2000 年 5 月 24 日， 美國克雷數學研究所 (Clay Mathematics Institute) 在法國巴黎召開了一次數學會議。 在會議上， 與會者們列出了七個數學難題， 並作出了一個頗具轟動性的決定： 為每個難題設立 100 萬美元的鉅額獎金。 距此次會議 100 年前的 1900 年， 也是在巴黎， 也是在一次數學會議上， 一位名叫希爾伯特 (David Hilbert) 的德國數學大師也列出了一系列數學難題。 那些難題一分錢的獎金都沒有， 但對後世的數學發展產生了深遠影響。 這兩次遠隔一個世紀遙相呼應的數學會議除了都在巴黎召開外， 還有一個共同之處， 那就是在所列出的難題之中， 有一個——並且只有一個——是共同的。
那個難題就是 “黎曼猜想” (Riemann hypothesis)。
黎曼猜想顧名思義， 是由一位名叫黎曼 (Bernhard Riemann) 的數學家提出的， 那位數學家於 1826 年出生在如今屬於德國， 當時屬於漢諾威王國 (Kingdom of Hanover) 的一座名叫佈列斯倫茨 (Breselenz) 的小鎮。 1859 年， 黎曼被選為了柏林科學院的通信院士。 作為對這一崇高榮譽的回報， 他向柏林科學院提交了一篇題為 “論小於給定數值的素數個數” 的論文。 那篇只有短短八頁的論文就是黎曼猜想的 “誕生地”。
黎曼那篇論文所研究的是一個數學家們長期以來就很感興趣的問題， 那就是素數的分佈。 素數是像 2、 5、 19、 137 那樣除了 1 和自身以外不能被其它正整數整除的數。 這些數在數論研究中有著極大的重要性， 因為所有大於 1 的正整數都可以表示成它們的乘積。 從某種意義上講， 它們在數論中的地位類似於構築萬物的原子在物理世界中的地位。 素數的定義簡單得可以在中學、 甚至小學課上進行講授， 但它們的分佈卻奧妙得異乎尋常， 數學家們付出了極大的心力， 卻迄今未能徹底瞭解。 黎曼那篇論文的一個重大成果， 就是發現素數分佈的奧秘完全蘊藏了在一個特殊的函數之中——尤其是， 使那個函數取值為零的一系列特殊的點對素數分佈的細緻規律有著決定性的影響。 那個函數如今被稱為黎曼 ζ 函數， 那一系列特殊的點則被稱為黎曼 ζ 函數的非平凡零點 (下文中有時將簡稱其為零點)。
有意思的是， 黎曼那篇論文的成果雖然重大， 文字卻極為簡練， 甚至簡練得有些過分， 因為它包括了很多 “證明從略” 的地方。 而要命的是， “證明從略” 原本是該用來省略那些顯而易見的證明的， 黎曼的論文卻並非如此， 他那些 “證明從略” 的地方有些花費了後世數學家們幾十年的努力才得以補全， 有些甚至直到今天仍是空白。
黎曼為什麼要把那麼多並非顯而易見的證明從略呢？ 我們無法確知， 也許是因為它們對於他來說確實是顯而易見的， 也許是因為不想花太多時間來撰寫文章。 但有一點基本可以確定， 那就是他的 “證明從略” 絕不是類似於調皮學生矇混考試的做法， 而且很可能也並不是把錯誤證明當成正確的盲目樂觀——後者在數學史上不乏先例， 比如法國數學家費馬 (Pierre de Fermat) 在寫下費馬猜想時所表示的 “我發現了一個真正出色的證明， 可惜頁邊太窄寫不下來” 就基本已被數學界認定是把錯誤證明當成正確的盲目樂觀。 因為人們後來從黎曼的手稿中發現他對許多論文中從略了的證明是做過紮實研究的， 而且那些研究的水平之高， 甚至在隔了幾十年之後被整理出來時， 有時也仍具有極大的領先性。
但黎曼的論文在為數不少的 “證明從略” 之外， 卻引人注目地包含了一個他明確承認自己無法證明的命題， 那個命題就是黎曼猜想。
那麼， 黎曼猜想究竟是一個什麼猜想呢？ 簡單地說， 是一個關於我們前面提到的， 對素數分佈的細緻規律有著決定性影響的黎曼 ζ 函數的非平凡零點的猜想。 關於那些非平凡零點， 容易證明的結果只有一個， 那就是它們都分佈在一個帶狀區域上， 但黎曼認為它們的分佈要比這個容易證明的結果齊整得多， 他猜測它們全都位於該帶狀區域正中央的一條直線上， 這就是所謂的黎曼猜想。 而這條被猜測為包含黎曼 ζ 函數所有非平凡零點的直線則被稱為臨界線。
