當我們描述一種指數變化的時間過程時，常常需要用到一個參數：時間常數Tau （time constant）。時間常數用希臘字母“τ”表示，讀作拼音“tao”。
無處不在的時間常數
一個例子：
假設你一天持續工作8小時，從早上9點到下午5點。你剛開始很懶，隨著時間的變化，你越來越活躍，最後工作效率達到穩定。如果經過2小時（早上11點）你達到穩定的工作效率，那麼，在數學上，你工作的時間常數是1.26個小時。這裡把進入工作狀態理想化為指數增長的過程。如果有人工作的時間常數更短（比如1小時），說明進入狀態更快，也就是說，他工作更加活躍；反之，如果他的時間常數更長，說明進入狀態更慢，他工作更加遲鈍。
另一個例子：
長時間使用的手機是熱的，關機後它會慢慢散熱。如果經過1小時手機溫度穩定（接近室溫），那麼，在數學上，手機散熱的時間常數是0.63小時。如果時間常數更短，則手機散熱更快；反之，如果時間常數更長，則手機散熱更慢。
在上述兩個例子中，時間常數用來表示變化過程。真正決定變化速度的，是過程本身固有的因素（比如人的精力，手機的物理特性等）。
時間常數Tau作為一個參數，可以反映變化過程的速度，如日常生活中電器的溫度、電路中的電子信號、化學反應時間的變化、放射性元素的衰變，經濟發展的迅猛與疲軟等。
在指數上升過程中，Tau值即增大到最大值的1-1/e（約63%）所需的時間。在指數衰減過程中，Tau值即衰減到最大值的1/e（約37%）所需的時間。
時間常數的計算
Tau是從自然常數e計算而來的。
e≈2.718，所以1/e≈1÷2.718，計算可以發現：1/e≈0.368=36.8%；1-1/e≈63.2%。
那麼，何為自然常數e呢？
e是自然常數
e是一個無理數。
什麼是無理數？
無理數，即無限不循環小數。比如，大家熟知的圓周率π就是無理數，根號二√2也是一個無理數。
我們知道，π等於圓的周長與直徑之比，約等於3.1415926...。
√2可以表示等腰直角三角形的斜邊長度，約等於1.41421356237...。
那麼，如何理解e這個無理數呢？
自然常數e，也叫自然對數函數的底數，約等於2.71828182845904523536...。
它可以定義為極限值：
首先，我們看一個例子：
假設銀行的利率是100%，我們存1元錢到銀行，年底得到2塊錢。假設利率不變，但是半年結算一次，我們前半年得到利息1*100%*0.5=0.5元，並重新存到銀行，後半年得到1.5*100%*0.5=0.75元。年底共得到1+0.5+0.75=2.25元。假設一個季度結算一次，我們重新存到銀行，年底會得到2.37元。假設銀行的返息是每天呢？甚至每分鐘呢？用極限的思維，如果銀行的返息是每時每刻發生的，最終，我們年底得到的錢為自然常數e，為2.71828182845904523536...元。
在上述例子中，如果把一年的時間分成n等份，n趨於無限大（或者把結算時間看做t，t趨於無限小），那麼，年底獲得的錢是自然常數e。
假設上面定義式中的n（或t）為整數數值，用二項式推導的方法，可以計算e的值。
在y=e^x函數中，當x值逐漸增大，得到的y值也隨之增大。
在極座標中，任意一點可以用極徑（該點到極點的距離）和極角（該點到極軸夾角）來表示。
將y=e^x函數轉換到極座標中，隨著x值逐漸增大，y值（用極徑和極角表示）也不斷增大，會得到一條自然漸變的弧線。因此，在極座標中，y=e^x的函數可以表示為“對數螺旋線”的形式。
這種螺旋線在自然界中廣泛存在，如花瓣的弧形、宇宙星系、海中的漩渦、蝸牛的螺旋殼等。
自然常數e，可以理解為自然界中本身就存在的一個數，它代表自然界通過極限增長的方式對萬物進行的創造。數學家發現了它，“自然常數”這個名字也代表了人類對自然界的讚賞。
而時間常數Tau指的是，變化過程中達到最大變化量的1-1/e所需的時間。
電路中的時間常數
在電路中，時間常數Tau也是一個常用的概念。最簡單的RC電路（Resistance-Capacitance circuit）包括一個電阻和一個電容器，叫做電阻-電容電路。根據電阻和電容連接的方式，可以分為串聯RC電路和並聯RC電路。
以串聯RC電路為例，當電路開放時，電流I流入電路，在電容兩側聚集正負電荷，隨著聚集電荷的增多，電容充電過程完成，達到穩定狀態。當電路斷開時，聚集在電容兩側的電荷減少，最終電容放電完成，達到穩定狀態。
電阻兩側的電壓Vr隨時間的變化可以表示為：
在電路打開的過程中，電容開始充電，隨著充電的完成，電荷聚集到電容兩側，電阻兩側的電壓逐漸減小。
電容兩側的電壓Vc隨時間的變化：
在電路打開的過程中，電容開始充電，隨著充電的完成，電荷聚集到電容兩側，電容兩側的電壓逐漸增大。
在RC電路中，時間常數Tau是電阻和電容的乘積。
無論是Vr的指數衰減曲線還是Vc的指數上升曲線，時間常數Tau都表示，發生的變化佔最大值的63.2%所需的時間。半衰期一般指衰減到50%所需的時間。因此，時間常數63.2%比半衰期50%要更長。
除時間常數Tau以外，2τ，3τ，4τ也可以作為曲線的參數。我們可以發現，當經過的時間是4倍的Tau值時，變化已經是98.2%，非常接近100%。
大腦中的時間常數
細胞膜是鑲嵌著蛋白質的磷脂雙分子層。在可興奮細胞如神經元中，細胞膜內外分佈著離子。磷脂雙分子層疏水絕緣，可以等效成電容板，離子無法通過，正負離子聚集在其兩側。離子通道能夠通透正負離子，可以等效成電阻。
因此，細胞膜可以看做電容和電阻並聯的等效電路。霍奇金和赫胥黎發現的經典動作電位模型就是建立在並聯RC電路基礎之上。
當我們給予細胞方波電流刺激時，由於膜電容的存在，電壓的變化並不是立刻與電流的變化一致的，而是有一個滯後的過程。這個過程，即電容的充放電過程。給予刺激時，電壓值增加，對應電容的充電過程；撤掉刺激時，電壓值下降，對應電容的放電過程。
通過記錄神經元的反應，並對反應進行指數擬合，可以得到特定神經元的時間常數Tau值。時間常數是研究神經元基本膜性質（如膜電阻、膜電容等）的重要參數。
總結
時間常數Tau作為一個表示時間過程的參數，在電路、工程、經濟學、化學、生物等學科中均有廣泛的應用。時間常數的概念可以幫助我們以定量的思維，理解工作和生活中的各個方面。從一個神奇的、無處不在的時間常數開始，也許，我們可以進一步理解這個神奇的世界。
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