蝸牛田
如果你有了解到克萊因瓶到底是什麼，你就不會發出我們市面上的克萊因瓶是不是真的這樣的疑問了，因為真正的克萊因瓶是存在於四維空間之中的，在三維空間中根本就不可能製造出來的。
克萊因瓶在市面上的確是可以買到的，但是如果你有買過克萊因瓶，你就會發現它的上面都開了一個令人很不舒服的洞，這個洞不大，不拿跟前根本就看不見，但是如果沒有這個洞，這個瓶子就造不出來，但是有了這個洞，它就不是克萊因瓶了。克萊因瓶是莫比烏斯環的升級品，莫比烏斯環相信不少朋友都有聽說過吧，就是把一張長方形的紙條的一頭彎折180°然後再跟另一頭粘上，它就是一個環了，而這個環的奇特之處在於如果沿著紙面走的話，你可以沿著一條路線就把原來位於兩個面內的紙面走完，而這個環，也就沒有了內外之分。
同樣的，克萊因瓶也是這樣的一種瓶子，它可以說是莫比烏斯環的三維升級版本，它也是一個內外不分的瓶子，當然這個瓶子還是三維物體，但是正如我們想要將二維的紙面製造為莫比烏斯環需要在三維空間操作一樣，製造克萊因瓶也需要在比三維空間更高維度的空間操作才行，比如說四維空間，所以你知道為啥克萊因瓶製造不出來了吧，因為我們生活的世界時三維世界，三維世界是無法制造出克萊因瓶的，除非是在四維空間，否則就無法操作。
正因為我們沒有多出來的這一個維度的空間，所以我們也無法使三維的物體扭轉一下然後像莫比烏斯環一樣首尾相連。人類是善於思考的高級智慧生物，而正是因為人類總是在不懈思考大自然的奧秘，我們才能夠更多的窺探宇宙的真理，“如果能擁有一個沒有正反的平面，那麼人類為什麼不可以擁有一個沒有內外之分的三維立體呢？”這是克萊因用克萊因瓶給人類提出的一個空間思考問題。
仔細看克萊因瓶你會發現，它的瓶頸和瓶身是相交的，但是在四維空間中，實際上二者並不相交，不過在三維空間中，我們所能看到的只是它在三維空間中的投影而已，實際上因為少了一個空間維度，所以生產出來的克萊因瓶的瓶頸和瓶身就共用了一個維度。假設我們的宇宙也像一個克萊因瓶的話，那麼就意味著我們朝著任何一個方向走，永遠也走不出宇宙，而且最終都會回到原點，而如果有一天人類能夠見到真正的克萊因瓶，那麼就意味著人類的科技水平、理論水平已經到達了很高的高度，而且也發現了四維空間的存在，不這樣的話，人類永遠也不會讓真正的克萊因瓶展示在自己的眼前的。
鏡像科普
閱讀前小知識
高維空間中可以容納低維物體，反之則不行，在高維空間可以看到低緯空間的物體，反之也不行。
理論的東西，未必都能在現實中找到實物
克萊因瓶是什麼東西也許很多讀者還是第一次聽說，我也是幾年前聽說了這一神器——當時據說黃河水也裝不滿，我當時不信這個邪，仔細研究了一番。
克萊因瓶是德國數學家最早提出來的，最早叫克萊因平面，是一個存在於四維空間中的曲面，所以在三維空間中只是一個理論，是無法真正造出這麼個東西的。
圖釋：三維空間中克萊因瓶想象圖
現在市面上買的都是假想的克萊因瓶，都是在三維空間中的想象產品，把一個長頸瓶的口連接到了瓶子底部，把這模擬成瓶子穿過四維空間後再和底部相連。
可笑的是當時一個科普視頻從網上買了個這種瓶子，放在水盆裡從底部灌水，然後由於內部空氣壓力頂住灌不滿，解說人員竟然說克萊因瓶果然是黃河水都灌不滿的。我這裡可以負責任的講這個實驗和黃河水沒有一毛錢聯繫，就是空氣頂住了，灌不進去，拿一根粗的針管，連接一根細的軟管，我可以把這種仿克萊因瓶注的滿滿的。