二
黎曼猜想自 1859 年 “誕生” 以來， 已經過了一百五十多個春秋。 在這期間， 它就像一座巍峨的山峰， 吸引了無數數學家前去攀登， 卻誰也沒能登頂。 當然， 如果僅從時間上比較的話， 黎曼猜想的這個紀錄跟費馬猜想時隔三個半世紀以上才被解決， 以及哥德巴赫猜想歷經兩個半世紀以上仍屹立不倒相比， 還差得很遠。 但黎曼猜想在數學上的重要性卻要遠遠超過這兩個大眾知名度更高的猜想。 有人統計過， 在當今數學文獻中已有超過一千條數學命題以黎曼猜想 (或其推廣形式) 的成立為前提。 這意味著： 如果黎曼猜想及其推廣形式被證明， 所有那些數學命題就全都可以榮升為定理； 反之， 如果黎曼猜想被否證， 則那些數學命題中起碼有一部分恐將成為陪葬。 一個數學猜想與為數如此眾多的數學命題的命運息息相關， 是極為罕有的。
不過， 數學家們攀登黎曼猜想這座巍峨山峰的努力雖迄今未能取得完全成功， 在這過程中卻也取得了一些階段性成果， 好比是紮下了幾座營寨。
這其中第一個階段性成果出現在黎曼猜想問世 37 年後的 1896 年。 我們在前面提到過， 關於黎曼 ζ 函數的非平凡零點， 容易證明的結果只有一個， 那就是它們都分佈在一個帶狀區域上。 那個階段性成果是什麼呢？ 就是將那個帶狀區域的邊界剔除掉了——也就是說， 黎曼 ζ 函數的非平凡零點只分布在那個帶狀區域的內部， 而不包括邊界。 這個成果是由法國數學家哈達瑪 (Jacques Hadamard) 與比利時數學家普森 (Charles de la Vallée-Poussin) 彼此獨立地取得的。
粗看起來， 這似乎是很微不足道的成果， 一個帶狀區域的邊界跟它的內部相比， 從面積上講比例實際上是零。 但是別小看了這個成果， 它對於研究黎曼猜想來說只是一小步， 對於研究另一個數學猜想來說卻是巨大的飛躍， 因為它直接導致了後者的證明。 那個數學猜想如今已被稱為素數定理 (prime number theorem)， 它所描述的是素數的大範圍分佈規律。 素數定理自被提出以來懸而未決已超過一百年， 在當時乃是一個比黎曼猜想更令數學界期待的東西。
在上述成果之後又隔了 18 年， 1914 年， 丹麥數學家玻爾 (Harald Bohr) 與德國數學家蘭道 (Edmund Landau) 取得了另一個階段性成果， 那就是證明了黎曼 ζ 函數的非平凡零點傾向於 “緊密團結” 在臨界線的周圍。 這個結果用數學語言來說， 就是包含臨界線的無論多麼窄的帶狀區域都包含了黎曼 ζ 函數的幾乎所有的非平凡零點。 不過 “緊密團結” 歸 “緊密團結”， 這一結果卻不足以證明任何一個零點恰好就在臨界線上， 因此它距離黎曼猜想的要求仍然相差很遠。
但就在那同一年， 另一個階段性成果出現了： 英國數學家哈代 (Godfrey Hardy) 終於將 “紅旗” 插上了臨界線——他證明了黎曼 ζ 函數有無窮多個非平凡零點位於臨界線上。 粗看起來， 這似乎是一個非同小可的結果， 因為黎曼 ζ 函數的非平凡零點總共就是無窮多個， 而哈代證明了有無窮多個零點位於臨界線上， 從字面上看， 兩者已經一模一樣了。 可惜的是， “無窮” 乃是數學中一個很微妙的概念， 同樣是無窮， 彼此卻未必是一回事， 不僅未必是一回事， 簡直可以要差多遠就差多遠， 甚至差無窮遠！ 因此， 為了知道哈代的結果離黎曼猜想的要求還有多遠， 我們需要更具體的結果。
那樣的具體結果出現在 7 年後的 1921 年。 那一年， 哈代與英國數學家李特伍德 (John Littlewood) 合作， 對自己 7 年前那個結果中的 “無窮” 做出了具體估計。 那麼， 按照他們的具體估計， 那已被證明為位於臨界線上的 “無窮多個非平凡零點” 跟全部非平凡零點相比， 究竟佔多大的百分比呢？ 答案可能沮喪得出乎讀者們的意料： 百分之零！
