰之墓，除了金縷玉衣、長信宮燈等眾所周知的珍貴文物之外，後者墓室還出土了一件極為精美的酒骰，《滿城漢墓發掘報告》稱：
銅骰一件（2:3064），與“宮中行樂錢”同出。通體錯金銀。共十八面，分別錯出篆書或隸書“一”至“十六”以及“酒來”和“驕”字（後二面對稱）。“一、三、七、十、驕、酒來”等六面為錯金地錯銀一週，另十二面為嵌銀地錯金一週。在各面孔隙間，用金絲錯出三角捲雲紋，中心鑲嵌綠松石或紅瑪瑙。骰徑2.2釐米。
報告沒有提及“在各面孔隙間，用金絲錯出三角捲雲紋”的個數，實際上共有8個，因此這個酒骰共有26個面，與獨孤信印幾何同構；只要把錯有數字與文字的18個面視為正方形，把錯有三角捲雲紋的8個面視為正三角形，就是一個標準的48等邊半正多面體。
圖3 竇綰墓出土錯金銀銅骰
圖4 竇綰墓出土錯金銀銅骰線圖[李零2016，454頁]
李零新著《萬變》中有一節專門討論古代酒骰，內中提到具有相似結構的文物，目前已知的至少還有四件，它們的形制基本相同，而且都是西漢年間物品。他還指出：“這種賭具，有四面體（每面為三角形）、六面體（每面為正方形）和增加切削麵因而近似球形的多面體。……出土發現，戰國秦漢的骰子多作十四面體或二十六面體，屬球形多面體。增加切削麵，目的是增加選擇的機遇。”
其他四件26面體西漢骰子分別是：（1）臨淄大武齊王墓隨葬坑出土西漢銅骰，1978年在山東淄博大武鄉窩託村齊王墓隨葬坑5號坑出土，共兩件，分別標數字“一”至“十六”以及“驕”、“畏妻”字；（2）山東省博物館藏西漢銅骰，舊屬清代金石學家、山東濰縣（今濰坊市）人陳介祺；（3）海外收藏的錯金銀西漢銅骰，此為麥肯齊等編著的《亞洲遊戲：競爭的藝術》（Colin Mackenzie & Irving Finkel.2004. Asian Games: The Art of Contest，New York: Asian Society.p.43）一書所錄，與滿城漢墓所出最為相似；（4）湖南長沙馬王堆西漢長沙相利倉之子墓隨葬漆骰，1973年出土，所出漆木盒內還有博局、博棋、博籌等物。
圖5 其他四件西漢骰子（上起：上述編號1-4）
作為一位人文學者，李零指出以上五件酒骰形制相同並聯繫到獨孤信印，其觀察是十分精準的；從文物考古的角度來看，說這五件西漢酒骰“屬球形多面體”也不為錯。至於二十六面體怎樣切削，不是他關注的要點。《萬變》一書給出的兩幅骰子表面展開圖也只是示意圖，圖6中的諸圓面與正三角形面無法拼出多面體來。
從數學上講，以上五件酒骰皆與48等邊半正多面體同構，其表面展開圖應如圖7所示。
圖6 竇綰墓出土銅骰表面展開圖[李零2016，454頁]
圖7 竇綰墓出土銅骰表面展開圖[劉鈍 2018]
除了上述獨孤信印和西漢酒骰外，筆者還注意到另一件呈48等邊半正多面體的古代器物。 2016年11月，筆者在中國科技大學博物館參觀古代玉器特展時，發現展品中有一枚玉珠，有關說明稱：
稜面珠：白色，燈籠形，通天孔，另一面打孔為方形開口，應為便於安裝固定之需。周身起愣若干，甚為罕見。
其來源未明，據云系唐代物品，與一瑪瑙質地的馬球置於一處；其形制與獨孤信印完全一樣而近似於上論西漢酒骰，是一個標準的48等邊半正多面體。
圖8 唐代48等邊半正多面體玉珠
梅文鼎與孔林宗的半正多面體工作
在群論誕生以前，從幾何結構上對半正多面體進行研究的不多。根據英國著名的希臘數學史家希斯（Thomas Little Heath， 1861-1960），保存在梵蒂岡圖書館的一份帕普士手稿的評註片段，包含一種通過正多面體截面獲得某些半正多面體的方法。德國天文學家刻普勒在《宇宙的和諧》（Harmonices Mundi，1619）中也提到了這種方法。此外，意大利數學家阿爾伯蒂、帕喬利也研究過半正多面體，後者的《神聖比例》（Divina proportione，1509）一書包括若干半正多面體框架圖，據悉出自大畫家達芬奇之手。
清代康熙年間數學家梅文鼎通過明末來華傳教士編譯的《測量全義》等書，獲知正多面體的零散知識，他又自撰《幾何補編》對有關問題進行考察，內中涉及兩種半正多面體，分別命名為“方燈”（24等邊半正多面體）和“圓燈”（60等邊半正多面體）：前者由正6面體（或正8面體）切割而來，後者由正12面體（或正20面體）切割而來，方法都是經由各稜的中點作截面，如圖9、圖10所示。
圖9 梅文鼎之“方燈”[劉鈍 1990，196頁]
圖10 梅文鼎之“圓燈”[劉鈍 1990，196頁]