類似神器還有莫比烏斯帶
看著莫比烏斯帶有兩個面，其實只有一個面，看著有兩條邊其實只有一條邊。將一個紙條的一端翻轉180度，然後和另一端相連，這就構成一個莫比烏斯帶。
本來一個二維的紙張，經過這麼變換，就不再是二維的物體了，而是三維的了，恰好我們處在三維空間中，可以看到這種物體。把莫比烏斯帶的這條邊黏連起來就是一個克萊因曲面，不過顯然在三維空間中是無法完成這項工作的，也就是說在三維空間是無法復原四維或者更高維的物體的。
本問題到這裡就結束了，更多科普歡迎關注本號！
核先生科普
是啊，克萊因瓶是由一名叫克萊因的數學家發現而命名的一個瓶子，這個瓶子真的存在的！
啊峰歌
網上說真正的克萊因瓶是目前為止還製造不出來的，那現在世面上買的克萊因瓶是真的嗎？
要搞清楚這個問題，我們需要先來了解一下克萊因瓶是何物，它又為何如此神秘呢？
克萊因瓶是由一位名叫菲立克斯·克萊因的德國幾何學大家發現而命名的一種特殊瓶子，1882年克萊因非常機智的想到要把一個圓柱面轉過彎，然後使圓柱體的一端穿過自身，最後把頭部和底部融合在一起，得出的這種特殊的物體最大的特點就是它只有一個面。
假如以一隻螞蟻做實驗，它能在瓶身暢通無阻的繞一圈，然後通過管子跑到瓶子的背面，不需要穿過任何一條邊就能到達瓶子的內部，而假如是一個普通瓶子，螞蟻則需要繞過瓶口才能從表面進入到瓶內，這簡直是一個神奇的玩意。
正因為這種克萊因瓶十分神奇，因此有許多國家的數學家總想把它造出來但都無果而終，根本就造不出來，而市面上出現的所謂的“克萊因瓶”則是假的，其製作原理僅僅如同製作茶壺一樣並非數學家克萊因所構想的那樣。
不過有些人抓著普通群眾不動科學，為了博取眼球竟然誇下海口居然說一個克萊因瓶連黃河水都灌不滿，須不知雖然黃河總體水量在下降且部分河段出現斷流，但年徑流量也達到了近580億立方米，如果將如此大的水量彙集到一起並將克萊因瓶扔進去，恐怕早已無影無蹤了，看誰裝得下誰！
由於真正的克萊因瓶沒有“邊”，因此從理論上講是不存在容積一說，而市面上出現的“克萊因瓶”則是一種結構比較複雜的普通瓶子而已，之所以水裝到一定量就灌不進是因為瓶子裡有空氣頂住了，這就像將一個瓶子瓶口朝下垂直放入水中，水是不可能進入到瓶內一樣。
與克萊因瓶類似的是將一個織帶扭轉180°，再將首尾連接起來就能得到一個簡單的莫比烏斯帶的模型，而假如我們能夠在四維空間中將兩個莫比烏斯帶沿著它們唯一的邊縫起來，就有可能會得到一個克萊因瓶。但遺憾的是我們生活的空間是三維空間，想要做思維空間的事幾乎是不可能的。
以上內容，歡迎點評！
地理那些事
網上說真正的克萊因瓶是目前為止還製造不出來的，那現在世面上買的克萊因瓶是真的嗎？
準確的說現在市面上出售的克萊因瓶都是切切實實的假貨，這一點是毋庸置疑的，因為真正的克萊因瓶是一個四維產物，在三維空間中是看到的只是它的投影，而我們製造出來的則完全是那個投影的1：1復刻，即使做得再精美它也是個縮水貨！
真正的克萊因瓶是長什麼樣的？
我們很難在三維空間中來描述克萊因瓶特徵，不過卻可以用假冒貨來做個案例，畢竟模型有助於我們理解空間幾何結構。