數學家們將這個百分比推進到一個大於零的數字是在 21 年後的 1942 年。 那一年， 挪威數學家賽爾伯格 (Atle Selberg) 終於證明了這個百分比大於零。 賽爾伯格做出這項成果時正值第二次世界大戰的硝煙在歐洲各地瀰漫， 他所在的挪威奧斯陸大學幾乎成了一座孤島， 連數學期刊都無法送達。 但賽爾伯格並不在乎， 他表示 “這就像處在一座監獄裡， 你與世隔絕了， 但你顯然有機會把注意力集中在自己的想法上， 而不會因其他人的所作所為而分心， 從這個意義上講我覺得那種情形對於我的研究來說有許多有利的方面”。 賽爾伯格很好地利用了那 “許多有利的方面”， 孤獨地進行著 “一個人的戰鬥”， 並最終取得了成果， 他的成果是如此顯著， 以至於玻爾在戰後曾戲稱說戰時整個歐洲的數學新聞可以歸結為一個詞， 那就是： 賽爾伯格。
不過賽爾伯格雖然證明了那個百分比大於零， 卻並沒有在論文中給出具體數值。 在賽爾伯格之後， 數學家們開始對這一比例的具體數值進行研究， 其中以美國數學家列文森 (Norman Levinson) 的成果最為顯著， 他證明了至少有 34% 的零點位於臨界線上。 列文森取得這一成果是在 1974 年， 那時他已年過花甲， 並且行將走到生命的盡頭 (他第二年就去世了)， 卻依然頑強地從事著數學研究。 在列文森之後， 這方面的推進變得十分緩慢， 幾位數學家費盡九牛二虎之力也只能在百分比的第二位數字上做文章， 其中包括中國數學家樓世拓與姚琦 (他們於 1980 年證明了至少有 35% 的零點位於臨界線上)。 直到 1989 年， 才有人撼動百分比的第一位數字： 美國數學家康瑞 (Brian Conrey) 證明了至少有 40% 的零點位於臨界線上。 這也是這方面——並且也是整個黎曼猜想研究中——最強的結果之一， 這方面的努力仍在繼續。
另外值得一提的是， “黎曼猜想” 這一金字招牌後來被推而廣之， 用來表示一些 “山寨版” 和 “豪華版” 的猜想。 那些猜想為什麼能跟黎曼猜想共享招牌呢？ 因為它們跟黎曼猜想有極大的相似性， 比如都有一個跟黎曼 ζ 函數相類似的函數， 那個函數具有與黎曼 ζ 函數相類似的性質， 等等。 在那些猜想中， “豪華版” 黎曼猜想乃是一些比黎曼猜想更強的猜想 (即上文提到過的黎曼猜想的推廣形式)， 它們跟黎曼猜想一樣， 迄今尚未得到證明 (這是顯然的， 否則的話黎曼猜想作為其特例也就被證明了)； “山寨版” 黎曼猜想則是跟黎曼猜想有相似性卻互不包含的猜想， 它們已全部得到了證明， 而且撇開我們所取不中聽的綽號不論， 它們的證明乃是數學上的重大成果， 既催生過新數學方法的誕生， 也為證明者摘取過數學界的最高獎——菲爾茨獎 (Fields medal)。 而且， “山寨版” 黎曼猜想作為唯一掛著黎曼猜想這一金字招牌卻被證明了的猜想， 曾使人們對久攻不下的黎曼猜想也一度樂觀起來。 可惜它山之石， 並不總是可以攻玉的。 從目前的情況來看， “山寨版” 黎曼猜想就只能在 “山寨” 裡玩玩， 它們的證明雖然重要， 對於解決真正的黎曼猜想卻並無實質性的啟示。
三
聊了這麼多關於黎曼猜想的研究成果， 我們稍稍換換口味， 來聊一些數學家的故事吧。 也許在很多人眼裡， 數學是一門很枯燥的學問， 數學家們則是一群性格乏味的怪人。 但實際上， 富有智慧的人往往是不會真正乏味的， 數學家們也是如此， 他們在埋頭演算的勤懇之外， 也給我們留下了許多獨特的幽默。
匈牙利數學家波利亞 (George Pólya) 曾經講過一個跟黎曼猜想有關的小故事， 故事的主角就是我們前面提到過的英國數學家哈代與丹麥數學家玻爾。 這兩位在黎曼猜想研究中作出過成果的數學家當然都對黎曼猜想懷有濃厚的興趣。 有一段時間， 哈代常常利用假期訪問玻爾， 一起討論黎曼猜想， 直到假期將盡才匆匆趕回英國。 結果有一次， 當哈代又必須匆匆趕回英國時， 很不幸地發現碼頭上只剩下一條小船可以乘坐了。 從丹麥到英國要跨越幾百公里寬的北海 (North Sea)， 在汪洋大海中乘坐小船可不是鬧著玩的事情， 弄不好就得葬身魚腹。 為了旅途的平安， 信奉上帝的乘客們大都忙著祈求上帝的保佑。 哈代卻是一個堅決不信上帝的人， 非但不信， 甚至還蓄意跟上帝作對： 把向大眾證明上帝不存在列入自己某一年的年度心願之一。 不過在那生死攸關的旅程面前哈代也沒閒著， 他給玻爾發去了一張簡短的明信片， 上面只寫了一句話： “我已經證明了黎曼猜想”。 哈代果真證明了黎曼猜想嗎？ 當然不是。 他為什麼要發這麼一張忽悠同事的明信片呢？ 當他平安抵達英國後他向玻爾解釋了原因。 他說如果那次他所乘坐的小船果真沉沒了的話， 那句話就會變得死無對證， 人們就只好相信他確實證明了黎曼猜想。 可是他知道上帝是絕不會甘心讓他這樣一個堅決不信上帝的人獲得如此巨大的榮譽的， 因此它一定不會讓小船沉沒的。
