在上篇《 》中，我們瞭解了參量放大的基本原理和要素。利用系統參數的非線性，可以實現驅動能量向信號能量的轉移，從而實現放大。但參量放大也有顯著的短板——只能放大驅動頻率（一半）附近很窄範圍的信號，想象一下盪鞦韆的時候如果我們改變身體位置的節奏與鞦韆振盪頻率不一致的情況就知道了。隨著科技的進步，我們又找到了新的更為理想的非線性電路元件——約瑟夫森結，藉助超導的零電阻特性，可以構造噪聲接近甚至超越量子極限的參量放大器，參量放大器的“第二春”隨之到來。之後更為極端的量子測量技術更是讓參量放大器迎來了“第三春”，在量子計算領域大放異彩。
撰文 | 無邪（量子計算從業人員）
參量放大器的“第二春”是約瑟夫森結的發現與應用。約瑟夫森結是由兩塊超導體中間隔一個很薄的絕緣層構成的三明治結構*。這個絕緣層很薄，薄到只有幾個納米，此時超導波函數就有機會擴散到絕緣層的另一側去，與另一側的超導體發生干涉效應，這就是約瑟夫森效應。
*註釋：廣義上講，這只是隧道結的形式，約瑟夫森結還可以是其他形式，為了便於解釋，這裡採用這種最經典的形式。
約瑟夫森效應是一個叫約瑟夫森的大學生髮現的。當著名的超導微觀理論——BCS理論建立起來之後，作為大學生的約瑟夫森直覺地認為，構成超導凝聚態的“基本粒子”——庫伯對，也可以像電子一樣發生隧穿（Tunneling）。基於這個假設，他很快就得出了隧穿電流與隧穿勢壘兩端超導體相位差之間的關係，以及相位差變化與電壓之間的關係，分別稱之為約瑟夫森電流關係和電壓關係，或者叫直流約瑟夫森效應和交流約瑟夫森效應。這兩個效應結合在一起，使得約瑟夫森結的電流-電壓關係表現出複雜的非線性行為，同時在小電流情況下（即流過約瑟夫森結的電流小於其臨界電流），它是無能量損耗的，這使得其在電路中大有“妙用”。
我剛入行的時候，做的是一種叫“超導量子干涉儀（SQUID）”的器件應用，這種器件是已知最靈敏的磁探測器，關於這種探測器及其應用，暫且按下不表，容後單回分解，我們只說它的核心元件，就是約瑟夫森結。現在Google、IBM熱火朝天在做的超導量子計算機，其中的核心元件，是約瑟夫森結；美國牽頭的“C3”計劃，以及中國上海微系統所王鎮教授牽頭做的超導計算機，其核心元件也是約瑟夫森結。當然了，今天要講的約瑟夫森參量放大器，其核心元件同樣是約瑟夫森結。
a）一個約瑟夫森結，b）約瑟夫森結在電路中的表示，c）約瑟夫森結的等效電路圖。約瑟夫森結等效於一個電感，但其等效電感值可隨相位差變化，甚至可變為負值。
把約瑟夫森電流關係和電壓關係結合起來，我們發現，一個約瑟夫森結在電路中可以等效為一個電感。這個電感值與結上的相位差有關，是一個非線性的電感，更有意思的是這個電感還可以是負的！這是導致約瑟夫森結豐富而複雜的動力學行為的主要原因。上篇已經講到利用變容二極管來構造參量放大器的故事，也提到了LC-振盪電路中有兩個參量L和C，那好了，現在我們有了可變電感的非線性器件了！我們可以用約瑟夫森結來替代，或部分替代LC-振盪電路中的電感，引入非線性，製造參量放大器！
約瑟夫森參量放大器
上世紀七八十年代，由於理論上只有很低的附加噪聲，同時約瑟夫森振盪頻率正好在1-100GHz範圍——這是軍用雷達最喜歡的頻段，因此人們有很強的動機研發基於約瑟夫森效應的參量放大器，簡稱
約瑟夫森參量放大器（Josephson Parametric Amplifier，JPA）。不過研發過程並不順利。受限於當時製冷技術的欠缺，以及約瑟夫森結制備和材料技術的不成熟*，儘管做出了JPA，看到了放大，但噪聲表現不盡人意，而且還不穩定，容易出現莫名其妙的振盪。於是很快地，從事這個領域探索的研究者越來越少，加上製冷機的笨拙完全無法與半導體放大器的“皮實”相比擬，難被軍方相中，這類研究逐漸沉寂。不過這段時期的研究奠定了JPA的理論基礎，也積累了很多實驗經驗，產生出一批相關文獻，為後面參量放大器的“第三春”做好了準備。（關於製冷技術的發展，可參看《 》）
