星宇飄零2099
確實，圓周率的數值在不同曲率的彎曲空間中是不一樣的。在歐幾里得幾何中，也就是在平直空間中，圓的周長與直徑之比是恆定的常數——圓周率π，這是一個無理數，為3.1415926…。但在非歐幾何中，圓周率就不是一個常數。
非歐幾何中的圓周率
根據愛因斯坦的廣義相對論，我們並非生活在歐氏空間中。由於空間中存在物質和能量，這會引發空間彎曲。質量密度越高的物體，所造成的空間彎曲程度越大，表現出的引力越強。
在彎曲的空間中，我們可以把圓的直徑定義為連接圓上兩點的最大測地線距離。取圓的周長與直徑之比，結果不為歐氏幾何中的π，而且也不是一個常數，與空間曲率有關。
根據黎曼幾何，如果在曲率為正的空間中，例如，閉合的球體，圓周率會小於π，並且曲率越大，圓周率越小。另一方面，如果在曲率為負的空間中，例如，開放的馬鞍面或者雙曲面，圓周率會大於π。
事實上，還有比上述複雜得多的幾何學，圓周率取決於圓在空間中的方向。正因為如此，曲率是由張量來衡量的，而不是一個簡單的數字標量。在廣義相對論中，表示曲率的是裡奇張量。在平直時空中，裡奇曲率張量等於0。
既然圓周率與曲率有關，那麼，引力場方程中的π是常數嗎？該如何取值？
如前所述，在彎曲空間中，圓的周長和直徑之比並非一個常數。如果要定義這種圓周率的符號，顯然需要引入一個張量符號，而不是像π這樣的標量符號。
事實上，引力場方程中的π就是數學中歐氏幾何的π，是一個完全確定的常數。在計算時，只要代入3.1415926…即可，無需考慮曲率，因為這裡的π不是因為空間曲率而引入的。
那麼，引力場方程中為什麼會出現π呢？
從數學上可以證明，在弱場的情況下，上述的引力場方程可以退化成牛頓引力方程。牛頓的萬有引力定律公式如下：
根據高斯定律，牛頓引力方程的泊松方程如下：
為了讓引力場方程的弱場近似與萬有引力定律的形式保持一致，需要把愛因斯坦引力常數κ（愛因斯坦張量與應力-能量張量的比值）定義為如下的形式：
這樣，可以讓引力場方程在弱場的情況下直接轉變為萬有引力定律，兩種引力理論中的萬有引力常數G都是通用的。
當然，也可以重新定義常數G，讓比例係數κ中的π消失。只是這樣做，會使得引力場方程和萬有引力定律的轉換需要繞個彎子，導致兩者之間的聯繫沒有那麼直接和明確。
由於弱場極限滿足高斯定律，而這會涉及到球的面積，所以必然會引入π。其實牛頓引力方程可以寫成這樣F=G'Mm/(4πr^2)，其中G'=4πG。
總結
π的存在是為了讓引力場方程在弱場下變成牛頓引力方程的形式F=GMm/r^2。如果不這樣，愛因斯坦場方程經過弱場近似處理之後，得到的牛頓引力方程的分母中會出現π，不是我們所熟悉的形式，這樣還需要重新定義G。
火星一號
題主所說的問題其實是表面現象。
空間的曲率半徑決定空間的曲率圓，無論在什麼空間中，都是圓的周長與直徑的比值，因此圓周率在不同的幾何中數值是恆定的。
所謂的非歐幾何與歐幾里德幾何的區別，就在平行公設的不同。平行線公理與三角形的三內角之和等於圓周率是等價命題，因此三種幾何的平行公設分別如下：
歐幾里德幾何的平行公設：三角形三內角之和等於180度。
羅巴切夫斯基幾何的平行公設：三角形三內角之和小於180度。
黎曼幾何的平行公設：三角形的三內角之和大於180度。
按照羅巴切夫斯基的平行公設，空間形式是歐幾里德空間的雙曲面；按照黎曼幾何的平行公設，空間形式是歐幾里德空間的橢圓面。
因此，羅巴切夫斯基幾何與黎曼幾何中不存在歐幾里德幾何中的直線，羅巴切夫斯基幾何與黎曼幾何中的直線都是歐幾里德幾何中的射影曲線，由三條射影曲線構成的三角形的三內角之和自然不等於180度。
但是，在三種幾何學中，曲率半徑的射影形式相同，都為歐幾里德空間中的直線。曲率半徑決定的曲率圓也具有相同的射影形式，都為歐幾里德空間的平面圓。
由此可以得出：羅巴切夫斯基幾何與黎曼幾何，最終都是以歐幾里德幾何為基礎的；如果歐幾里德幾何中的圓不成立，那麼非歐幾何中的圓也不成立。因此，圓周率是適用三種幾何學的共同常數，也是三種幾何學在射影形式下統一的基礎。
無論是愛因斯坦還是黎曼，都不可能憑空捏造出不同於歐幾里德圓的圓周率來；無論他們如何不喜歡歐幾里德幾何，也不能不以歐幾里德幾何為基礎建立自己的曲面幾何。
非歐幾何的尷尬就在於，無法消除曲率半徑這一歐幾里德幾何中的直線，因此也無法消除曲率圓與歐幾里德圓的共同射影形式。因此，當面對無窮大與無窮小時，非歐幾何立刻被打回原形，都統一在了歐幾里德空間裡。
愛因斯坦也一樣，當引力場方程在充分小的空間展開時，也被打回了原形，最終不能不回到牛頓的萬有引力定律去。當空間為無窮大時，引力場方程也一樣，變成了牛頓的萬有引力定律。
所謂的廣義相對論，不過是黎曼曲面空間裡的引力神話罷了！
經濟相對論580
試著發言下：首先，計算公式是否相同呢？不是物理專業，數學專業的。如果定義的計算公式相同，最後數值不同，需要分析誤差產生原因，一種是系統誤差，如果系統誤差無法消除，個人認為必然是忽略了某個或某些變量的影響。歐氏幾何和非歐幾何是不同的數學模型，我個人理解為正交座標系與非正交座標系的區別。或者正交平面座標系與非正交曲面座標系的區別，在射影角度下，結果應該是一置的，應該分析產生誤差的原因。