哈代憑藉自己的幽默成為了故事主角， 有些數學家則是因為其他數學家的幽默而被動地成為了故事主角， 我們前面提到過的法國數學家哈達瑪與比利時數學家普森就是如此。 這兩人成為主角的原因大家恐怕是猜不到的， 那是因為他們的長壽： 哈達瑪享年 98 歲， 普森活到 96 歲。 這兩個令人眼紅的歲數不知從何時起引發了一個傳說， 那就是： 誰要是能證明黎曼猜想， 他就能不朽——不是抽象意義上的不朽 (那是毫無疑問的)， 而是實際意義上的不朽 (即長生不老)！ 不過這個傳說的炮製者看來是沒有關懷到玻爾和蘭道， 他們的研究成果可比哈達瑪和普森的成果強多了， 照說起碼也該混個百歲老人噹噹吧。 結果呢？ 蘭道只活了 61 歲， 玻爾稍勝一籌， 也只有 63 歲。 可能是意識到這個傳說漏洞太大， 出生于波蘭的數學家歐德里茲科 (Andrew Odlyzko) 把幽默指向了另一個方向， 提出了一個完全相反的說法， 那就是： 誰要是否證了黎曼猜想， 他就會立刻死去！ 歐德里茲科甚至開玩笑說其實黎曼猜想已經被否證了， 只不過那個否證了黎曼猜想的倒黴蛋沒來得及發表論文就死去了。
當然， 這些都只能作為飯後茶餘的談資而不宜較真。 不過， 一個極度艱深的東西對投入得過於深入的人產生健康方面的影響， 倒並不是毫無可能的。 數學界也確實有人猜測， 黎曼猜想的極度艱深有可能對個別數學家的健康產生過影響。 比如流行傳記《美麗心靈》的主角、 美國數學家納什 (John Nash) 曾在 20 世紀 50 年代後期研究過黎曼猜想， 在那之後不久就患上了精神分裂症。 納什患病的原因一般認為是參與軍方工作引致的心理壓力， 但也有人認為他貿然去啃黎曼猜想那樣的堅果， 對其病症發展有可能起到過推波助瀾的作用。
黎曼猜想可以說是當今數學界最重要、 並且是數學家們最期待解決的數學猜想。 美國數學家蒙哥馬利 (Hugh Montgomery) 曾經表示， 如果有魔鬼答應讓數學家們用自己的靈魂來換取一個數學命題的證明， 多數數學家想要換取的將會是黎曼猜想的證明。 在探索黎曼猜想的過程中， 很多數學家曾經滿懷信心， 漸漸地卻被它的艱深所震動， 態度轉為了悲觀。 我們前面提到過的李特伍德就是一個例子， 當他還是學生的時候， 他的導師就隨手把黎曼 ζ 函數寫給了他， 讓他利用暑假時間研究其零點位置。 初出茅廬的李特伍德也不當回事地領命而去。 後來他與哈代倒也果真在這方面做出了成果。 但漸漸地， 他的態度發生了變化， 甚至表示： “假如我們能夠堅定地相信這個猜想是錯誤的， 日子會過得更舒適些”。 曾經在 “山寨版” 黎曼猜想研究上做出過成果的法國數學家韋伊 (André Weil) 也有過類似的態度轉變。 當他在 “山寨版” 黎曼猜想研究上做出成果時， 曾經與一些其他人一樣對解決黎曼猜想燃起了信心， 還表示如果自己證明了黎曼猜想， 會故意推遲到猜想提出 100 週年 (即 1959 年) 時才公佈——言下之意， 自己不遲於 1959 年就有可能解決黎曼猜想。 不過， 歲月漸漸磨去了他的樂觀， 他晚年時曾對一位友人承認， 自己有生之年不太可能看到黎曼猜想的解決。 就連本文開頭提到的那位德國數學大師希爾伯特， 他對黎曼猜想的看法也經歷了從樂觀到悲觀的轉變。 在 1919 年的一次演講中， 希爾伯特曾表示自己有望見到黎曼猜想的解決， 但後來他的態度顯著地轉為了悲觀。 據說有人曾經問他： 如果他能在 500 年後重返人間， 他最想問的問題是什麼？ 他回答說是： 是否已經有人解決了黎曼猜想？
接下來， 我們將介紹人們從另一個方向探索黎曼猜想的故事， 我們將會看到， 那裡不僅也有故事， 而且還有一些非常出人意料的東西。
四