*註釋：那個年代最流行的是鉛結，即以鉛作為超導體的約瑟夫森結。這種結最大的缺點是不穩定。
在進入下一部分內容（也是最難理解的部分）之前，我先解釋一下為什麼JPA的附加噪聲可以很低，達到甚至能超越量子極限。
JPA本質上是一個非線性諧振器，在其中振盪的是超導相位。超導現象是一種典型的宏觀量子現象，大量的傳導電子通過一定的機制*結合成庫伯對並凝聚到一起，形成集體模式的量子態。超導凝聚在能帶中打開了一個小小的能隙，將所有低於這個能量尺度的相互作用拒之門外，對系統起到了絕佳的保護，成就了對於很多應用而言求之不得的效應：零電阻和完全抗磁性。超導現象作為一種宏觀量子效應，儘管參與的粒子數在宏觀量級，但表現出來的自由度只有一個——相位。前面講噪聲的時候提到噪聲來源於不可控的自由度，在JPA中，參與的自由度只有這一個，其他大量相關的自由度都因為超導能隙的保護而凍結了，自然噪聲就極低了！
*註釋：在傳統超導體中，我們已經清楚這種機制來源於電子-聲子相互作用，但現在研究很多的非常規超導體，其機制尚無定論。
至於超越量子極限，則源於參量放大的非線性行為。非線性的存在使得放大器的振盪頻率與振幅大小相關，對於JPA而言，振幅越大，共振頻率越低。當振幅趨近於一個臨界值時，極微弱的擾動也將導致系統響應特性出現顯著變化。JPA需要先用一個較大功率的泵浦信號將系統驅動到接近這個臨界狀態，然後輸入信號進來就相當於這個擾動，響應特性的變化造成輸出變化。
在這個過程中，擾動（信號）與泵浦之間有一定的相位關係，當信號與泵浦頻率一致時，只有當二者同相位時，才能造成顯著的放大，而當相位相差90度時，輸出反而是縮小的，理論上這正好滿足了前述“超越量子極限”的條件。超越量子極限是有嚴格條件的，只有當信號頻率與泵浦頻率一致的時候才能發生。如果二者有偏差，根據三角函數關係，信號光總能分解成一半與泵浦光同相、一半相差90度的兩個分量，因此總體增益就與初相無關了，此時回到了Caves理論，即附加噪聲最少是半個光子。
量子測量技術
參量放大器的第三春的到來，與量子測量技術的需求有很大關係。量子測量，顧名思義，我們測量的對象是量子的，它可以是一個光子，也可以是一個電子自旋，也可以是一個宏觀量子態。與經典測量相比，量子測量存在很多新的挑戰。一方面，我們要求測量的能量分辨率能夠達到單量子水平，而另一方面，根據量子力學基本原理，測量是一個不可逆過程，它會導致量子態“塌縮”，由於塌縮是一個隨機過程，因此原則上測量後的狀態與測量之前沒有任何相關性。
對於能量分辨率這個要求，其難度取決於量子態的能量尺度。比如說我們最常見的量子態——可見光光子，它的波長範圍是400nm-760nm，對應的能量為1.6-3個電子伏。這個能量有多大呢？當春日的陽光照射下來，每秒鐘將有超過百億億個光子打在我們臉上，此時我們的皮膚僅僅只是感覺到“舒服”。然而，它卻能夠將一些金屬中的電子打出來，讓那些束縛在金屬原子外層的電子變成遊離態！這就是愛因斯坦獲諾獎的工作——光電效應。正是這種光電效應，很快人們就發明了探測可見光光量子的辦法——光電倍增管和雪崩二極管。有了這樣的探測器，人們就可以研究
可見光相關的各種量子效應了。但是，如果我們想測量微波光子的量子態呢？比如一個10GHz的光子，它的光量子能量是多少呢？只有約40個微電子伏，比可見光小了5個數量級！這樣低的能量，無論如何是打不出電子來的，只能激發分子中的一些振動或轉動能級——這就是微波爐加熱的原理。想測這樣的光量子態，難度就大得多了，直到今天，人們仍然在探尋有效的長波段單光子探測器，因為它們在天文觀測中有非常重要的作用。
光電倍增管示意圖。光子進入倍增管之後由於光電效應會激發出光電子，經過加速，光電子會飛向陽極並激發更多的二次電子，如此反覆之後，就能得到一個顯著放大的電流。
