數學猜想，儘管被稱為合情推理，但仍舊令人不可思議，尤其是提出者本人在猜想上持有極強主見這一現象。卡拉比猜想( Calabi Conjecture) 就是其中之一，它是一個關於度量的猜測，度量是刻劃空間極其重要的一個特徵，人類的生活正是在一個公認的歐氏度量基礎上才像現在這樣展開的。卡拉比猜想在 1954 年被卡拉比( E． Calabi，1923 ～ ) 提出來後，幾乎全部知道它的數學家都認為它是錯誤的，一點意義都沒有; 連它的最終解決者丘成桐( 1949 ～ ) 一開始也認為它是錯誤的，而且還給出了很多反例。丘成桐後來說: 這個命題太漂亮了，漂亮到令人不可能相信它是對的。就是在這樣的情況下，卡拉比始終堅持猜想的正確性。
應該說卡拉比猜想所遇到的丘成桐，與它的提出者具有同樣珍貴的執著精神。在卡拉比告訴丘成桐反例推理中的一個錯誤假設之後，丘成桐在兩週之內，夜以繼日地思考了幾十種方法想要彌補，最終還是意識到卡拉比猜想應該是正確的。由於當時不具備證明這個猜想的技術條件，丘成桐花了 3 年時間做了大量準備工作，在 1976 年終於完成了卡拉比猜想的完整證明。從開始證明到最終證明卡拉比猜想，丘成桐花了 6 年時間，期間的酸甜苦辣，只有自己明瞭。在證明卡拉比猜想之後，丘成桐用晏小山在《臨江仙》中的一句宋詞表達了 6 年中的感受: 落花人獨立，微雨燕雙飛。
丘成桐和卡拉比還有一樣相似之處，就是兩人對微分幾何和微分方程都同等重視，這不是大部分微分幾何學家和微分方程家的作風; 而這正是卡拉比猜想所具備的特點。丘成桐對卡拉比猜想的證明，直接與間接地引出了很多結果，導致了許多著名難題的解決，對於後來微分幾何、微分方程以及代數幾何的發展都做出了基礎性貢獻。特別地，其中一個重要結果卡-丘流形的存在，在 8 年之後被應用到弦理論中，演繹了數學與物理學關係史上又一段奇緣。《紐約時報》稱，丘成桐在證明卡拉比猜想之後，成為了數學和物理學界一顆耀眼的明星，各種獎項和榮譽滾滾而來。同時卡拉比本人以及卡拉比猜想，在沉默 20 多年以後，因為丘成桐的工作，也終於閃爍出了他們本來的光芒。
1 卡拉比提出的一個猜想
卡拉比是一位意大利籍美國數學家，在麻省理工讀大學期間，他曾獲普特南獎，這個獎是為美國和加拿大大學生所設立的數學競賽獎; 1950 年他在普林斯頓大學獲得了博士學位，他的導師是博赫納( S． Bochner，1899 ～ 1982) ，一位著名的奧地利-匈牙利籍美國數學家，他的博士論文是《流形的等距複分析嵌入》。在明尼蘇達大學期間，卡拉比獲得了教授職位; 1964 年，為了追隨在賓夕法尼亞大學已經退休的偉大德國籍美國數學家拉德馬赫( H． Rademacher，1892 ～ 1969) ，卡拉比也來到賓夕法尼亞大學數學系，1967 年他獲任托馬斯·斯科特講座教授，1971 ～ 1973 年任數學系系主任。1991 年因為在微分幾何中的工作，他獲得了美國數學會斯蒂爾獎，1994 年卡拉比退休。
卡拉比主要研究方向是微分幾何、偏微分方程及其應用，尤其對凱勒幾何有過很好的研究。單從卡拉比猜想所蘊含的巨大思想就可以看出卡拉比的傑出，只是他的研究常常是那麼難以理解，所以他的研究並不是廣為數學界所知。卡拉比猜想就是這樣的情況，在被丘成桐證明之前的 20 多年，很多著名幾何學家都對它聞所未聞。相對於卡拉比猜想，卡拉比在 1953 年開創的凱勒流形之間全純和等距浸入研究的境遇就更差。這同樣是一個傑出的研究，但是 2 倍於卡拉比猜想沉默的時間，仍然不被人們所知，也沒被引用過。