黎曼那篇提出了黎曼猜想的著名論文除了有許多 “證明從略” 的地方外， 還有一個很突出的特點， 那就是它雖然反覆涉及了黎曼 ζ 函數的非平凡零點， 甚至還提出了與零點分佈有關的一系列命題 (包括大名鼎鼎的黎曼猜想)， 卻沒有舉出哪怕一個具體的例子——即沒有給出哪怕一個零點的數值。 而且與那些 “證明從略” 的地方並非容易證明同樣要命的是， 黎曼不曾給出的那些零點的數值也並非輕易就能計算得了的。 事實上， 直到黎曼那篇論文發表 44 年後的 1903 年， 才有人填補了這方面的空白： 丹麥數學家格蘭姆 (Gørgen Gram) 計算出了 15 個零點的數值。 這是人們首次窺視到黎曼 ζ 函數非平凡零點的具體存在。 當然， 那 15 個零點全都位於黎曼猜想所預言的臨界線上。
與我們在 第二節 中介紹的理論研究中的層層推進基本平行， 數學家們計算零點的漫長征途， 也呈現出了層層推進的態勢。 但這推進過程在起初一段時間裡卻顯得極為緩慢， 直到 1925 年， 才計算出了區區 138 個零點， 而且在那之後陷入了停頓。 為什麼會陷入停頓呢？ 原因很簡單， 就是當時計算零點的方法比較笨拙， 致使計算量過於巨大。 而當時的計算又全靠手工， 零點數目一多， 計算量就大到了令人難以應付的程度。
既然是計算方法的笨拙使計算陷入了停頓， 那麼很顯然地， 計算的重新啟動需要有新的計算方法。 這新的計算方法在 7 年後的 1932 年終於 “出土” 了——我沒有寫錯， 確實是 “出土”， 因為它是從早已去世了的黎曼的手稿中 “挖” 出來的！
黎曼那個時代的一些著名數學家有一個今天的數學家們很少效仿、 今天的讀者很難理解的特點， 那就是常常不發表自己的研究成果。 由於這個特點， 那些數學家的手稿有著比普通名人用品所具有的單純的獵奇價值重要得多的意義， 因為從中有可能發現一些他們未曾發表過的研究成果。 黎曼的手稿就是如此。 不過令人惋惜的是， 黎曼的手稿在他去世後有很大一部分被他的管家付之了一炬， 只有一小部分被他妻子搶救了出來。 在劫後餘生的手稿中， 又有一部分被他妻子以涉及私人信息為由 “剋扣” 掉了 (其中包括許多幾乎通篇都是數學， 只夾帶了極少量私人信息的手稿)， 剩下的才是後人真正可以查閱的。 那些可供查閱的手稿被收錄於哥廷根大學的圖書館。
不過， 那部分手稿雖然可供查閱， 但只要想想黎曼公開發表的文章尚且如此艱深， 動輒花費後世數學家幾十年的時間才能填補空白， 就不難想象研讀他的手稿會是什麼感覺了。 黎曼的研究領域極為寬廣， 手稿中常常諸般論題混雜， 而且幾乎沒有半句說明。 自黎曼的手稿被存放於哥廷根大學圖書館以來， 陸續有一些數學家及數學史學家慕名前去研究， 但在那極度的艱深晦澀面前， 大都滿懷希望而來， 卻兩手空空而去。 黎曼的手稿就像一本高明的密碼本， 牢牢守護著這位偉大數學家的思維奧秘。
但到了 1932 年， 終於有一位數學家從黎曼的手稿中獲得了重大發現——發現黎曼不僅親自計算過若干個零點的數值， 而且還有自己獨特的、 直到 “出土” 之日仍遙遙領先於當時數學界的計算方法。 這一發現為黎曼 ζ 函數非平凡零點的計算帶來了脫胎換骨般的變化， 讓停滯在第 138 個零點上的計算重新啟動。 當然， 這一發現也進一步提高了黎曼那原本就已極為崇高的聲望， 在很大程度上驅散了一些數學家對黎曼論文中那些 “證明從略” 部分的懷疑。 因為它表明黎曼那篇高度簡練的論文只是冰山的尖頂， 在那下面有著大量紮實的研究。 那麼， 發現這一切的人是誰呢？ 是黎曼的一位同胞： 德國數學家西格爾 (Carl Ludwig Siegel)。 為了從天書般的黎曼手稿中 “出土” 公式， 西格爾付出了艱辛的努力。 為了表彰他的努力， 人們將這一計算黎曼 ζ 函數非平凡零點的新方法稱為了黎曼-西格爾公式 (Riemann–Siegel formula)。