對於量子態一碰就塌縮的問題，我們只能準備好一堆完全相同的狀態，然後用完全相同的測量方法去讀它，最終得到一個統計結果。這還沒完，因為這樣只能得到波函數的幅值，得不到相位。要想進一步獲得相位信息，還需要對量子態做一定的操作，將密度矩陣非對角元信息投影到對角元上再測，這就複雜得多了，大家可以忽略這段文字，只要知道了解一個量子態的全部信息有多困難就行了，科學家能夠對一個量子態進行“全息照相”，也只是最近十來年的事情。
理想情況下，我們希望測量是“指針”式的，比如一個光子飛過來，儀器接收到了就指向“1”，沒有就指向“0”，這就是所謂的“單發測量（single shot measurement）”。實際的情況是，在絕大多數情況下，我們的儀表盤就像蒙了一層水霧，指針只是隱約可見。要想清楚知道指針指向了哪裡，還需要測很多次，以降低測量結果的方差，提高準確性。另一方面，我們還希望測量對象在測量過程中是保持不動的，就好比在黑暗中拍照，我們保持拍照對象不動，相機不動，經過足夠長時間曝光，總能得到一張明亮的照片。可悲的是，量子態基本上不太可能那麼乖，我們拿相機的手也沒那麼穩，於是拍出來的“照片”總是糊，好多的科研成果，就是在這些模糊的照片中找亮點，也真是難為這些科學家們了。
在極弱的光線下，我們必須通過長時間曝光來獲得美妙的照片，這其中蘊含了重要的測量原理：增加測量時間或者次數可以從背景中更清晰地分辨出信號。
如果只為探尋某些量子效應的“蹤影”，我們也許可以說，照片糊點也沒關係，多點耐心，加上“理論指引”，還是能看出蛛絲馬跡滴！但是，如果我們的目的是要讓這些量子態按照我們設想的方式行動，就容不得半點模糊了！這實際上就是量子計算面臨的情況。
為了讓一個個量子態能夠進行“計算”，我們就必須設法讓他們實現某些“邏輯”。何謂邏輯呢？淺顯點說就是因果上下文關係，舉例來說，我說如果我吃了午飯，我現在就不會餓；如果我沒吃午飯，那我現在就會餓。這句話的邏輯，就是吃沒吃飯會直接影響我三小時後會不會餓。吃沒吃午飯是“因”，或者叫“輸入”，餓不餓是果，或者叫“輸出”。量子的邏輯就是量子門——經過一個量子門之後，輸入的量子態會轉變到一定的輸出量子態。假如有一個量子系統，它包含一堆量子比特，我們先要將它們“初始化（置零）”，然後製備到“輸入態”，接著經過一系列的量子門（算法），得到“輸出態”，最後測量這些輸出態，就得到了計算結果。看，量子計算多簡單！
簡單歸簡單，但裡面有兩個關鍵，首先量子門要足夠準確，其次測量要足夠準確。量子態可不是乖孩子，你給它拍第一張照片時，它會瞪大眼睛，拍第二張的時候卻吐著舌頭，再想拍一張，影子都沒了！想讓它們乖乖的，就得使用“定身術”。這個“量子定身術”的魔法，就是所謂的“量子非破壞測量”了。
量子非破壞測量
量子非破壞測量（Quantum Non-demolition measurement，簡稱QND測量）帶有較強的誤解性，因為它並不是“非破壞”的——量子力學基本原理不能違背，該塌縮還是得塌縮的。那它的妙處在哪呢？QND測量的妙用在於，第一次測量之後量子態會隨機投影到某一個測量算符的本徵態上去，但隨後量子態會一直保持在這個態（除了一個平庸的相位演化以外），如此一來，第二次、第三次以及之後的測量，還能給出與第一次相同的結果。這給了測量者很大的空間，有了這種“定身術”，測量者就能通過增加測量次數或累加測量時間來獲得更高的信噪比，如果不考慮退相干的話，我們甚至能無窮精確地知道塌縮後的量子態！
QND測量最早是由Braginsky等人在上世紀80年代提出的，研究的動機就是要解決引力波測量問題。前面已經提到，引力波測量要求的精度達到了原子核直徑的尺度，此時量子效應必須考慮，而我們必須通過大量的反覆測量才能累積到足夠精確的數據，如果每次測量之間存在量子漲落，測量精度就無法通過累積來提升。