即使是面對面地講，卡拉比有時也很難讓聽眾理解自己。據說在20 世紀 50 年代晚期麻省理工學院的一次論壇上，卡拉比做報告，坐在前排的聽眾之一是傳奇與神奇的數學家維納 。當時維納已經 60 多歲了，和他一貫的習慣一樣，一直打瞌睡到演講結束掌聲響起時才醒來。對於報告內容，一些新生在報告開始 5 分鐘後就聽不懂了。報告結束後，有個數學家和卡拉比講了幾句話，氣氛就陷入了緊張的沉默中。最後還是卡拉比曾在麻省理工學院讀書時的老師，60 多歲的著名荷蘭數學家斯特洛伊克( D． Struik，1894 ～ 2000; 對於年老的斯特洛伊克，劉鈍有過一個珍貴的訪談) 打破了僵局，他舉起手對卡拉比說: 能不能說些能聽懂的內容。於是卡拉比不得不花了 5 分鐘時間用通俗語言再次講解了報告的要點，聽眾才有所滿意。
因為這個原因，更應該感謝丘成桐，是他才使人們認識了卡拉比，才有機會去理解卡拉比猜想。這是一個與凱勒幾何有關的猜想，這個猜想之所以能夠被提出來，首先是源於卡拉比對凱勒幾何一直以來的濃厚興趣; 其次是受他的好朋友陳省身( 1911 ～ 2004) 在凱勒幾何中工作的啟發。陳省身是凱勒幾何的創立者之一，他曾發現一種用曲率表示陳類本是卡拉比以博士論文為基礎而寫的。
( Chern Class) 的方式，特別是陳類中最重要的第一陳類，可以完全被裡奇曲率( Ricci Cur-vature) 表示出來。這個發現引出的一個結果是，凱勒幾何中裡奇曲率的行為受到了第一陳類的約束。針對這個結果，反過來的一個問題是，對於凱勒幾何中的裡奇曲率，這是否是唯一的約束? 就是對這個問題的討論，卡拉比才會有了他的猜想。
1. 1 首次提出猜想卡拉比首次提出他的猜想是在對所有典範類 ( 或第一陳類) 為零的緊凱勒流形
進行分類的工作中。為了完成分類，卡拉比首先需要知道典範類為零緊凱勒流形的性質，依據這些性質才能進行分類。在獲取典範類為零緊凱勒流形性質的時候，出現一個問題，就是舊有典範類的定義( 即任何非零亞純 n 次微分約數的同調類)不能夠判斷是否可以總是在所有流形中找到這個寬類的一個非平凡亞純 n 次微分，所以不適合用於對緊複流形的推廣。而陳省身已經提出一個交錯的定義，可以允許這種推廣; 所以卡拉比引入陳省身的定義，重新定義並引進了一些概念和一些性質，從而改進了舊有典範類的定義。這樣，卡拉比就得到了緊凱勒流形的一些拓撲和調和的性質。其中一個重要性質，就是他的猜想，即:Mn 是一個緊複流形，在其上允許具有主形式 ω 和裡奇形式Σ 的無限可微凱勒度量，如果Σ '是( 1，1) 型的任意閉實值無限可微形式，且上同調於Σ ，那麼存在唯一的一個凱勒度量，它具有主形式 ω'，上同調於 ω，且裡奇形式與Σ '相等。這個度量總是無限可微的;如果Σ '是解析的，它也是實解析的。對於這個處於猜想狀態的性質，卡拉比認為，雖然目前還無法被完全證明，但是出於一種綜合的、直覺上的原因，把這個真理以命題的形式寫出來是正當的，況且他對如何證明這個命題還能提出一些富於啟發性的建議。
卡拉比認為，要證明這個猜想需要分兩步:
第一步，證明猜想中所說的具有指定裡奇形式凱勒度量的唯一性;
第二步，證明這個凱勒度量的存在性。其中唯一性已經有了嚴格證明; 對於存在性，卡拉比雖然無法給出嚴格證明，但他有
一套切實可行的詳細證明計劃。首先卡拉比已經明確存在性的證明，依賴於一個積分微分方程解的存在性假定; 接著要做的事可以分兩步操作:
( 1) 獲得這個積分微分方程。對此卡拉比證明了屬於相同主類不同度量的兩個主形式如果不同，那麼它們相應的凱勒形式也是不同的。這是一個重要的結論，有了它就能夠給出實參數［0，1］上裡奇形式的連續系統Σ ( t) 和相應的主形式 ω( t) 對於 t 的導數之間的關係:ω( t)t= － 2Gt( t)( )t ，這就是與凱勒度量存在性證明相關的積分可微方程。
( 2) 求解這個積分可微方程。考慮函數( t) /t 可微的充分條件，方程就會有解ω( t) ，它的初始值由任意無限可微凱勒度量的主形式 ω( 0) 給出。特別的，如果使初始值
與命題中假定的凱勒度量對應，選擇( t) /t 為兩個不同裡奇形式的差Σ ' － Σ ，方程的解是 ω( t) ; 那麼 ω( 0) = ω 就給出了凱勒度量的主形式，它的裡奇形式滿足Σ ( t) = Σ +t( Σ ' － Σ ) ，當 t = 1 的時候，具有指定裡奇形式Σ '的凱勒度量就是方程的解。為了嚴格上述討論，首先需要考慮的是，由於 t 是變量，所以方程保持了它的橢圓性質。因為這個原因，方程的解 ω( t) 就 t 而言是局部連續的; 但是對於求解 ω( t) 的 t 的區間是否是無界的，卡拉比無法給出答案，而這正是證明他的猜想的一個基本缺口，這個缺口使得後面的分類工作建立在一個猜想基礎上: 即緊凱勒流形允許凱勒度量，它具有任意指定的正可微體積元。
跳過這個缺口，卡拉比指出對於 /t = Σ ' － Σ ( 0) ，要證明方程解 ω( t) 的存在性，可以通過求 ω( t) 的二階導數的值和求 ω( t) 以及 ω( t) 的一階導數的優先估計，然後應用折線逼近的柯西-佩亞諾方法求解。最終，卡拉比無法嚴格求解這個方程，但是經過上述對方程求解思路的討論，起碼使這個猜想看起來是可能的。
在所有這些性質的基礎上，對典範類為零的緊凱勒流形進行分類就成為可能。首先，卡拉比討論了兩類典範類為零的緊凱勒流形: 一類是由 n 維復環面給出的，另一類是由非奇異超曲面給出的。其中卡拉比給出了描述第一類凱勒流形性質的一個定理，在證明這個定理的一開始，卡拉比就使用了他的猜想，將給定的凱勒度量替換成具有相同主類的另一個裡奇張量等於零的新度量，這個新度量是唯一的且實解析的，之後的證明都是在這個新度量上展開的。證明完這個定理之後，卡拉比還給出一個定理，作為對第一個定理的一種新的解釋，以便更加有助於描述第一類特殊凱勒流形的結構。運用這些結果，卡拉比完成了對所有典範類為零的緊凱勒流形的分類。
1954 年 4 月 8 ～ 10 日在普林斯頓大學範恩會堂( Fine Hall ，數學系所在大樓) 為慶祝數學家萊夫謝茨( S． Lefschetz，1884 ～ 1972 ) 70 歲生日而舉辦的代數、幾何和拓撲會議上，卡拉比以"典範類為零的凱勒流形"為題彙報了上述工作，並於 1957 年被刊載在該會議論文集上。這個報告被看作是卡拉比在公開場合首次對猜想的表述。
儘管文章已經發表出來了，但是由於卡拉比對緊凱勒流形的分類工作是建立在一個猜想之上，所以這個分類工作還不能算真正完成( 從嚴格意義上說，只有在丘成桐完全證明卡拉比猜想之後，這個分類工作才算徹底完成) 。正是因為這一點，這個原本只是關於緊凱勒流形一個性質的猜想，很快成為令卡拉比無比重視的一個問題，於是在同一年國際數學家大會上，卡拉比專門討論了這個猜想，希望引起人們的注意，來實現對猜想的完整證明。1. 