黎曼-西格爾公式的 “出土” 大大推進了零點計算。 在短短几年間， 數學家們就把零點計算推進了一個數量級， 達到了 1000 個以上的零點。 雖然隨後爆發的第二次世界大戰中斷了零點計算， 但戰後計算機技術的發展， 又使得零點計算呈現出了井噴勢頭： 從 1956 年到 1969 年的十幾年間， 被計算出的零點數目又推進了好幾個數量級， 從 25,000 個推進到了 3,500,000 (350 萬) 個。 當然， 所有這些零點也都無一例外地位於黎曼猜想所預言的臨界線上。 說到這裡順便提醒讀者一下， 我們這裡及下文所說的零點計算除早期那些小規模的計算外， 大都只是驗證零點是否在臨界線上， 而並不計算它們的具體數值。
驗證了 350 萬個零點全部位於臨界線上， 無疑大大增強了數學家們對黎曼猜想的信心。 不過， 不相信的也還是大有人在。 比如德國普朗克數學研究所 (Max Planck Institute for Mathematics) 的一位名叫查基爾 (Don Zagier) 的數學家對這種驗證就不以為然。 在他看來， 區區 350 萬個零點根本不說明問題。 他的這種不以為然很快遇到了對手： 一位對黎曼猜想深信不疑的鐵桿 “粉絲”。 這位 “粉絲” 名叫蓬皮埃利 (Enrico Bombieri)， 是著名的意大利數學家。 兩人一個疑心重重、 一個深信不疑， 誰也不服誰。 怎麼辦呢？ 查基爾提議打賭。 說起來， 其實查基爾對黎曼猜想倒也並非全然不信， 而且也並非一味輕視對零點的數值計算， 他只是覺得 350 萬個零點實在太少了， 不足以讓他信服。 那麼， 要計算多少個零點才能讓他信服呢？ 他開出的數目是 3 億。 於是兩人就以這個數目為限訂下了賭約： 如果黎曼猜想在前 3 億個零點中出現反例， 就算查基爾獲勝； 反之， 如果黎曼猜想被證明， 或者雖然沒被證明， 但在前 3 億個零點中沒有出現反例， 則算蓬皮埃利獲勝。 賭注為兩瓶葡萄酒。
初看起來， 相對於已經計算出的 350 萬個零點來說， 查基爾的 3 億個零點簡直就是 “獅子大開口”， 查基爾自己也估計這個賭局也許要花上 30 年的時間才能分出勝負。 可是他顯然跟那個時代的多數其他人一樣， 大大低估了計算機技術的發展速度。 事實上， 離賭局的設立還不到 10 年， 1979 年， 零點計算就被推進到了 8,100 萬個。 不久之後， 又被推進到了兩億個， 距離賭局的終結只剩下了一步之遙， 而形勢則對查基爾極為不利——因為那兩億個零點全都位於臨界線上。
不過， 計算出那兩億個零點的數學家對查基爾的賭局一無所知， 在計算完兩億個零點後就停了下來， 這一點讓查基爾大大地鬆了一口氣。 可惜， 他這口氣沒能松太久， 因為他的一位朋友恰好訪問了那位數學家， 不僅將賭局之事告訴了後者， 還進行了一番鼓動。 後者一聽零點計算還有這麼重大的意義， 就立刻展開了新的計算， 一鼓作氣推進到了 3 億個零點——當然， 黎曼猜想巋然不動。
查基爾輸了， 他兌現諾言買來了兩瓶葡萄酒。 蓬皮埃利當場打開其中一瓶與他共飲。 他們喝掉的這瓶葡萄酒用查基爾的話說， 是世界上被喝掉的最昂貴的葡萄酒， 因為正是為了以它為賭注的那個賭局， 數學家們特意多計算了一億個零點， 為此花費了約 70 萬美元的計算經費。 也就是說， 被他們喝掉的這瓶葡萄酒是用 35 萬美元的經費換來的！ 喝完了這瓶葡萄酒， 查基爾從此也對黎曼猜想深信不疑了。
在查基爾和蓬皮埃利的賭局之後， 像查基爾那樣看重零點計算、 以此決定自己對黎曼猜想信任度的數學家越來越少了； 像驗證 3 億個零點那樣願意把鉅額經費投入到零點計算中的人也越來越少了。 不過對零點的計算並沒有就此終止。 2001 年， 一位名叫魏德涅夫斯基 (Sebastian Wedeniwski) 的德國研究者創立了一種嶄新的計算模式： 分佈式計算， 即利用彼此聯網的許多臺計算機來共同計算零點。 這個分佈式計算系統建成之後， 不久就被推向了互聯網， 吸引了世界各地大量數學和計算機愛好者的參與， 聯網計算機的數目很快就穩定在了 10,000 臺以上， 每天計算出的零點數目在 10 億以上。 至於經費， 則基本可以忽略不計， 因為參與者都是自願而無償地貢獻出自己的計算資源的。
