許多人在學習微積分的時候，總是懷著”動態帶來變化“的信念，特別執著地要將它跟“運動”聯繫在一起。似乎強調它的複雜與困難，學習者更能與有榮焉。
這多少跟恩格斯對微積分的那句評價有關：
只有微積分才能使自然科學有可能用數學來不僅僅表明狀態，並且也表明過程：運動。
這個評價不見得全對哦！
鳥鳴山空，不易入睡；火車咣咣，特別催眠。
研究運動，誰說不是為了追求靜止；直面複雜，何曾不是為了找尋簡單！
複雜的往往是我們要解決的問題，而微積分是我們解決問題的工具，誰會把工具造得難以操作！
而且，誰規定長一雙腿就得跑過劉翔，造一副拐就得賣給範偉？人人學點微積分，沒毛病！
其實，微積分的底層邏輯是“制動”，把動態的、非線性的邏輯關係轉換成靜態的、線性的邏輯關係。
下面我們拿“列車運行”這一動態事件，做一個簡單分析。
首先，我們一個用方程式來描述這一事件：s=vt，
s-距離， v-平均速度， t-時間。事實上，這是初等數學裡常見的方程式。實踐中，列車肯定不能一直勻速運行。由於起動、停止、坡度、風阻等許多的變量存在，速度v肯定也是一個變量。
所以，我們改用一個函數來表達：s=f(t)。至於s與t的關係式究竟要怎麼寫，我們先不管它。
那麼速度該怎麼描述呢？從上述可見，速度變量v也跟時間t有關，我們也用一個函數來表達：v=g(t)。和s=f(t)一樣，我們先這樣寫了，寫完丟一邊，愛咋咋地！
一切計算的基礎是加減法，然後是乘除法。人類史上第一個遇到
2X2=？這個問題的人，一定是數完4個數才確定答案的。至於三角函數、對數、開根號等等，本質上都是方程式，歸到底，還是要用加減乘除來計算結果的。從某種意義上說，數學不只是邏輯，也是經驗。
所以，要求得距離s，我們必須要找到它與速度v，在時間上的線性關係。
如果速度v始終隨著時間t的變化而變化呢（起動加速階段）?沒關係，我們來開一下腦洞：
只要在一個不能分割的、無限小的時間點Δt上，就能求得瞬時恆定的速度v。
於是，得速度的線性表達式：v=Δs/Δt，記作f'(t)，也就是函數s=f(t)的導數。
然後，f'(t)=g(t)，那麼，s=f(t)是v=g(t)的原函數，v=g(t)是s=f(t)的導函數或被積函數。
知道s=f(t)的關係式，可以求導得到v=g(t)的關係式；知道v=g(t)的關係式，可以通過不定積分，得到s=f(t)的通項關係式。
我們變換一下v=Δs/Δt的表達式：Δs=f'(t)*Δt，f'(t)*Δt就叫做原函數s=f(t)的微分，也是被積表達式。
從整個過程看，我們在研究“列車運行”這一動態事件時，關鍵是找到了一個抽象時空點Δt。Δt不能再被分割且無限趨近於0，那麼Δs也無限趨近於0。
如果位移Δs無限趨近於0，那列車在時間Δt上，是不是無限趨近於靜止？
但是我們終究不需要計算f'(t)*Δt，因為在時間區間t∈[t1，t2]上，有無限多個f'(t)*Δt。
通過積分，將無限多個微分單元f'(t)*Δt打個包，轉換成原函數s=f(t)的兩點間距：
得： ∫f'(t)*dt，t∈[t1，t2]=s(t2)-s(t1)
我們給出假定條件，再計算一下上述過程。
假設，已知導函數v=2t，求在t∈[0，10]內，列車行進的距離s 。
對函數v=2t，進行不定積分得：s=t^2+C(常數)。
則，s= ∫2t*dt，t∈[0，10]=s(10)-s(0)=10^2-0^2=100。
為求微積，我們將時間分成無限個靜止。通過積分，我們又穿越到時間的盡頭。一切源於微積分的樸素思想：將高維空間的混沌邏輯，轉換成低維空間的線性邏輯。粗暴點說，能簡單的就別搞複雜了！
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