1.勻加速直線運動點電荷的電場
如圖1所示，L為一通電直導線，在導線旁有一圓形閉合導體迴路。我們知道，當通電直導線中電流均勻增加時，在導線旁的閉合迴路中可以產生感生電動勢。為什麼在閉合迴路中會產生感生電動勢呢？這是因為當通電導線中電流均勻增加時,穿過閉合導體迴路中的磁通量就會均勻增加，因此在閉合導體迴路中就產生了感生電動勢。由於通電直導線中的電流是由導線中自由電子的定向移動形成的，當電流均勻增加時自由電子的定向移動速度就會均勻增加，這相當於自由電子做勻加速直線運動。閉合迴路中的電動勢就是由於通電直導線中的自由電子做加速運動產生的，感生電動勢的大小與電子的定向移動加速度有關，而與其運動速度無關，這說明加速運動的電荷能夠在閉合迴路中產生感生電動勢，也可以說加速運動電荷的電場為非保守場。下面我們研究勻加速直線運動點電荷的電場。
圖1 通電直導線和閉合導體迴路
在此我們不做一般的研究，只對一種簡單的情況加以研究。假設在真空中的慣性參照系S 中有一個正的點電荷q，電荷q原來一直靜止在原點O，從時刻t0=0開始以加速度a 沿y軸正方向做勻加速直線運動。在時刻t 時，電荷q 的速度為v=at，為了簡單起間我們假設v< 如圖2所示，在t0時刻，電荷q從原點開始加速，在時刻t 電荷q到達P 點。在此期間，由於電荷的加速運動，它周圍的電場會發生擾動，這一擾動以光速c向外傳播。在時刻t，這一擾動的前沿到達以O為中心，以r0=ct 為半徑的球面上。根據相對論關於光速最大的結論，此時不可能有任何變化的信息傳到此球面以外，因此球面以外的電場仍是在t0時刻之前原來電荷q 靜止於O點時的靜電場，它的電場線是沿著從O點引出的沿半徑方向的直線，而球面內的電場就是在這段時間內電荷加速運動產生的擾動電場。在電荷的速度遠小於光速的情況下，球面內擾動電場相對於電荷的分佈，可以看作是近似不變的，就好像擾動電場同電荷一起做加速運動。實際上隨著時間的推移，擾動電場不斷地由近及遠的傳播，同時電荷又不斷地產生新的擾動電場。
由於電荷q 做加速運動，球面內擾動電場的電場線不再是直線，而是變為曲線，因此在時刻t，球面內的電場線應該是從此時刻q 所在的P 點引出的曲線。由高斯定律可知，在球面兩側的電場線總條數應該是相等的，而且電場線在通過球面處也應該是連續的，因此用電場線描繪整個電場時，就應該把球面兩側的電場線一一對應連接，如圖2所示。
圖2 在時刻t加速電荷q 的電場。
現在藉助電場線圖來分析球面處的擾動電場。如圖3所示，M為球面上任意一點，r 為從點P 到點M 的徑失，且r 與y 軸的夾角為φ。在球面內過點M 的電場線為曲線PM，在球面外則是沿著直線OM。從O 到M的徑矢r0與y 軸的夾角為θ。點P 距點O的距離為OP=vt/2。由於r0=ct 且v< 圖3 在球面上點M 處的擾動電場E。(a)，E 被分為Er0和Eθ 兩個分量。(b)，E 被分為Er 和Eφ 兩個分量。 我們來求點M 處的擾動電場E。E 是加速電荷q在O點產生的此時已傳播至點M處的擾動電場。E 的方向是沿著曲線PM在點M處的切線方向。E 可分為Er0 和E θ 兩個分量(見圖3a)。根據高斯定律，電通量只與垂直於高斯面的電場分量有關，所以電場線在球面處連續就意味著Er0分量仍是由庫侖定律給出的徑向電場，也就是原來點M 處的靜電場，即 ---------------------------(1) Eθ分量就是加速電荷q產生的橫向電場, 即[1] ----------------(2) 由於v< --------------(3) 如圖3所示，過點O作OD 垂直於直線PM，並與直線PM 相交於點D。E 的延長線與y 軸相交於點Q，並且與y軸的夾角為β，E 與Er0的夾角為δ。因此可得 ----------(4) ---------(5) ---------(6) ---------------(7) ----------(8) ----------(9) 由於 ----------------(10) 因此點M處擾動電場E 的大小為 ---------(11) 從圖3b可以看出，E 的方向不在徑矢r 的方向上，而是向加速度的反方向發生了偏轉，且E 與徑矢r 方向的夾角等於∠QMP。