本期节目和猫粮，灵感和内容来源于《最后的数学问题》 [美] 马里奥·利维奥
——扩展猫粮——
上期节目 中，我们分享了麻省理工学院物理系教授，迈克斯·泰格马克的“数学宇宙”假说。
这期节目，同样来自一个数学话题——拓扑学。看似普通的“纽结”，仅凭数学家“毫无目的性”的研究执念，历经百年，最终被发现这些当初看似无用的研究成果，出人意料地为今天的科学研究提供了重要的帮助。
说到这里，突然感觉数学家很像“艺术家”——会本能的反感自己的作品被“商业化”。数学家终日沉醉于理论研究，对“实用性”也同样毫不在意，甚至会有强烈的抵触，比如下面这位吧……
信誓旦旦的哈代
英国数学家，戈弗雷·哈罗德·哈代（Godfrey Harold Hardy），对他自己的研究领域——数论（一门研究自然数的学科），感到无比自豪。他曾放下狠话：“劳资我的研究成果，今天不会，将来不会，永远也不会给世界带来丝毫影响——无论是直接的影响，还是间接的；无论是有害的影响，还是有益的——统统没有！”
英国数学家，戈弗雷·哈罗德·哈代，1910年当选为英国皇家学会会员，受到许多科学院、大学的奖励。
当然，他错了。他的一项研究成果，后来被直接运用在了遗传学上，成为了研究人口进化基础的重要定律。
这还没完，哈代在他的知名著作《一个数学家的辩白》中还宣称：“没有任何一个人，能把我的研究成果用于战争目的！！”
当然，他又错了。1973年，另一位英国数学家，基于哈代的研究成果，在密码学领域取得了突破性进展——众所周知，现代军事战争中，又怎能少了密码学的身影。
类似于哈代的“古典主义”数学家，沉醉于纯理论的研究中，守护着内心的执念，他们相信：独立于我们身边这个真实世界之外，存在一个独立的、完全抽象的“数学世界”。
“数学”用两种方式，刷着存在感
是否存在一个完全独立的“数学世界”，还未有答案。但至少现在，我们无法否认这样一个事实：“数学世界”和“真实世界”，存在着无数神秘的联系。这种“联系”，以两种方式呈现给人类。
一方面，当人类对自然世界的观察，走入死胡同时，数学犹如一盏明灯，帮助我们获得对于世界的解释。比如牛顿观察到了掉落的苹果、月亮和潮汐——虽然我们并不确信牛顿是否真的看到了这些自然现象，但我们确信的是，牛顿肯定不会一开始就看到了天空飘来一个万有引力方程式。这种人类通过观察自然现象，之后“主动”抽离和研究出数学规律的形式，称为数学的“主动性”。
而另一种刷存在感的方式，是数学的“被动性”——它显然更加神秘。
正如当初信誓旦旦，沉醉于理论数学的哈代，还有百年间不懈研究纽结理论的数学家们。一开始，仅仅就是因为“我喜欢”，于是就终日沉醉在柏拉图抽象的世界里。这些数学家从没考虑过哪怕任何一点实用性，也从未思考过让研究成果“出圈”的可能。可最终“数学”却总能在某一时刻“出圈”，深入到人间烟火当中，不断印证着真实世界的规律。
这就是数学的“被动性“，具有莫测的“预言”能力：
开普勒和牛顿发现了太阳系行星运行轨迹是椭圆的，而两千年前，古希腊数学家门奈赫莫斯(Menaechmus)就已经研究过这条曲线了。
数学家波恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann)，在1854年的一次经典演讲中，阐述了新兴几何学的重要内容——这恰恰就成为了爱因斯坦解释宇宙结构时的绝妙工具。
数学天才伽罗瓦(Evariste Galois)，创立的“群论”，起初仅仅用于判断代数方程的可解性。如今，它已经被物理学家、工程师、语言学家甚至人类生态学家广泛使用，并用来研究几乎所有的对称性问题。
1975年的某天，年轻的数学家米切尔·费根鲍姆(Mitchell Feigenbaum)，用计算器演算一个简单方程式。他渐渐注意到，随着演算进程，计算器显示的数越来越接近一个特定的数：4.669…而演算其他方程的时候，这个神奇的数字又再次出现了。他初步推断，这个数字似乎揭示了从有序到混沌过度时的“某种规律”，并以此撰写了一篇论文。经过专家半年的评审，却始终找不到什么科研价值，就被退稿了。令人意外的是，在不久之后的一个实验中，当液态氦从底部开始加热时，其变化的过程和费根鲍姆的预测结果恰好一致，并且不止这一种体系如此。这个4.669…帮助科学家在对不可捉摸的混沌系统的解密道路上迈出了第一步。
当然了，还有这期视频节目中提到的“纽结理论”。谁也想不到，当初只有水手和绞刑架边刽子手才会经常摆弄的“绳结”，经过数学家近百年的“毫无目的”的研究，最终会和DNA和弦理论建立了有效的联系。
数学，是“发现”还是“发明”
