大家好，我是铃木欧。
我们上次讲完了第一次数学危机之后，有人就问我第二次数学危机又是咋回事？今天我们就来说一下这个问题。
第二次数学危机的萌芽，其实在古希腊时代就已经有了，古希腊有一个数学家叫芝诺
他研究了很多的悖论，用来反驳时间和空间的连续性问题。其中最著名的一个就是阿基里斯追乌龟的故事。
阿基里斯是古希腊传说中的一个英雄，什么叫英雄？我们知道古希腊有很多的神，神和神的孩子就是神，人和人的孩子就是人，那神和人如果发生爱情，他们的孩子就是英雄。阿基里斯就是这样一个英雄，他是古希腊跑得最快的英雄。同时呢也是浑身刀枪不入，只有脚后跟这有一个弱点，后来被人射脚后跟射死了。
那么，这个阿基里斯有一天遇到了一只乌龟，乌龟跟阿基里斯就说了，说阿基里斯别看你跑得快，但是你永远也追不上我。阿基里斯说为啥啊？它说，你看啊，你在A点，我乌龟在B点，对吧。这就叫a1，a2.
好了阿基里斯咱们现在开始跑吧，那么你可以要追上我的话，你得先追上我先跑这一段a1→a2，对不对？所以第一个阶段，阿基里斯就从a1跑到了a2，但是这段时间我乌龟没闲着啊，我也往前跑了，我就从a2跑到了前面的一个位置a3，a3很显然，它肯定没有a1→a2那么远，但是我也毕竟跑了，你妹追上对吧，没追上你接着追。你要想追上我，你得先从a2跑到a3，对不对？所以阿基里斯又来，从a2跑到a3，对不对?在这过程中，我乌龟也没闲着，我又往前跑了一段，虽然我跑得更少了，但毕竟我还跑了，对不对？所以乌龟又从a3跑到了a4。因此二者之间距离只能是不停地减小，但是永远也不可能为零。
因此，阿基里斯永远也追不上乌龟。
这个问题到底在哪？咱们仔细研究一下，我们会发现一件事。阿基里斯比乌龟跑得快，所以他们之间是不停缩短的我们不妨做一个假设，假设VA等于两倍的VB。那这样一来，如果阿基里斯和乌龟最初相距L。阿基里斯走完了这个L之后，乌龟往前走的距离就是1/2L，阿基里斯走完了1/2L之后，乌龟再往前走的距离就是1/4L，所以阿基里斯所需要走的总路程是多大？是L+1/2+1/4+1/8+...一直这样加下去大家知不知道这个结果是多少？你看这个结果最开始跟2L差的1/2，再补上1/4之后，就跟2L差了1/4，再补上1/8之后，跟2L差了1/8所以它最终结果等于什么？
等于2L-1/2^nL，其中这个n无穷大，对不对？
好了再来，那么你所需要花的时间又有多长？如果第一段时间是t，第二段时间是1/2t，第三段时间是1/4t，第四段时间1/8t，那么一直加下去
同样它也等于2t-1/2^nt。
其中这个n如果无穷大的话，那么最后的两项就会非常小，所以n无穷大的时候，△SA和△TA，就是无穷小！，也就是它最后的这一项，我们就可以称之为是无穷小项。
所以芝诺的悖论主要问题是在于他把一个有限的长度分割成了无限多份，但是这些份加起来并不是一个无穷长的时间和路程，但是从这一点出发人们就已经最初认识到了一个叫做无穷小的玩意儿。后来古希腊文明衰落，欧洲就沉寂了一千多年两千年。直到后来呢，文艺复兴之后才重新开始研究一些问题。那么那个时候出现了一些猛人，比如说像牛顿，还有莱布尼兹。那么这两个人他们各自独立发明了微积分，微积分里面有一个重要的概念叫导数，什么是导数？假如有一个函数y-x，它的图像是这样
那么我们在这里取一点P0，在旁边取一点P，那么这两个点就会有一个横坐标的差和一个纵坐标的差，对吧。如果你△X趋近于零的话，那么P点就会非常接近于P0点，对吧？P点非常非常接近于P0点的时候△y/△x就叫做P0点的导数人们通过导数以及微积分解决了很多数学和物理上的问题，所以人们觉得这是很正确的，直到有一天，有一个人叫贝克莱，这个贝克莱是英国的大主教，他有很多观点，非常神奇。贝克莱就说了，说你这个有问题，说这个问题是什么呢？
你看你这个△x趋近于零，你到底是零还是不是零？你如果说△x它是零的话，那么你怎么可以做分母，对不对？如果△x不是零，又怎么能说B点和A点重合变成一个点呢？因此贝克莱最早提出的这个问题——就是无穷小到底是不是零？
这个问题怎么回答都是矛盾的，所以微积分的基础是又问题的，这件事就被称为——第二次数学危机。
第二次数学危机在历史上持续的时间非常长，150年。150年之后，很多数学家对这个问题进行了重新定义。比如说像阿贝尔，像柯西，像康托尔，这些人对无穷小进行了严格的定义，从而使微积分具有了坚实的基础，所以归结到一句话
第二次数学危机是微积分基础的问题，无穷小到底是不是零。
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