如果把E 分為Er 和Eφ 兩個分量，其中Er 為E 在徑矢r 方向上的分量，Eφ為E 在徑矢r 垂直方向上的分量(見圖3b)，則 ----------------------(12) -----------(13) E 可以用矢量式表示為 -----------(14) 假設有一個勻加速運動的參照系S'，加速電荷q 相對於S' 系始終靜止。如果在S' 系中觀察，電荷q 周圍的擾動電場相對於電荷q 的分佈是固定不變的，並且根據等效原理，該電場同電荷q 在與S' 系等效的引力場中靜止時的電場相同。 在S 系中，在v< E 在加速度垂直方向的分量為 ---------(15) 圖4表示做勻加速直線運動的正的點電荷q 的擾動電場，其中ABCDA為一閉合迴路，BC 和AD是以q為圓心的兩個同心圓的弧，BA 和CD是沿徑向的兩個線段。我們求電場沿這一閉合迴路的線積分。由式(13)可知，電場沿BC 和DA 的線積分的大小相等，因此它們相互抵消，對總積分無貢獻。由式(12)可知，線段BA上的電場強度小於線段CD上的電場強度，而此兩個線段的長度相等，所以電場沿這兩線段的線積分的大小不相等。因此，電場沿此閉合迴路的線積分不為零，即 。這一結果表明，勻加速直線運動點電荷的擾動電場不是保守場。這與通電直導線中電流變化時在導線旁閉合導體迴路中可以產生感生電動勢的事實是相符的，這也反過來證明式(14)是正確的。 圖4 勻加速直線運動點電荷q 的擾動電場 2.討論 假設在真空中某慣性參照系S 中有一個正的點電荷q和一個帶均勻正電荷的細圓環，電荷和圓環在同一平面內，圓環可繞圓心O轉動，如圖5所示。現在假設電荷和圓環一起以加速度a做勻加速直線運動，並且圓環上電荷的分佈始終保持不變。由於電荷q做勻加速直線運動，在它周圍就會產生不斷增強的磁場，通過圓環的磁通量就會不斷增加，因此根據法拉第電磁感應定律，在圓環閉合迴路中就會不斷產生感生電動勢。感生電動勢正是由於加速電荷產生的擾動電場的非保守性而產生的。由於圓環均勻帶電，在擾動電場的作用下，帶電圓環將會受到一個沿逆時針方向的轉動力矩。在摩擦力可以忽略的情況下，圓環將繞圓心O加速轉動。假設有一個勻加速參照系S'，上述做加速運動的電荷和圓環在S' 系中始終靜止，那麼在S' 系中的觀察者也會看到圓環繞點O作加速轉動。根據等效原理，在與S' 系等效的均勻引力場中，如果上述的電荷和帶電圓環靜止在其中，那麼在不考慮摩擦力的情況下，圓環也會繞點O加速轉動，因此圓環的動能就會不斷增加。在這個過程中，圓環增加的動能是由電荷周圍的非保守電場對帶電圓環做功產生的，它並不伴隨其它能量的減少，所以在這種情況下能量不再守恆。在現實中理想的均勻引力場是不存在的，但是在地球上方局部的引力場可以看作是近似的均勻引力場，因此可以用地球上方局部的引力場代替均勻引力場。 圖5 電荷q和均勻帶電圓環一起做勻加速直線運動 假設在一個重力加速度為g的均勻引力場中，有一個絕緣材料構成的圓錐體，並放置在一光滑水平面上，O為圓錐體底面圓的圓心，在圓錐體的頂點固定一個正的點電荷q1，在圓錐體底邊上固定一個正的點電荷q2，q1和q2之間的距離為r，q1和q2的連線與底面的夾角為θ，如圖6所示。假設r< 圖6 在均勻引力場中電荷系（q1和q2）的自作用力 ----------(16) 同理，q2受到q1電場的作用力在水平方向的分量為 -----------(17) 由於F1和F2的方向相反，因此它們的合力為 ---------(18) 上式表明F1和F2不能相互抵消，因此電荷系（q1和q2）將受到一個水平方向的自作用力F，F 也將作用於圓錐體上。如果不考慮圓錐體和水平面之間的摩擦力，圓錐體將在力F 的作用下，沿水平方向做加速運動。圓錐體的動能將會不斷增加，其增加的動能是由電荷系的自作用力做功產生的，在這個過程中並不伴隨其它能量的減少，因此在這種情況下能量也會出現不守恆。 
通過以上分析可以看出，能量守恆定律不是絕對正確的，能量是可以被創造的。能量守恆定律經過了大量實驗的驗證，在通常情況下能量都是守恆的，但在某些特殊情況下能量也可以出現不守恆。
參考文獻
[1] 張三慧. 電磁學[M]. 北京：清華大學出版社，1999:373-377.
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