今天給大家分享的是2020年湖南省長沙市雨花區中考數學模擬第25題，是屬於二次函數新定義題，相對一些地方來說，可能平常中考比較少會考到這種題型，所以即將參加中考的同學可以自己做一下，瞭解一下這種類型的題目，換湯不換藥。
【例題】
25.定義：（一）如果兩個函數y1，y2，存在x取同一個值，使得y1＝y2，那麼稱y1，y2為“合作函數”，稱對應x的值為y1，y2的“合作點”；
（二）如果兩個函數為y1，y2為“合作函數”，那麼y1+y2的最大值稱為y1，y2的“共贏值”．
（1）判斷函數y＝x+2m與y=8/x是否為“合作函數”，如果是，請求出m＝1時它們的合作點；如果不是，請說明理由；
（2）判斷函數y＝x+2m與y＝3x﹣1（|x|≤2）是否為“合作函數”，如果是，請求出合作點；如果不是，請說明理由；
（3）已知函數y＝x+2m與y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函數”，且有唯一合作點．
①求出m的取值範圍；
②若它們的“共贏值”為24，試求出m的值．
【考查知識點】二次函數綜合題．菁優網版權所有
【所屬專題】二次函數圖象及其性質；
【解題分析】
（1）由於y＝x+2m與y=8/x都經過第一、第三象限，所以兩個函數有公共點，可以判斷兩個函數是“合作函數”，再聯立x+2＝8/x，解得x＝﹣4或x＝2，就可以求“合作點”；
（2）假設是“合作函數”，可求“合作點”為x＝m+1/2，再由|x|≤2，可得當-5/2≤m≤3/2時，是“合作函數”；當m＞3/2或m＜-5/2時，不是“合作函數”；
（3）①由已知可得：x+2m＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3），解得x＝m+3或x＝m﹣1，再由已知可得當0≤m+3≤5時，﹣3≤m≤2，當0≤m﹣1≤5時，1≤m≤6，因為只有一個“合作點”則﹣3≤m＜1或2＜m≤6；②y＝x+2m在0≤x≤5的最大值為5+2m，當﹣3≤m＜1時，函數的對稱軸-5/2≤m+1/2＜3/2，此時當x＝5時有最大值m2﹣6m+16；當2＜m≤6時，對稱軸5/2＜m+1/2≤13/2，當x＝0時有最大值m2+4m﹣3；再由“共贏值”即可求m值．
【詳細解答過程】
解：（1）∵y＝x+2m是經過第一、第三象限的直線，y＝8/x是經過第一、第三象限的雙曲線，
∴兩函數有公共點，
∴存在x取同一個值，使得y1＝y2，
∴函數y＝x+2m與y＝8/x是“合作函數”；
當m＝1時，y＝x+2，
∴x+2＝8/x，解得x＝﹣4或x＝2，
∴“合作點”為x＝2或x＝﹣4；
（2）假設函數y＝x+2m與y＝3x﹣1是“合作函數”，
∴x+2m＝3x﹣1，
∴x＝m+1/2，
∵|x|≤2，
∴﹣2≤m+1/2≤2，
∴-5/2≤m≤3/2，
∴當-5/2≤m≤3/2時，函數y＝x+2m與y＝3x﹣1（|x|≤2）是“合作函數”；當m＞3/2或m＜-5/2時，函數y＝x+2m與y＝3x﹣1（|x|≤2）不是“合作函數”；
（3）①∵函數y＝x+2m與y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函數”，
∴x+2m＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3），
∴x2﹣（2m+2）x+（m2+2m﹣3）＝0，
∴x＝m+3或x＝m﹣1，
∵0≤x≤5時有唯一合作點，
當0≤m+3≤5時，﹣3≤m≤2，
當0≤m﹣1≤5時，1≤m≤6，
∴﹣3≤m＜1或2＜m≤6時，滿足題意；
②y＝x+2m在0≤x≤5的最大值為5+2m，
y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）的對稱軸為x＝m+1/2，
當﹣3≤m＜1時，則-5/2≤m+1/2＜3/2，
當x＝5時有最大值，最大值為m2﹣6m+16，
∴5+2m+m2﹣6m+17＝24，
解得m＝2+根號5或m＝2-根號5，
∴m＝2-根號5；
當2＜m≤6時，則5/2＜m+1/2≤13/2，
當x＝0時有最大值，最大值為m2+4m﹣3，
∴5+2m+m2+4m﹣3＝24，
解得m＝﹣3+根號31或m＝﹣3-根號31，
∴m＝﹣3+根號31；
綜上所述：m＝2﹣根號5或m＝﹣3+根號31．
【總結】
這道題考查二次函數的圖象及性質；理解題意，熟練掌握一次函數、二次函數的圖象及性質是快速解絕這道題的關鍵．
圖1
