在工程設計中，普遍地會用到微積分來分析曲面實體的體量大小或內力分佈。所以學設計的，總要掌握一些微積分的知識才好。
在學習微積分之初，老師經常會引用恩格斯在《自然辯證法》中對微積分的一句評價：
只有微積分才能使自然科學有可能用數學來不僅僅表明狀態，並且也表明過程：運動。
從字面的表達看，“狀態”有靜態的含義。比如平面座標系內X軸上的一個點，我們這樣來表明它的狀態：（x1，0）。點的維度是0。讓這個點沿X軸運動，在運動到座標（x2，0）時，我們這樣來表明它的過程：x2-x1。這是一條直線，直線是一維的。
以此類推，還可以進階到二維的面，三維的體，四維以至N維。
我們以一個自然數2為例，做兩個簡單的變換，得出兩個等式：2=2-0和2=2/3*3。
正在輔導孩子小學數學的孩兒他媽看到此處，當即暴起，表示這是脫了褲子放屁！
好吧，我們看圖說話：
看似簡單無腦的變換式，讓我們實現了從低維到高維的思維過渡。
通過上述的兩個等式，又得到一個新的等式：2/3*3=2-0。我們可以這樣理解它的含義：
一個二維的正方形的面積可以與一條一維的直線段的長度等值。這種等值關係，就是兩個維度空間的通道。
把上面的幾個等式先放一邊，我們來求一個曲線三角形的面積。
如上圖，曲線三角形的斜邊是曲線y=x^2的一部分，對應的x∈[0，2]，求陰影部分也就是曲線三角形的面積。
首先，我們在X軸上取值x，使0≤x≤2。再取一個無限小的增量Δx，這個增量Δx，小到多小呢？小到可以忽略不計，所以有（x+Δx）^2無限約等於x^2。
這樣，我們就得到一個無限近似的長方形，X軸向的邊長為Δx，Y軸向的邊長為x^2，
它的面積：ΔS=x^2*Δx。
從形式表達的結果看，ΔS也是一個無限小的量。
而在x∈[0，2]上，有無限個ΔS，它們的累加結果，就是曲線三角形的面積S。
我們用一個積分等式，來表達上述的結果：
這個等式本身是無法解的。
但從等式2/3*3=2-0中，我們得到過這個啟示：
一個二維的正方形的面積可以與一條一維的直線段的長度等值。
那麼，我們就去找出與這個曲線三角形等值的直線來。
下圖是曲線y=1/3 x^3的一部分，對應的x∈[0，2]。
當x∈[0，2]時，y∈[0，8/3]。
這個很好計算。取x1=0，則y1=1/3*0^3=0 ；取x2=2，則y2=1/3*2^3=8/3；
那麼，兩個端點在Y軸的投影距離y2-y1=8/3-0=8/3。
這條直線，就是我們要找的直線。接下來的工作，就是證明曲線三角形的面積與這條直線的長度等值，即：
S= ∫x^2*dx，x∈[0，2]=y2-y1
首先，我們在這條直線上，也取一個無限小的量Δy。
在x∈[0，2]上，有無限個Δy，它們的累加結果，就是直線的長度y2-y1。
只要使每一個Δy，都有一個對應的x^2*Δx，直線的長度就與曲線三角形的面積等值。
即如果
Δy=x^2*Δx，那麼S=∫x^2*dx，x∈[0，2]=y2-y1。參照等式2=2/3*3，我們將Δy變換成Δy=Δy/Δx*Δx。
從上述的推演來看，只要使Δy/Δx=x^2，證明就可以完成。
我們將Δy/Δx拿出來單獨研究。
Δy/Δx表示曲線的曲率，也被稱為函數的導數，表達式：f'(x)=Δy/Δx。
有同學不明白它為什麼叫導數，因為正是它，幫助我們把計算從高維導向低維，從混沌導向清晰。
下面的任務，就是求Δy所對應的函數y=1/3 x^3的導數：
lim，極限的簡寫
結果：Δy/Δx=x^2。
那麼，曲線三角形的面積S= ∫x^2*dx，x∈[0，2]=y2-y1=8/3。
恩格斯所說的表明過程，應該可以部分歸結到這個積分公式上來S= ∫x^2*dx，x∈[0，2]。
但它是否真的表明了過程，是值得懷疑的。因為我們並沒在這個維度上做出解答，而是進行了降維處理，從二維轉換到一維，找到了一個可轉換的解。
微積分更像是一種降維打擊的思維，把高維空間的混沌邏輯整體打個包，丟到低維空間轉化成簡單的線性邏輯。這才是它的真諦。
釐清了整體變換的過程，再遇到與曲線三角形相似的問題，我們就可以用導數反向推導低維函數方程，進行線性求解。
所以，微積分的整體邏輯並不複雜，把一切歸於簡單才是它的信仰！
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