到了 2004 年末時， 魏德涅夫斯基的分佈式計算系統所計算出的零點總數逼近了一個激動人心的數目： 一萬億。 眼看著一次輝煌慶典已指日可待， 不料卻從法國傳來了一個令人吃驚的消息： 兩位法國人完成了對 10 萬億個零點的計算， 比他們翹首期待的一萬億高出了整整一個數量級！ 更令人吃驚的是， 這兩位法國人完成這一工作所用的計算資源居然只是幾臺普通的計算機， 所花費的時間也只有一年多。 此時此刻， 這樣的一則消息對於魏德涅夫斯基來說無疑是當頭一棒， 結果慶典變成了謝幕， 魏德涅夫斯基在不久之後關閉了整個系統。 此情此景， 猶如九十多年前英國探險家斯科特 (Robert Falcon Scott) 挺進南極的經歷： 當他們歷經艱辛、 即將抵達南極點時， 卻發現挪威探險家阿蒙森 (Roald Amundsen) 已經捷足先登 (斯科特及同伴後來在黯然返回的途中全部遇難)。
兩位法國人憑藉幾臺普通計算機一年多的工作， 居然超過了全世界上萬臺聯網計算機幾年的工作， 而且超過了整整一個數量級， 這是什麼緣故呢？ 是因為他們採用了一種比黎曼-西格爾公式更高明的計算方法。 這一計算方法是出生于波蘭的數學家歐德里茲科 (Andrew Odlyzko) 與合作者肖恩哈格 (Arnold Schönhage) 於 1988 年所提出的。
五
歐德里茲科為什麼會研究零點計算的算法呢？ 這也牽扯到一段故事， 而且是很有意思的故事。 當然， 表面上的原因是跟所有其它從事零點計算的人一樣的， 那就是因為他對零點計算很感興趣。 不過， 他那興趣的由來跟其他人有所不同， 其他人的興趣大都來自於對黎曼猜想本身的興趣， 他卻是因為聽了美國數學家蒙哥馬利 (Hugh Montgomery) 的一個並非直接針對黎曼猜想的研究報告， 才從事零點計算， 並研究零點計算的算法的。 蒙哥馬利那個報告所介紹的是一項很獨特的研究， 即研究黎曼 ζ 函數非平凡零點在臨界線上的分佈規律。 他的研究表明， 在適當的假設——其中包括假設黎曼猜想成立——下， 可以證明黎曼 ζ 函數的非平凡零點在臨界線上的分佈呈現出一種相互排斥的趨勢 (即傾向於彼此遠離)， 這個趨勢可以用一個不太複雜的數學公式來描述。
蒙哥馬利自 20 世紀 70 年代初就開始研究黎曼 ζ 函數非平凡零點在臨界線上的分佈規律了。 他發現了規律， 並且因為那規律不太複雜而直覺地感到在其背後應該蘊含著某種玄機。 為了揭開那玄機， 他特意訪問了普林斯頓高等研究院。 在那裡， 他 “覲見” 了黎曼猜想研究的元老賽爾伯格。 可惜就連賽爾伯格也看不透那規律背後的玄機。 不過， 在高等研究院那樣一個名家雲集的地方， 隨時都有可能出現意想不到的學術交流。 蒙哥馬利在最有希望得到信息的賽爾伯格那裡不曾得到有價值的信息， 卻在高等研究院的茶室裡偶遇了一位物理學家。 那位物理學家名叫戴森 (Freeman Dyson)， 是一位研究領域很寬廣的人物， 當他在和蒙哥馬利的攀談中獲知後者所發現的這個零點在臨界線上的分佈規律時， 登時就吃了一驚。 因為他想起了自己十多年前的一系列研究。 那些研究跟黎曼 ζ 函數的非平凡零點沒有半點關係， 但在那些研究中， 他卻得到過同樣的分佈規律！
戴森十多年前所研究的是什麼呢？ 是從一些極為複雜的物理體系——比如複雜原子核——中抽象出來的問題。 處理那種問題所用的是一類特殊的統計物理手段， 而其中一個典型的課題則是研究複雜體系中能量的分佈——物理學家們稱之為能級分佈。 戴森曾經得到過那種分佈的具體形式， 它除了可以描述能級外， 還出現在了許多其它複雜的物理現象中。 而現在， 從蒙哥馬利所從事的純數學研究中， 他居然再次見到了同樣的分佈， 這實在是大大出乎他意料的事情。
幾年之後， 蒙哥馬利再次來到普林斯頓， 並作了一次研究報告——即歐德里茲科所聽到的報告。 在報告中， 他除了介紹自己的研究外， 還提到了他和戴森所發現的這種數學與物理之間的奇怪聯繫。 這一切引起了歐德里茲科的濃厚興趣， 使他決定通過大規模零點計算來驗證蒙哥馬利所發現的零點在臨界線上的分佈規律。 從 20 世紀 80 年代末到 90 年代初， 歐德里茲科利用他和合作者肖恩哈格所提出的新算法， 完成了幾批大規模的零點計算， 結果非常漂亮的證實了蒙哥馬利所提出的零點在臨界線上的分佈規律。 考慮到蒙哥馬利的結果是在假設黎曼猜想成立的基礎上得到的， 因此這種證實也可以在一定程度上被視為是對黎曼猜想的間接支持。