梅文鼎在該書自序中稱：“壬申（1692）春月，偶見館童屈篾為燈，詫其為有法之形。”說明他是由兒童戲耍的燈籠之構造獲得靈感，從而研究這兩種規則立體的。“方燈”在中國、日本都比較常見，製法也相對簡單。1984年2月16日元宵節夜，筆者在泉州開元寺觀賞燈會，亦曾親睹一具“圓燈”和眾多“方燈”。可見梅文鼎“館童屈篾為燈”之說不是虛構。
孔林宗是梅文鼎的朋友，對數學也有濃厚興趣。在梅氏兩種“燈體”的啟發下，他又提出五種多面體，皆由正4、正6或正8面體切割而成。梅文鼎刻書時將他的結論作為“附記”收入《幾何補編》，其文為：
四等面體，又可變為十八等邊體：為六邊之面四，為三邊之面四，凡十二角。
（四等面體），又可變為二十四等面體：面皆三邊，凸邊二十四，凹邊十二，十字之交六，凡八角如蒺藜形。
六等面體，又可變三十六等邊體：為八邊之面六，為三邊之面八，凡二十四角。
八等面體，亦可變三十六等邊體：為六邊之面八，為四邊之面六，凡二十四角。
（六等面體），又可變為四十八等邊體：為四邊之面十八，為三邊之面八，凡二十四角。
除第二種之外，其餘四種都是半正多面體，即：
（1）18等邊半正多面體，由正4面體切割而成：共有4個正六邊形面和4個正三角形面，18條稜，12個頂點。
（3）36等邊半正多面體，由正6（或8）面體切割而成：共有6個正八邊形面和8個正三角形面，36條稜，24個頂點。
（4）36等邊半正多面體（又一種），由正8（或6）面體切割而成：共有8個正六邊形面和6個正四邊形面，36條稜，24個頂點。
（5）48等邊半正多面體，由正6（或8）面體切割而成：共有18個正四邊形面和8個正三角形面，48條稜，24個頂點。這就是獨孤信印和本文討論的西漢酒骰以及唐代玉珠的理想結構。
孔林宗提出的第二種多面體不是凸多面體，因此不滿足歐拉定理。它是兩個正交的正4面體之公共部分：共有24個凸的正三角形面和12個凹的正三角形面，24條稜可組成6個正交十字，8個頂點，如同蒺藜一般。蒺藜本是一種草本植物，明代兵書載有多種以蒺藜命名的冷、熱兵器和路障，多數是正多面體的變形。
圖11 孔林宗提出的蒺藜形多面體
圖12 《武經總要》中的鐵蒺藜圖
48等邊半正多面體作圖法
孔林宗雖然明白48等邊半正多面體可由立方體（或正8面體）切割而成，但並未提出具體的作法。中國古代的工匠也是憑著經驗和對平衡對稱的追求，製作出酒骰、信印等物來的。筆者在這裡提供一個精確的幾何作圖法。
將立方體連同其內含的48等邊半正多面體置於立體直角座標系內，如圖13。關鍵是在立方的六個面上作出半正多面體的諸頂點A、B等。
設立方稜長為1，半正多面體稜長為a，在圖13中，有
圖14表示立方體上B點所在的平面，以正方形頂點為圓心、對角線之半為半徑作圓，交正方形之邊於C、E等點，過C、E等點作邊的垂線，垂線的交點B1、B2等就是所求48等邊半正多面體的頂點。這是因為
圖13 直角座標系中的立方與48等邊半正多面體[劉鈍 2018]
圖14 諸頂點B的幾何作圖法[劉鈍 2018]
附錄 13種半正多面體
上圖採自《蘇聯大百科全書》（Большая советская энциклопедия）第3版第27卷，其中P2、P7分別為梅文鼎討論的“方燈”和“圓燈”，P1、P3、P4、P5分別為孔林宗提出的第一、四、三、五種多面體，最後這一種P5也是本文討論的獨孤信印等器物的幾何同構。
參考文獻
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5、王長豐主編.2016. 厚德載物：200件中國古代玉器.上海：交通大學出版社.107 .
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8、張豔鴿.2014.南北朝、隋唐時期獨孤家族興衰探析——以獨孤信為例. 荊楚學刊.第3期. 24-28.
9、中國社會科學院考古研究所、河北省文物管理處.1980.滿城漢墓發掘報告.北京：文物出版社.271-273.
10、[唐]李延壽.北史.卷六十一.列傳四十九.獨孤信傳.
11、[唐]令狐德棻.周書.卷十六.列傳八.獨孤信傳.
12、[清]梅文鼎. 幾何補編. 梅氏叢書輯要. 卷二十五至卷二十八. 乾隆二十四年承學堂刊本.
原載《數學文化》2018年第9卷第1期
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