在今天充滿著2的歲月日子裡，也有著和2無緣的事物，那就是AD9833 。它所產生的12.5MHz的信號中，居然沒有所有的偶次（2的整數倍數）諧波。
AD9833及其實驗電路
AD9833是一款AnalogDevices公司的可編程信號低功耗發生器芯片。工作電壓2.3~5.5V。在外部25MHz時鐘信號驅動下可以產生0.1Hz~12.5MHz的正弦波、三角波以及方波。被應用於工業氣體、液體流量測量、位置和移動檢測、導線阻抗和缺損檢測等等。
它內部具有一個28bit的相位累加器，在每一次時鐘脈衝下累加器就增加一個固定的相位數值，當累加器數值溢出之後就從頭開始新的一個週期。增加的固定數值是由內部頻率設置寄存器確定。該數值越大，累加器溢出的週期就越短，對應的頻率就越高。
為了輸出正弦波，在芯片內部保存有一個4096個存儲數據的ROM，它是對正弦波一個週期的均勻採樣，採樣精度為10bit。
相位累加器的高12位當做地址訪問波形ROM，得到的數值由後級10bit的DAC轉換成模擬電壓輸出正弦波形。
AD9833內部結構框圖
AD9833輸出正弦模擬信號波實際上相對於對正弦波進行等間距離散採樣，然後在DA輸出，即零階保持輸出，其中會因為時間上的離散採樣和幅度上的數字量化誤差最終會影響到輸出信號的波形。
根據前面AD9833頻率設置公式（1），輸出正弦波形在一個週期內的採用點數等於AD9833工作頻率除以輸出信號的頻率。比如在25MHz的工作時鐘下，輸出1MHz的正弦信號。正弦信號一個週期的波形是由25個等間距數據採樣點組成。因此，當輸出頻率越高，合成正弦波就會由越少的點組成，所造成的波形失真就會超過幅度的量化誤差（10bit量化誤差）。
由於時間離散化造成波形失真
雖說數據手冊上說AD9833能夠在外部25Mhz的主時鐘的驅動下，最高產生12.5Mhz的波形，但如果頻率太高了，所產生的正弦波形的失真就很嚴重了。
下面是實際測量AD9833所產生的信號波形。其中AD9833外部的主時鐘的頻率為25Mhz。
實驗電路板AD9833
首先使用AD9833產生一個1MHz的正弦波信號，下面是採集到的波形。整體上波形外觀與正弦信號非常接近。它每個週期是由25個正弦波採樣點通過零階保持合成正弦波形，仔細觀察還是能夠看到這些小的臺階。
AD9833產生的1MHz的正弦波形
除了通過時域波形之外，正弦波的失真還可以通過它的諧波分量的多少來衡量。有DSA815頻譜儀測量上述信號的頻譜。可以看到除了1MHz基波之外，其它的高次諧波分量相對都比基波幅值低了40dB。看來效果還是不錯的。
AD9833產生的1MHz頻譜
可以對比一下使用價格昂貴的數字信號發生器DS345所產生的正弦波的情況。
DS348數字信號發生器
下面是DS345產生的1MHz信號的波形。與前面AD9833波形相比，它沒有明顯的時間離散採樣的臺階，但波形在示波器上存在著幅值上的抖動。
DS345產生的1MHz信號時域波形
使用同樣的DSA815獲得該波形的頻譜如下。可以看到除了5MHz的基波頻率之外，二次諧波（10MHz）的頻譜比較明顯。
由於二次諧波的存在使得示波器採集到的波形出現了略微的抖動。
DS345產生的1MHz信號的頻譜
從前面對比AD9833單芯片信號發生器和價格昂貴的DS348所產生的1MHz正弦波來看，它們之間沒有太明顯的差異，不分伯仲。從波形上AD9833稍微有些離散的臺階，但從頻譜上，DS348所產生的信號2次諧波失真較大。
下圖是將它們的頻譜圖放置在一起對比，可以看到它們之間的差異。