不過， 所有這些都沒有解決一個最根本的問題， 那就是像黎曼 ζ 函數非平凡零點在臨界線上的分佈這樣最純粹的數學性質， 為什麼會跟像複雜原子核的能級分佈那樣最現實的物理現象扯上關係？ 這種神奇的關聯本身又預示著什麼呢？ 這兩個問題直到今天也沒有完全的答案。 但有意思的是， 在半個多世紀前， 卻有兩位數學家曾經提出過一個猜想——一個與蒙哥馬利、 戴森、 歐德里茲科所發現並證實的這種數學與物理間近乎離奇的聯繫遙相呼應的猜想。 那兩位數學家的名字我們在前文中曾經提到過， 一位是希爾伯特， 一位是波利亞， 那個猜想則被稱為希爾伯特-波利亞猜想， 它是對黎曼 ζ 函數非平凡零點分佈的猜測， 其中赫然包括了猜測它們與某個物理體系的能級相對應的可能性！
不過這個希爾伯特-波利亞猜想本身也頗有一些離奇的地方， 因為當人們因蒙哥馬利、 戴森、 歐德里茲科的研究而對它發生興趣， 試圖追溯它的起源時， 卻驚訝地發現無論希爾伯特還是波利亞， 居然都不曾在任何文字之中述及過這個猜想。 難道這個猜想根本就是子虛烏有的傳說？ 幸運的是， 94 歲高齡的當事人波利亞那時仍健在， 他在一封信件中以個人回憶的方式肯定了這一猜想的存在性。 但早已去世的希爾伯特在什麼場合下提出過這一猜想， 卻很可能將成為數學史上一個永久的謎團了。
六
介紹了這許多有關黎曼猜想的研究， 有一個問題想必很多讀者都會關心， 那就是黎曼猜想的終極命運將會如何？ 它是會被證明呢？ 還是會被推翻 (否證)？ 對於這個有關黎曼猜想 “前途命運” 的大懸念， 數學家們各有各的看法。
有些數學家相信黎曼猜想是對的， 比如那位輸掉了葡萄酒的查基爾自賭局告負之後就對黎曼猜想深信不疑。 他相信黎曼猜想的理由很 “純樸”， 那就是數值證據已經夠強了。 讀者們想必還記得， 他當時要求的數值證據是 3 億個零點， 現在的證據已經超過了 10 萬億， 遠遠超出了他的要求。 因此， 他的相信是有理由的。 不過， 由於零點有無窮多個， 實際上再多的數值證據也是微不足道的。 而且在數學上有過這樣的例子， 即一個被否證了的數學命題的數值反例出現在極遙遠的地方， 遠遠超出數值證據所能觸及的範圍。 黎曼猜想會不會也是如此呢？ 誰也說不準。 當然， 支持黎曼猜想的證據不僅僅來自數值計算， 還有我們介紹過的大量其它研究， 其中包括至少有 40% 的非平凡零點位於臨界線上那樣頗為可觀的結果。 相信黎曼猜想的數學家們也可以從那些方面獲得信心。
有些數學家則認為黎曼猜想是錯的。 面對黎曼猜想所得到的如此海量的支持， 選擇那樣的立場當然是要理由的。 這其中一條打不倒的理由就是： 所有支持都不是證明。 確實， 對於像黎曼猜想這樣的數學命題來說， 要想證明它成立， 必須 “一個都不能少” 地涵蓋所有的零點， 缺一丁點兒都不行。 但反過來， 要想推翻它， 卻只要找到一個反例——即一個不在臨界線上的非平凡零點——就足夠了， 這種繁簡程度上的不對稱對於懷疑黎曼猜想的數學家們是十分有利的。
除上述兩種截然相對的態度外， 黎曼猜想的長期懸而未決還使一些人聯想到了所謂的哥德爾不完全性定理 (Gödel's incompleteness theorem)， 認為黎曼猜想有可能是一個不能被判定——即既不能被證明， 也不能被否證——的命題。 據說哥德爾 (Kurt Gödel) 本人就有過這樣的看法。 不過， 黎曼猜想假如不成立， 在原則上是可以用明確的步驟， 通過數值計算找到它的反例， 從而證明其不成立的。 從這個意義上講， 黎曼猜想假如不成立， 它是可以被判定為不成立的， 而它如果不能被判定， 實際上是表明它成立。
好了， 以上就是對黎曼猜想的簡單介紹。 這一介紹因為略去了數學細節而看上去更像是一串故事。 但實際上， 黎曼猜想是一個極為艱深的課題， 如果哪位讀者想要啃一啃這個猜想， 首先要有紮實的數學功底， 否則非但啃不動， 還很可能會崩掉牙齒——可別怪我沒提醒哦。
來自盧昌海
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