“克萊因瓶”其實是一個錯誤的形容方式，原先指得是克萊因平面，它指的是一種無定向的平面，沒有內部和外部之分，最早是德國數學家菲利克斯·克萊因提出的。
在三維空間中的克萊因瓶的“瓶口”穿過自身與瓶底相連，成為一個表面沒有終結的結構，從外到內不需要穿過這個瓶子的外壁而直接到“內部”，儘管克萊因瓶沒有內外之分，但在我們看來，包裹在內的那部分空間就是瓶子內部了。
在四維空間中，“瓶口”是穿過額外的第四維和底部相連的，它並不需要穿過瓶壁！但這是一個很難想象哦空間，與自身構成了一個沒有邊界的曲面，但卻不會和自身空間交叉，三維中是無法實現的，當然在瞭解這個結構之前，我們還是得先來理解下維度的概念。
四維空間？
我們並不能確定是否存在四維空間，但用數學來理解空間結構時則完全是另一回事情，從零維到四維，我們可以用一個簡單的示意圖來表示
在三維或者之前的維度我們都可以很簡單的理解，因為我們所見所得都是三維模式，即使是一張紙，它仍然存在可以測量的厚度，因此它是一種三維物件。但對於四維我們腦子就有點不夠用了。
一般我們所說思維的都是歐幾里德空間，與廣義相對論中閔可夫斯基空間是有區別的，下面我們以歐式四維空間來描述：三維空間存在長寬高三個維度，而四維則三維的每一個長寬高的維度上增加一個長寬高的三維維度，就如下面示意圖。
如果不太好理解的話，我們來感受一下動圖轉變的過程
也許我們將三維空間想象成組成四維的一個膜更合適，否則四維空間在三維上的疊加維度會讓我們思緒混亂，三維空間只是四維的一個切片，它在四維空間中的只有方向，沒有厚度，就像我們三維空間有無數二維平面切片一樣。
我們可以用二維平面的方式來想象三維空間，在二維平面中，三維人是上帝一般的存在，可以讓二維平面上上的“人”進入三維，然後再在二維的另一位置突然出現，而四維對於三維的操作也是如此，因為我們只能看到本身所在的三維，因此我們會發現三維空間中的某個物體突然消失，卻毫無預警的出現在另一個位置，而這只是四維對於三維的基本操作而已。
克萊因瓶在三維中會是怎麼樣的存在？
可能很難來理解這個結構，但仍然可以用三維在二維中表現作為參考，比如被稱為魔比斯環的二維扭曲面，
對於三維空間中的人類來說，我們可以看到不用回頭就遍歷了兩個面，但這對於二維空間的“生物”來說這是一件不可思議的事情，因為他們不能理解空間被扭曲這一事實，當然對於我們三維空間中的人類來說，我們同樣不能理解我們的空間正在通過額外的維度對接到自身的內部。這將是一個超喪的體驗，比如：
依照一般思維理解，假如碰到這種事情，第一反應絕對是見鬼了，走不出的樓梯，很多恐怖小說中的切入點就是這樣的，但在四維空間中看來，不過是將這兩個空間通過三維之外的維度對接在了一起，是可以清楚的看到的，就像我們在地球上無法想象出地球這個概念，因為我們看到的都是地平線而不是地球線，跳出這個框框到太空，一目瞭然。
三維空間裡的魔比斯環，就能達到GIF圖中見鬼的效果，而三維中的克萊因瓶則能達到你朝著某個方向走，突然發現走到了某個建築物內部，但你卻沒有經過門和其他任何窗戶，當然你還有可能走不出去，因為你看不到來時的路。但只要不慌，朝著一個方向永不回頭又能出來，前提是這個克萊因瓶空間夠小，足夠你在餓死之前走回入口，但99%的情況下就是慌的一B，結果可想而知。
我們能製造出克萊因瓶嗎？