数学充满着“无所不在，坚不可摧的力量”——这类特征通常只会用来描述“神明”——无论我们是痛恨数学，还是热爱数学，“数学”就在“那里”，它不会以人的意志为转移。一个方程式今天是这个解，明天依然是这个解，即便海枯石烂，人类灭亡……这个方程式永远都是这个“解”。
这么看来，数学应该是独立于我们身边这个真实世界、独立于人类思维的产物。既然数学这么独立，或者说数学世界是一个独立存在的王国，那它为什么却又能完美地“描述”我们真实世界的各种规律？就好比我们惊叹数学是一位不食人间烟火的仙女，但这位仙女却又同时和世俗万物有着无数说不清道不明的瓜葛？
上千年来，数学家和哲学家都没有真正想清楚这个问题。
有些人坚定的认为“数学就是独立于人类认知存在的”，比如法国数学家阿兰·孔涅（Alain Connes），他坚定地认为数学是一种“独立的存在”。
法国数学家阿兰·孔涅Alain Connes ,专长冯·诺伊曼代数。1982年菲尔兹奖和2001年克拉福德奖得主
就好像森林里有2只恐龙与另外2只恐龙相遇，不管周围是否有人类观察，那都会有4只恐龙。假如某一天人类路过森林，目睹了这个恐龙相遇的场景，那么
只是人类“发现”了2+2=4而已。一旦人们了解了2+2=4，那么就会面临一系列不可争议的后续事实，比如4-2=2……这与人类如何看待它们毫无联系，数学就是独立于人类认知而存在的世界，人类只是逐步地“发现”这个数学王国的宝藏，这也是柏拉图的看法。但有些人不这么认为。
英国数学家迈克尔·阿蒂亚爵士（Michael Atiyah）说，每一位科学家都会支持孔涅的观点——比如整数、圆在某种抽象意义上是真实存在的，并且柏拉图的观点也十分有吸引力。但换一种观察视角，我们需要有所怀疑。
迈克尔·阿蒂亚爵士，1966年菲尔兹奖和2004年阿尔贝奖获得主，被誉为20世纪最伟大的数学家之一
就拿人类而言，我们对于“整数”的概念似乎更加明确，对小数、分数、负数的概念，则稍弱一些。之所以这样，是因为“整数计数”的概念是随着人类诞生就发展而来的。在人类的生活环境中，最直观的感知就是大自然中的一块块石头、一头头猛兽、一根根树枝、一个个同伴。
但如果类似人类的高级文明不是出现在陆地上，而是诞生在与陆地隔绝的水母生活的海洋深处之中，情况就会发生变化。水母不再有个体的体验，只会被四周的水包围，最直观的感知就变成了运动、温度和压力，在这样的环境中，就不会出现离散的概念，也不需要计数。或者假设宇宙是一维度空间，也很难想象几何学在这个一维空间是如何发展的……所以阿蒂亚确信，数学是被“发明”出来的，是人类天性的一部分，源自于我们的身体、大脑，以及我们在这个世界中每天经历的总结。
而上期节目提到的泰格马克教授“数字宇宙”假说，则提出了更极端的假设——整个世界就是由抽象的数学关系构成的，我们这个世界不存在实体，不存在硬件，统统都是软件。换句话说，“数学世界是不是独立存在”这个问题，已经不重要了，因为数学世界就是唯一的一个世界。
……
说到这里，你的脑袋应该已经初步混乱了。当然，如果你认为弄清数学究竟是一种“发现“还是一种“发明”无关紧要。那么你可以再仔细地感受一下这两个词的差异，以及在下面这个问题下的意味：“上帝是一种发现还是一种发明？”，或者还有另一个更刺激的问题：“上帝是按照自己的模样创造出了人，还是人类按照自己的形象创造了上帝？”
最后用诺贝尔物理学奖得主，尤金·维格纳(Eugene Wigner) 的一段话作为收尾。
“数学语言适于表达物理法则，这种奇迹是上天赐予我们的绝妙礼物。事实上，我们并未真正理解这份礼物，同时也受之有愧。我们应当感谢这份礼物，希望它在未来的研究中仍然有效，而且可以给予我们欢乐，抑或困惑——无论是好是坏。”——Eugene Wigner
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这期视频及猫粮灵感来源于《最后的数学问题》——《华盛顿邮报》年度十佳图书，改编的电视节目《伟大的数学问题》获得了艾美奖提名。所以，这并不是一本“教你如何解数学题的书”。没有晦涩的公式，只有引人入胜的思考，关于人、关于自然、关于这个世界究竟是什么的数学史诗，适合那些“其实心底里还是挺喜欢”数学的你，和爱好哲学思辨的你。
如果你对纽结这样的拓扑学问题感兴趣，并且想初步系统的学习一下拓扑学，可以看一下《基础拓扑学》——此书也是美国很多高校的拓扑学入门教材，比如加州大学伯克利分校。
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