假如我們有一個測量裝置，它對量子系統的作用可以用一個算符來表示，測量過程會導致系統向測量算符的某一個本徵態塌縮。這裡存在一個特殊情況：測量算符與系統哈密頓量及相互作用哈密頓量均對易。由於對易的算符具有相同的本徵態，因此這種情況下我們可以確定，系統塌縮之後的狀態（測量算符的本徵態）將會是某一個“能量本徵態”（系統哈密頓量的本徵態）。而能量本徵態又被稱為“定態”——它只有平庸的相位演化，此時系統將保持在這個狀態（除非受到其他干擾，這裡先假定沒有），再次測量時，系統將以“1”的概率投影到自身，因此會給出與第一次測量相同的結果，以此類推，後續的N次測量都將給出相同結果，搞定！
接下來的問題是：如何構造這樣一種（QND）測量呢？找不到現實存在的QND測量手段的話，理論就只是空架子了。據說早年在筆記中，朗道就思考過這樣的問題，最後他在筆記中寫道：“遺憾的是，這樣的哈密頓量是不存在的... ...”白高興一場！朗道畢竟是一個純粹的理論物理學家，從嚴格意義上來講，這種測量確實是不存在的。但物理學的精髓在於，我們可以近似！下面就講一個這樣的經典例子。
假如有一個原子，我們只關注它其中的某兩個特定能級*，然後將這個原子放入一個諧振腔（一個理想的簡諧振子）中。諧振腔中的電磁場與原子會發生極為微弱的相互作用，因此整個系統的哈密頓量將包含三部分：原子的、諧振腔的和相互作用項。由於相互作用很弱，我們可以把它當作一個微擾並做一系列近似，包括：
- 只考慮偶極相互作用，不考慮四極或更高階的相互作用；
- 旋波近似，即只考慮慢過程；
- 最後，再考慮原子頻率和諧振腔頻率相差很遠的情況，即大失諧近似。
這樣一來，我們就可以大刀闊斧地丟掉一大堆的項，最後保留下來的，就是經典的J-C哈密頓量。
*註釋：原子中能級極為複雜，且如果考慮完全的系統的話，能級數量是無窮多的，為了簡化問題，現在我們只考慮其中兩個特定能級，也就是哈密頓量的一個小小的子空間。這樣做不會帶來什麼問題，因為其他能級基本都是凍結的。
原子-諧振腔耦合組成的腔量子電動力學系統示意圖，及J-C哈密頓量形式（大失諧情況下）。
這個哈密頓量已經包含很多信息：
- 首先由於相互作用的存在，即便諧振腔中沒有光子（真空態），原子的能級也將發生微小的位移，這就是“蘭姆位移”。
- 其次，諧振腔中有光子的話，原子能級的位移量會隨著光子數增加而線性增加，這就是“AC-Stark效應”；反過來，原子上有沒有激發，對諧振腔頻率也會發生不同的影響，導致諧振腔頻率發生位移。
- 最後，相互作用項與原子哈密頓量、諧振腔哈密頓量均對易。
看到嗎？這不就是QND測量所要求的哈密頓量嗎？如果把諧振腔當成是原子能態的探測器，我們就能夠通過觀察諧振腔頻率的位移來判斷原子處於哪個能量本徵態了。我們將這樣的一個系統稱為“腔量子電動力學（Cavity QED）系統”，2012年的諾貝爾獎就頒發給了在這方面有突出貢獻的兩位物理學家，Serge Haroche（法國） 和 David J. Wineland（美國）。
從理論到實驗發現
好了，哈密頓量也找到了，接下來就看物理學家如何去實現了。最早在自然原子和諧振腔上做這個實驗是極為困難的，因為第一，原子並不老實，要想讓原子呆在諧振腔中間不動簡直比結界獸關哪吒還難；第二，自然原子與光場的相互作用實在太弱，只有通過諧振腔將光子約束起來，讓光子在其中來回反射無數次，才有可能發生可觀測的相互作用，這就要求有極高品質因數的諧振腔。到這裡我們就瞭解為什麼這項工作能拿諾獎了，挑戰性實在是大。
不過，如果我們換成別的體系，情況就大不相同了，比如超導量子比特。超導量子比特往往也被稱之為“人工原子”，因為它也具有像原子那樣的非線性能級系統，不同的是它所處的頻率範圍要低得多，大約在微波到毫米波範圍。