從描述中我們知道了克萊因瓶空間的原理，但我們卻無法制造，因為不知道這額外的維度怎麼去開啟，這跟彎曲空間似乎是另一回事情，因為這是兩個不同的概念，即使用超強引力，也只能製造出一個連光都無法逃逸的扭曲空間而已，但這卻不是高維空間
所以我們判定，市面上出售的克萊因瓶不過是個假冒貨而已，但這卻不是他們的本意，而是根本就生產不出來！
星辰大海路上的種花家
假的！如假包換的假的！沒有比這個更假的假的！
說起克萊因瓶，我們先來看看它到底是個什麼東西？我敢保證，它的真實樣子絕對不是大家在市面上看到的這樣！
克萊因瓶
1882年，克萊因瓶的概念由著名數學家菲立克斯·克萊因 (Felix Klein) 提出，在數學領域中，克萊因瓶是指一種無定向性的平面。在拓撲學中，克萊因瓶是一個不可定向的拓撲空間。
上面的這段話有點難理解，我們淺顯一點，就是一個三維空間的瓶子，它的瓶口延伸，扭曲後在不穿過瓶身的情況下進入瓶子內部，最後又和自己的瓶底相連，這樣扭曲之後，這個物體會非常詭異的變得沒有“邊”，它原本在三維空間的邊際消失了。或者說，他的邊際體現在更高維的空間裡。
菲立克斯·克萊因提出這個概念之後，無數的數學家想做出一個模型，但是都沒有成功，因為沒有人能夠在三維空間裡實現“瓶口不穿過瓶身在瓶子內部和瓶底相連”這個設想。
莫比烏斯環
這個瓶子和二維的莫比烏斯環有點相似，二維的莫比烏斯只有一個面，它的兩面是相連的，沒有正反面之分。
有意思的是，我們把兩個莫比烏斯環唯一的面粘起來，就能得到一個克萊因瓶，不過這個操作只能存在於想象中，因為要連接兩個莫比烏斯環的面，需要在四維空間中進行操作。
蟲洞
通過克萊因瓶在更高維空間的拓展，人們想到了“蟲洞”這個概念，如果真的存在更高的空間緯度，那麼是不是可以在更高的緯度扭曲三維空間，然後讓兩個原本在三維空間裡距離很遠的地點相連。
如果能實現這種操作，那人類探索宇宙的腳步將會更加迅速，因為這樣的移動方式比同樣存在於想象中的“曲速引擎”更加迅速且方便！
最後，現在市面上的“克萊因瓶”只是體現了克萊因瓶這個概念的一部分（瓶口和瓶底相連），而其中精髓的“不穿過瓶身”，在三維空間中無法實現！所以這事不能怪賣瓶子的小販，是真的做不出來！
不過現在假的“克萊因瓶”也做得蠻好看的，買回來當個裝飾品也不虧。如果能把我上面的話背下來的話，當朋友來你家時，你還可以指著這個假瓶子在他面前展現一下你的才華，想想都開心！
宇瑤雜談
克萊因瓶到底能不能製造，現在能買到的克萊因瓶難道是假的？
據說，克萊因瓶在三維空間是不存在的，可是我不是看到有現實的克萊因瓶可以買到嗎？仔細看，好像符合克萊因瓶的構造需求。
這裡面到底玄機在哪裡？
A：
克萊因瓶的確可以買到，但是你會發現能買到的克萊因瓶，上面都開了一個讓人很不爽的洞。為什麼會這樣呢？
咱們來看看它是如何構造的：
首先，題主要拿出一張矩形白紙，把左沿和右沿按紅色箭頭同向黏在一起，成為一個圓柱形的側面，這一步非常容易辦到。
然後，要把圓柱形的上底和下底黏在一起。容易想到的黏結方式是把圓柱掰彎然後連成一個呼啦圈形狀的環形（Torus），但是如果你仔細觀察上底和下底，就會發現黏結處兩邊的藍色箭頭是相反的。
要獲得一個Klein瓶，必須保證藍色箭頭黏結在一起時箭頭朝向相同。無論你怎麼試，這一點在三維空間中都不能辦到。所以只能退而求其次，在柱面上開一個洞，把一頭伸進去，從裡面黏上。
