01介绍
韦尔（Weyl）在他于1918年发表的一篇论文中介绍了爱因斯坦广义相对论的扩展。在本文中，韦尔提出了消除向量在平行传输时保持其长度的限制。我们可以通过以下方式用数学方式表示：
1.1
其中g是对称度规张量，是一个任意向量。如果我们对这个表达式求总的导数，得到：
如果假设zeta是一个常量向量，我们可以使用恒等式：
1.2
调整指数得到：
1.3
其中双管表示度规的协变导数。在雷曼空间中，这个量消失了，所以dl的变化量为零。韦尔提出，我们可以通过类似于1.2的方式来改变矢量的长度：
1.4
把这个放回1.3，我们可以推导出向量和度规的协变导数之间的关系：
1.5
这个结果使得韦尔可以通过把矢量和电磁场联系起来，并通过提出一个不同于经典广义相对论的拉格朗日量，推导出一个几何意义上的电磁学。当允许度规缩放并要求我们所有的方程都独立于那个缩放因子时，等式1.5也可以被推导出来。在这个过程中，韦尔将其定义为“规范不变量”。
虽然这一理论完成了将麦克斯韦方程的数学与爱因斯坦方程相结合的任务，但它也有一系列的问题。对于初学者来说，在韦尔几何中，唯一的静态长度向量是那些垂直于韦尔向量的向量。这与我们可以用常数长度测量的许多向量相反。
此外，爱因斯坦自己也指出，一个参考系的时间流逝将取决于该参考系的运动历史，而不仅仅是它的位置，这意味着在空间和时间上同一点的两个时钟可能以不同的速度移动，在自然界中从未观察到的东西。
02复维空间
虽然时空限制了我们的几何结构，使得韦尔的理论是非物理的，但在复维度中却不存在这样的限制。如果我们选择把旋量看作是复空间中的向量，我们就可以探索时空只是这个空间的一个投影。
这意味着复空间中的几何是力和时空现象的原因。把物理定律写成复空间中的张量方程，自然会使规范不变性与广义相对论相融合。
复空间与实空间的区别主要在于复共轭。柯西-雷曼清楚地表明，我们必须把共轭作为完全不同的变量来对待。为了做这个区分，我们的符号会在任何共轭变量或指标上加一个横杠，我们会用拉丁变量来区分时空变量和复杂变量。
首先，我们将引入一个复空间的度规。我们的度规是厄米矩阵所以平方长度是实值。我们这样做的原因是为了符合量子力学中的算子。这就得出了一个类似于1.1的方程：
2.1
就像时空度规一样，我们可以用s来提升和降低指标。下面是复度量的一些恒等式：
我们现在可以对2.1的总导数：
2.2
如果我们假设是一个常数向量我们可以使用恒等式：
为了清晰起见，我们将空间分配一个仿射连接，类似于我们在时空中所看到的。
我们要注意不要把张量和矢量限制为z的函数，而不是它的共轭。接下来我们也会像韦尔一样，让复向量的长度在平行移动时发生变化：
把它代入总导数然后分离出z和z*项：
2.4
固定长度的向量在时空中也垂直于韦尔向量：
2.5
2.5是两个向量的内积的复空间形式。
仿射连接
现在我们继续求解2.4中的连接项W。让我们把这个方程改写成更简单的形式：
我们可以把这个简化版的W分成两部分。一个是前两个指标中的厄米矩阵，另一个是反厄米矩阵。
2.6
h的值是未知的，不能直接从2.4中求出。它们暂时被认为是我们理论的自由变量。同样，我们可以看到，这个解在下标上是不对称的，就像时空中的情况一样。这导致了我们几何中的一个扭转元素。
规范不变性
让我们花点时间看看理论中的规范不变性。规范变换是对度规的调整，而不是对坐标的调整。我们将在下一节中讨论坐标变换。
2.7
是复变量及其共轭的函数。因为s是厄米矩阵，我们必须要求是实值函数。这很容易证明。
由此我们可以很容易地推导出逆变度量的规范变换
我们可以把这些代入2.6，如果我们要求我们的协变导数也是规范不变的，我们可以确定规范变换对韦尔向量的影响：
2.8
在下一节中，我们将看到坐标更改也可以为仿射连接产生类似的结果。
坐标的变化
复杂空间中的向量以一种非常类似于时空中的向量的方式变换：
2.9
这里我们应该注意到，我们排除了复数共轭作为坐标变换的一种形式。加上它不仅会使我们的方程变得非常混乱，而且也没有必要。这是因为共轭可以在坐标变化过程的任意点作为一个单独的变换来完成，并且只会导致常规指标与禁止指标的交换。换句话说，如果一个坐标变化涉及到共轭，可以简单地先执行那个变化，然后按照2.9中描述的方式应用其余的坐标变化。
2.9中的转换可以很容易地扩展到度量：
2.10
按照这个模式我们可以把它应用到所有的张量上。在时空情况下，仿射连接不是一个张量，变换如下：
2.11
记住这一点，我们可以执行一个简单的坐标更改并查看一些结果。最简单的凡例子是相变：
2.12
这导致我们的仿射连接改变为：
2.13
这类似于2.8，但包含一个虚构的组件，使它更适合作为可能的电磁类型的相互作用。在我们能够从复杂空间中对时空进行必要的投影之前，我们无法看到直接的比较，但2.13和2.8显示出了巨大的希望。
03复曲率
和时空一样，我们可以构造一个曲率张量r的复杂维度等价项。
3.1
3.2
使用2.6，我们可以把这些张量写成未知数的形式：
我们也可以用通常的方法缩并曲率张量C来得到里奇等价：
3.3
所有这些因素都是规范不变的，因为我们的仿射连接是规范不变的。
韦尔的理论的挑战之一是构造一个规范不变的拉格朗日量。如果我们假设我们的复杂空间是二维的，我们可以结合2.7和3.3来创建一个规范不变的动作，它通常也是协变的：
3.4
s值是度规张量的行列式。这就得到了拉格朗日量：
3.5
这个值满足我们所有的要求。它是实值的，在复共轭下不变，在坐标变换下不变，在韦尔规范变换下不变。
04投影时空
在解出3.5之前，让我们先看看如何从我们的空间投射到时空。我们空间的度量是厄米度量，这意味着它最多包含4个实值未知数。让我们选择一个特定的地图来说明这个事实。首先，我们创建4个静态矩阵，每个矩阵都具有相同的厄米矩阵性质:
使用这些(泡利矩阵)，我们可以把我们的度规写成一个和：
4.1
因为泡利矩阵构成一个向量基，所以s的元素构成一个4向量。我们也可以利用这个事实来构造当我们在复杂空间中进行坐标变换时这个向量是如何变换的。
4.2
很容易验证坐标的变化，不会对我们的4向量空间造成任何变化。泡利矩阵的性质也允许我们用4向量s表示度规的行列式：
4.3
我们的度规的规范变换导致这个4向量的简化：
4.4
我们也可以用复向量来构造一个4向量，方法如下：
4.5
我们可以使用4.5来关联空间之间的仿射连接。然而，在此之前，我们需要一种机制来将导数联系起来。这可以简单地做到以下几点：
4.6
4.7
我们现在可以做出如下推测:如果一个复向量是常数，那么4.5构成的向量也将是常数……
那么，使左侧为常数表示：
我们可以简化这一点，如果我们创建以下：
4.9
4.10
4.9还允许我们写出复向量的时空协变导数:
4.11
4.11与我们从自旋连接中得到的紧密相关。我们可以用4。10写出时空曲率张量和我们的复杂空间之间的关系。我们只需要使用以下方法并执行适当的导数：
4.12
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