突變理論是20世紀70年代發展起來的一個新的數學分支。
突變理論的產生
許多年來，自然界許多事物的連續的、漸變的、平滑的運動變化過程，都可以用微積分的方法給以圓滿解決。例如，地球繞著太陽旋轉，有規律地週而復始地連續不斷進行，使人能及其精確地預測未來的運動狀態，這就需要運用經典的微積分來描述。
但是，自然界和社會現象中，還有許多突變和飛躍的過程，飛越造成的不連續性把系統的行為空間變成不可微的，微積分就無法解決。例如，水突然沸騰，冰突然融化，火山爆發，某地突然地震，房屋突然倒塌，病人突然死亡……。
這種由漸變、量變發展為突變、質變的過程，就是突變現象，微積分是不能描述的。以前科學家在研究這類突變現象時遇到了各式各樣的困難，其中主要困難就是缺乏恰當的數學工具來提供描述它們的數學模型。那麼，有沒有可能建立一種關於突變現象的一般性數學理論來描述各種飛躍和不連續過程呢？這迫使數學家進一步研究描述突變理論的飛躍過程，研究不連續性現象的數學理論。
1972年法國數學家雷內·託姆在《結構穩定性和形態發生學》一書中，明確地闡明瞭突變理論，宣告了突變理論的誕生。
法國數學家雷內·託姆，突變論的創始人，於1958年獲菲爾茲獎。在1963年，成為法國高等科學研究所終身教授。
突變理論的內容
突變理論主要以拓撲學為工具，以結構穩定性理論為基礎，提出了一條新的判別突變、飛躍的原則：在嚴格控制條件下，如果質變中經歷的中間過渡態是穩定的，那麼它就是一個漸變過程。
比如拆一堵牆，如果從上面開始一塊塊地把磚頭拆下來，整個過程就是結構穩定的漸變過程。如果從底腳開始拆牆，拆到一定程度，就會破壞牆的結構穩定性，牆就會嘩啦一聲，倒塌下來。這種結構不穩定性就是突變、飛躍過程。又如社會變革，從封建社會過渡到資本主義社會，法國大革命採用暴力來實現，而日本的明治維新就是採用一系列改革，以漸變方式來實現。
對於這種結構的穩定與不穩定現象，突變理論用勢函數的窪存在表示穩定，用窪取消表示不穩定，並有自己的一套運算方法。例如，一個小球在窪底部時是穩定的，如果把它放在突起頂端時是不穩定的，小球就會從頂端處，不穩定滾下去，往新窪地過渡，事物就發生突變；當小球在新窪地底處，又開始新的穩定，所以勢函數的窪存在與消失是判斷事物的穩定性與不穩定性、漸變與突變過程的根據。
託姆的突變理論，就是用數學工具描述系統狀態的飛躍，給出系統處於穩定態的參數區域，參數變化時，系統狀態也隨著變化，當參數通過某些特定位置時，狀態就會發生突變。
突變理論提出一系列數學模型，用以解是自然界和社會現象中所發生的不連續的變化過程，描述各種現象為何從形態的一種形式突然地飛躍到根本不同的另一種形式。如岩石的破裂，橋樑的斷裂，細胞的分裂，胚胎的變異，市場的破壞以及社會結構的激變……。
按照突變理論，自然界和社會現象中的大量的不連續事件，可以由某些特定的幾何形狀來表示。託姆指出，發生在三維空間和一維空間的四個因子控制下的突變，有七種突變類型：折迭突變、尖頂突變、燕尾突變、蝴蝶突變、雙曲臍突變、橢圓臍形突變以及拋物臍形突變。
例如，用大拇指和中指夾持一段有彈性的鋼絲，使其向上彎曲，然後再用力壓鋼絲使其變形，當達到一定程度時，鋼絲會突然向下彎曲，並失去彈性。這就是生活中常見的一種突變現象，它有兩個穩定狀態：上彎和下彎，狀態由兩個參數決定，一個是手指夾持的力(水平方向)，一個是鋼絲的壓力(垂直方向)，可用尖頂突變來描述。
尖頂突變和蝴蝶突變是幾種質態之間能夠進行可逆轉的模型。自然界還有些過程是不可逆的，比如死亡是一種突變，活人可以變成死人，反過來卻不行。這一類過程可以用折迭突變、燕尾突變等時函數最高奇次的模型來描述。所以，突變理論是用形象而精確的數學模型來描述質量互變過程。
英國數學家奇曼教授稱突變理論是“數學界的一項智力革命——微積分後最重要的發現”。他還組成一個研究團體，悉心研究，擴展應用。短短几年，論文已有四百多篇，可成為盛極一時，託姆為此成就而榮獲當前國際數學界的最高獎——菲爾茲獎。
突變理論的應用
突變理論在在自然科學的應用是相當廣泛的。在物理學研究了相變、分叉、混沌與突變的關係，提出了動態系統、非線性力學系統的突變模型，解釋了物理過程的可重複性是結構穩定性的表現。在化學中，用蝴蝶突變描述氫氧化物的水溶液，用尖頂突變描述水的液、氣、固的變化等。在生態學中研究了物群的消長與生滅過程，提出了根治蝗蟲的模型與方法。在工程技術中，研究了彈性結構的穩定性，通過橋樑過載導致毀壞的實際過程，提出最優結構設計……。
突變理論在社會現象的一個用歸納為某種量的突變問題，人們施加控制因素影響社會狀態是有一定條件的，只有在控制因素達到臨界點之前，狀態才是可以控制的。一旦發生根本性的質變，它就表現為控制因素所無法控制的突變過程。還可以用突變理論對社會進行高層次的有效控制，為此就需要研究事物狀態與控制因素之間的相互關係，以及穩定區域、非穩定區域、臨界曲線的分佈特點，還要研究突變的方向與幅度。
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