https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_bottle
從上面的構造來看，真正的克萊因瓶（Klein Bottle）是光滑的，最多隻有兩條黏接細縫，但現在多了個洞是咋回事！！！它們不是真正的克萊因瓶，只是一種三維空間無法順利表達它的妥協之舉。
根據上面的構造，克萊因瓶和莫比烏斯帶有一個相似的地方，就是不分內外面。
從上面的口進去，就從曲面外部光滑、順利地跑到了曲面內部，這一點在咱平時可見的三維幾何體上可不多見，它們內外分明。而且，真正的克萊因瓶是不開洞辦到這一點的！
黑白老師
扯淡，克萊因瓶就是個騙局，只是因為理論上看交叉部分是不封閉的，實際做出來是封閉的而已，自己在腦中想一想不就知道了，如果現實做出來，那個地方就是漏的
鄙人校長
真正的克萊因瓶確實造不出來，網上賣得也不可能是真的克萊因瓶。更準確地說，克萊因瓶可能都是不存在的，因為直到今天為止，我們還無法證明四維空間的存在。而真正的克萊因瓶是屬於四維空間的物體，是數學家們根據推測四維空間的性質，臆想的一個物體。
網上賣的克萊因瓶是什麼？
網上賣得克萊因瓶，實則是一個三維的投影模擬物。它的結構圖大致如上圖，我們可以清楚地看到扭轉過來瓶頸穿過了自身的瓶身。
按這種結構圖造出來的克萊因瓶，就是上圖這樣。
但這並不是德國幾何學大師菲立克斯·克萊因 (Felix Klein)所提出的“不分裡外”的奇異瓶子。這只是一個我們在三維空間裡所能造出來的高仿品而已，因為克萊因瓶實質是指一種無定向性的平面。在拓撲學中，克萊因瓶是一個不可定向的拓撲空間。
如果拿一個我們比較好理解的東西來比喻的話，它和莫比烏斯環的概念差不多，如下圖：
一個不分正反的扭曲面。
一張普通的小紙條，一端旋轉180°後與另一端首尾相接，你會驚奇地發現這張紙條原本的兩個面（正面和反面）突然就消失了，成為了只有一個可無限循環的面，這就是莫比烏斯環。
然而，我們之所以能做出它，是因為我們在三維空間中，將一個二維平面進行了扭曲，然後將原來的正反面進行交換連接（正面連反面，反面連正面）。莫比烏斯環的核心概念，在於消除了我們對正反兩面的傳統認知。
而克萊因瓶就相當於莫比烏斯環的升級版，意味著在更高一個維度，就能消除我們現在對於“裡外”的認知。
我們造不出克萊因的根本原因是維度不夠。
正如莫比烏斯環只能誕生於三維空間中，克萊因瓶則只能誕生於四維空間中。沒有多出來這一個維度空間，我們就無法顛覆物體的“裡外”概念，讓裡外互通。
克萊因瓶說它是“瓶子”是一種誤導，它實際就是四維空間中的一個扭曲的“面”。
再拿上面的結構圖來說，真正的克萊因瓶是不會和自身相交的。而這樣的形象可以通過數學公式來表達，但無法通過我們的大腦具象化，因為作為三維世界的我們，無法具象高維度的事物。用“只可意會不可言傳”來形容一點也不為過。
但我們又具有極強的探知慾和表現欲，畫不出真的模樣，就搞個高仿嘛。所有網上售賣的克萊因瓶本質來說，就是這些高仿圖紙的作品。
實際上，我們與克萊因瓶隔著無法逾越的天塹鴻溝，就像書本中的小人，仰望現實中的太陽一樣。
克萊因瓶如此不真實，為什麼我們要研究它?
