沒有學會走路就想跑是學習的大忌

有些學過的小朋友脫口而出：標數法。確實，標數法是解決這一問題的利器。但當我讓他們不用標數而去枚舉時，有些就枚舉不全了。

在這裡，我想闡明一個觀點：沒有學會走路就想跑是學習的大忌，容易摔跤！

就以這個例子為例，我們先來看看走路和跑步分別是怎麼解決問題的。

方法一：枚舉

很多人學了高級的技巧後覺得枚舉太低端，這其實不對。從枚舉的過程中去有所發現，然後去挖掘更便捷的做法，這一過程才是至關重要的。

很多登山的捷徑也是在登山的過程中被發現的。

回到這個問題，枚舉並不容易，需要有非常強的有序思維能力。如果你覺得我誇張了，那不妨設想一下給你的是10×10的格子。

從A到C，我們可以向右走和向下走。我們可以規定一個規則，比如能向右就向右，不能向右再向下。如果沒有一個規則的指引，並嚴格按照這個規則行事，那很容易就會遺漏或重複。

有了這個以後，我們可以進行如下枚舉：

右右右下下下

右右下右下下

右右下下右下

右右下下下右

右下右右下下

右下右下右下

右下右下下右

右下下右右下

右下下右下右

右下下下右右

這樣，一開始朝右走的有10種。在這個問題裡，開始朝右和開始朝下是對稱的。在枚舉的過程中，我們要善於發現問題本身所具有的對稱性，充分利用對稱性來簡化枚舉過程。在這個問題裡，一開始朝下走的也是10種，因此一共有20種方法。

方法二：映射

如果說用右、下還容易搞錯，那不妨分別用1和2來代表右和下，那麼上面的一個走法就對應了一個用1和2組成的六位數，這樣按照數從小到大排列，就可以降低出錯的可能性，如下：

111222

112122

112212

112221

121122

121212

121221

122112

122121

122211

同樣基於對稱性，我們知道2開頭的也有10個，因此一共有20個。這種做法實際上對第一種方法做了一點抽象，從而讓我們可以利用數的大小和字典序來幫助我們捋清順序關係。

方法三：組合法

在上面的過程中，如果進一步觀察，就會發現實際上這些6位數都有一個相同的特點，就是1和2分別有3個。那如果我任意選擇3位放上1，剩下3位放上2，那麼就等價於在3個1的位置向右走，而在3個2的位置向下走。反過來，任何一種走法都對應了這麼一種組合。因此我們的問題就轉化為：

在6個位置中任意選3個，有多少種選法？

學過排列組合的就知道，選法數有：6×5×4÷(3×2×1)=20種。這個做法，是不是有點在登山中發現捷徑的味道呢？

方法四：標數法

所謂標數法，是一種“術”， 實則是逆向思維與加法原理的運用。我們不僅僅要掌握解決問題的“術”，更要理解解法背後的“道”。