對比DS345和AD9833產生1MHz正弦信號的頻譜
對於頻率低於1MHz的正弦信號，AD9833所產生的信號質量與數字信號發生器所得到的信號還是差不多的。
當產生的信號頻率繼續增加時，它們之間的差別就體現出來了。AD9833所產生的正弦波就會因為時間離散採樣使得波形失真逐步增加。
下面是AD9833所產生的5MHz的正弦波波形。
AD9833產生的5MHz正弦波波形
此時，每個週期的正弦波，AD9833使用5個採樣值進行零件保持合成。上面的波形可以看出有明顯的臺階。
由於是在麵包板上觀察的波形，存在較多的分散電容。示波器探頭也沒有很好就近接地，所以示波器顯示的波形與實際波形之間存在較大的失真。
使用DSA815測量上面波形的頻譜。可以看到除了5MHz的基波之外，還有比較明顯的20,30,45,55,70,80MHz等諧波分量。至於為什麼只有這些諧波，而其它的諧波分量（10,15,25,35，.....）都不存在，後面進行討論。
AD9833產生5MHz信號的頻譜
對比數字發生器DS345產生5MHz正弦波，它們之間的差異就非常突出了。下面是DS345給出的波形，依舊非常漂亮。
DS345產生的5MHz正弦波形
DSA815給出的DS345的5MHz正弦信號的頻譜如下圖所示。除了比較強的5MHz基波之外，只包括有較弱的10,15MHz的諧波分量。
DS345產生的5MHz的頻譜
下圖是AD9833產生的從1MHz到12.5MHz正弦信號波形。隨著頻率增加，AD9833給出的信號越來也像一坨狗屎，令人不堪直視。
不過想想它也僅僅是一個價格低廉的信號，在高頻上的表現也會令人同情和理解。
AD9833產生從1MHz到12.5MHz的波形
下面是AD9833給出的12.5MHz的波形，每個週期僅僅是由兩個數據點組成。本質上講應該是一個對稱的方波信號。由於示波器觀察通道阻抗不匹配，波形出現了失真，接近於有RC濾波後的信號模樣。
AD9833給出的12.5MHz信號波形
由於12.5MHz的信號是由正弦波一個週期內的兩個採樣點組成，那麼當這兩個採樣點正好處於正弦波的峰值和谷底（相位為90°，270°）時，產生的方波複製最大。如果當這兩個採樣點正好處於相位0°，180°，位於正弦波過零點，此時輸出的波形幅值就是零。
因此，當設置AD9833頻率為12.5MHz的時候，有可能因為採樣點的相位不同，使得輸出信號的幅值出現不同。
下面顯示上述信號頻譜的分佈。除了基波12.5MHz之外，主要的諧波是3次諧波（37.5MHz），5次諧波（62.5MHz），7次諧波（87.5MHz）。而所有的偶次諧波（25MHz，50MHz，75MHz）的幅值都很非常。
AD9833產生的12.5MHz信號的頻譜
為什麼上述信號只有奇次諧波，沒有偶次諧波？
下面又重新給出了AD9833所產生的5MHz信號的頻譜。它的諧波分佈也具有某種關係，只有20,30,45,55,70,80MHz等。
AD9833所產生高頻信號諧波存在的規律可以由信號的採樣與恢復定理進行完美解釋，這部分內容將會在下學期“信號與系統”課程第四章包括。
AD9833產生的5MHz信號頻譜
根據現在的新型冠狀病毒疫情的影響，學校已經通知學生延期返校。佈置所有的教學工作通過“雨課堂”網絡平臺來實施。
信號與系統講到第四章的時候，應該快到五一節了。也許那個時候同學們就可以回到學校，在教室裡面對面討論這個問題了。
閱讀更多 TsinghuaZhuoqing 的文章