首先，真不真實，不能完全由感官來決定。就像科學發展到今天，我們見證過太多曾經認為的不真實，變成了實實在在的現實。地球是圓的如此，日心說亦如此。
其次，人類之所以比其他生物優秀，就是我們總是敢於去思考一些挑戰現實的事情。學會提出問題，是科學發展的前提；通過實驗去檢驗問題，是科學發展的準則。
人類要進步，首先不能放棄想象，就像愛因斯坦如不會思想實驗，就沒有相對論一樣。
而克萊因瓶就是科學家設計出來挑戰四維空間認知的神器，我們把現在還無法驗證的空間假想通過數學勾勒出來，再用想象力來豐滿它，來打開我們的思考維度。
“如果能擁有一個沒有正反的平面，為什麼不能擁有一個沒有裡外的三維立體？”
這是幾何大師菲立克斯·克萊因拋給人類的一個關於空間思考的命題。問題已經提出，至於回答則需要交給後人去檢驗。
思考性總結
克萊因瓶是真是假其實不重要，重要的是能不能想到，以及思考其背後的意義。作為探知宇宙才剛剛起步的人類，我們目前對於宇宙的所有知識，僅僅來源於被困於宇宙汪洋中的這座名為地球的小島。
島外真實的世界，我們根本從未經歷。如果僅限於“經驗論”來獲取知識，那我們對於宇宙至今都是無知的。
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肯定不是真的克萊因瓶，如果是真的，早就風靡全球了，因為那意味著人類已經發現了四維空間真的存在了。
什麼是克萊因瓶？它只是一個想象出來的瓶子，一個瓶口與瓶底通過穿過四維空間相連的瓶子，這個瓶子沒有裡面和外面之分，也可以認為裡面就是外面，外面就是裡面，既然沒有裡外之分，自然就無法把克萊因瓶注滿水。
克萊因瓶想象圖是這樣的：
據說這樣的克萊因瓶永遠注不滿水，即使黃河水也不能注滿。但顯然這是不可能發生的，市面上買到的所謂克萊因瓶說白了只是一個比較複雜的瓶子而已，瓶口與瓶底通過穿過自身的方式相連而成。
為什麼瓶口和瓶底必須通過與自己相交的方式相連接呢？理論上分析，瓶口與瓶底不應該這樣相連，應該是穿過四維空間相連，但現實中我們無法描述出四維空間，甚至連四維空間到底存不存在都不確定，所以只能做出妥協，用於自己相交的方式描述克萊因瓶！
說白了，問題的關鍵就在於，所謂的“四維空間”是否真的存在，如果存在，克萊因瓶就可以製造出來，如果不存在，就不可能製造出四維空間。
即使四維空間這的存在，我們也很難想象出四維空間到底是什麼樣的。可以試著用二維空間對比三維空間的方式去想象。假設二維空間裡存在一個管子，管子的頭和尾通過穿越三維空間（也就是我們所在的空間）相連，自然這樣的管子是永遠注不滿水的。而對於二維空間的生物來說（假設存在），他們只會看到二維空間裡的管子。
事實上不要說“我們不知道四維空間是否真的存在”，難道我們口口聲聲提到的“二維空間”就一定存在嗎？所謂的“二維空間”也只是數學和理論上的概念，數學並不等同於現實。我們都說二維空間就是一個面，但一個面的空間如何存在？或許世界上只存在三維空間，沒有所謂的二維和四維空間。
無論如何，不要被市面上的克萊因瓶迷惑了，它表達的更多的只是一種數學思想，在現實中不可能出現。