超導量子比特中的量子態是“宏觀量子態”，即大量微觀粒子（這裡是電子）的集體行為模式，這些微觀粒子就像閱兵式上的方陣一樣，數量龐大且行為整齊劃一，這種集團軍與外界電磁場發生相互作用的能力就比自然原子單兵作戰或小隊人馬強得多了。人工原子還有一個優勢，就是它們本身是通過微加工技術“刻”在芯片上的，所以天然就是固定不動的——想讓它動才難呢！
這兩個優勢一下解決了自然原子腔量子電動力學系統中的兩大難題，因此在人工原子中實現腔量子電動力學要容易得多。由於人工原子本質上是非線性的無損電路，因此這樣的系統用另一個名稱“電路量子電動力學（Circuit-QED）系統”加以區分。
一個電路量子電動力學系統示意圖，藍色部分是一個傳輸線諧振腔，綠色部分就是一個“人工原子”。
Circuit-QED系統的這些特性，使得它成為目前量子計算中最流行的讀出方式。如果能進一步解決Circuit-QED測量的“單發性”，也就是隻需要一次測量就能準確知道量子態投影到哪個本徵態，這就是一個完美的量子測量方案。好啦，到這裡我總算是拉回到了參量放大器，是的，這時候就需要參量放大器出場了。
前面講到理想的約瑟夫森參量放大器（JPA）具有單光子水平的噪聲性能，用它來做量子信號的第一級放大器，就能夠將整個放大系統的總噪聲壓制到單光子水平，從而能夠實現單發的QND測量。隨著近十幾年量子計算技術的飛速發展，參量放大技術甚至成為從物理比特向邏輯比特進步的關鍵技術。這就是JPA第三春到來的契機。
前面講到上世紀80年代研究JPA的時候遇到莫名的噪聲問題，實際上是因為約瑟夫森結參數不穩定造成的，經過三十來年的發展，目前在結制備材料和工藝上已經有了大幅進步，大量的實驗總結出了什麼材料最穩定，怎樣做絕緣層最好，怎麼控制結參數等等，做出來的JPA性能自然就優良得多。現在採用最多的超導材料是鋁和鈮，你沒看錯，鋁，這種日常生活中最常見最普通的金屬材料，也是做JPA乃至超導量子比特最優良的材料之一。
近十餘年時間，JPA經歷了快速的發展，同時還產生了類似原理的其他形態，比如行波參量放大器（Traveling Wave Parametric Amplifier）、約瑟夫森參量轉換器（Josephson Parametric Converter，JPC）、阻抗匹配參量放大器（Impedance Transformed Parametric Amplifier，IMPA）等等。這些新型的參量放大器，在保持低噪聲的情況下，進一步提升了帶寬、動態範圍等其他指標，以適應量子計算技術的發展需要。谷歌最近實現“量子霸權”，其中的測量技術依靠的就是IMPA。在下一步的量子糾錯實驗中，參量放大更是關鍵，我們仍需要進一步設法改進參量放大器的綜合性能。
中科院物理所製備的參量放大器
有意思的是，暗物質探測，這個與量子計算八竿子打不著的研究項目，很快就盯上了參量放大器——當然是因為它太合適啦！在沒有好用的JPA之前，暗物質探測項目要麼在更低的頻率採用超導量子干涉儀（SQUID）來測量，要麼在更高的頻率下利用對撞機來分析。然而，根據理論預言，當暗物質的一種候選粒子，也就是軸子的能量在10GHz左右時，其丰度與現有標準宇宙模型的觀測數據吻合。對於這個頻率的量子測量，JPA無疑是最佳的候選者，幾乎沒有之一。
JPA的工作條件非常苛刻，要求100mK以下的極低溫，以及極為乾淨的電磁場環境，這限制了它的應用場景。有人提出利用JPA來構建“量子雷達”，目前來看還不靠譜。即便如此，僅量子計算這一個應用場景，就已經能夠讓JPA光芒四射了，我相信在未來朝更為極端的未知領域探索的過程中，JPA應該還能找到更多的應用場景。如果能夠讓大家記住這個不起眼卻了不起的東西，此文的目的也就達到了，再見！
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