2 對猜想的專門討論1954 年 9 月 2 ～ 9 日在荷蘭阿姆斯特丹國際數學家大會上，卡拉比做了一個簡短的報告《凱勒度量空間》，專門討論在《典範類為零的凱勒流形》報告中提出的猜想。兩次報告相距不到 5 個月，在這段時間中，卡拉比為猜想做了兩個工作:首先，更加清晰地闡述猜想。卡拉比發現如果事先給出一個有關凱勒度量空間的性質，人們理解猜想就會容易得多，這個性質就是: 在緊複流形 Mn 上，假定至少可以允許存在一個具有裡奇形式Σ 的凱勒度量 gαβ* ，度量的主類是 ω; 那麼對於 Mn 中所有具有上述主類的凱勒度量的空間 Ω，存在一個事實: 空間 Ω中任意的凱勒度量的裡奇形式Σ 是一個閉實( 1，1) 型，並且它的上同調類等於 2πC ( 1)。
對於這個事實，人們反過來自然會問的一個問題是: 對於任意閉實( 1，1 ) 型，什麼樣的才能成為 Mn 上凱勒度量的裡奇形式，卡拉比猜想就是在回答這個問題。雖然卡拉比沒有明確指出這一點，但他重新陳述猜想的內容卻體現了這一點:給定 Mn 中( 1，1) 型的任意實閉無窮次可微外形式Σ ，且上同調於 2πC( 1) ，那麼在 Ω中一定存在唯一的凱勒度量，它的裡奇形式等於Σ 。其次，進一步討論證明猜想的思路。在從不同角度賦予猜想更加清晰的數學意義之後，卡拉比重新給出了證明猜想的思路，還是分兩步: 第一步證明猜想中凱勒度量的存在性，主要是通過在各種型的相同線性空間中的可微參數化弧，其中要涉及 Ω中具有Σ 的度量的裡奇形式，來構建 Ω 中一個相應的參數化路徑; 第二步證明猜想中凱勒度量的唯一性，並且要它的終點獨立於路徑。
在這種證明思路的基礎上，卡拉比討論了一個特例。在給定 Mn 某些限制性質的情況下，Ω中存在一個度量，它最小化成( Σ ，Σ ) ，除了 Mn 的解析變換，這個度量是唯一的，而且通過這個性質的刻畫，標量曲率是常量。其中，標量曲率是常量表明空間是愛因斯坦的，度量是愛因斯坦的。
對於卡拉比來說，這些證明思路是多麼清楚與流暢，可就是差些什麼，使得整個證明過程無法連貫寫出來。這種只差一步的感覺是令人沮喪的。更加沮喪的是，幾乎沒有數學家相信這個猜想是對的。不過，卡拉比無需對此沮喪，因為貌似的一小步，實則蘊含了很多數學內容，而這些數學內容在當時還未被寫出來，丘成桐花了 3 年時間才將這些空缺的數學內容填補上，沿著卡拉比提出的思路，實現了猜想的完整證明。
2 丘成桐對卡拉比猜想的證明
要討論丘成桐對卡拉比猜想的證明，是不能直入主題的，因為丘成桐本人就沒這樣做。只有重新回顧丘成桐所走的道路，才能真正理解這位數學家和這個猜想在 6 年間所建立的深厚情感，才能深刻理解丘成桐對卡拉比的崇敬之情。2． 1 證明猜想的曲折經歷陳省身比卡拉比年長 12 歲，兩人研究領域互有交叉，經常一起參加一些討論班和會議。作為陳省身的學生，丘成桐對卡拉比的研究工作自然比別人接觸要多。在伯克利的第一年( 1969 ～ 1970) ，丘成桐就曾推廣和改進了卡拉比關於緊緻平坦黎曼流形的工作。在伯克利的第二年，丘成桐就開始考慮凱勒幾何中的卡拉比猜想了 ，不過當時他的這個選擇，並沒有被看好。因為幾乎所有人甚至包括丘成桐的導師陳省身都認為這個猜想是錯誤的; 不僅如此，陳省身還認為這個研究方向的意義不大。這些意見並沒有影響丘成桐求解卡拉比猜想的決心，他固執地認為對卡拉比猜想總要找出一個水落石出的答案。能這樣做，是不容易的。其中有一個重要的學術原因，就是當時丘成桐極其鍾愛裡奇曲率，他認為裡奇曲率對於理解宏觀幾何是特別重要的。但是直到看到卡拉比在1954 年關於裡奇曲率猜想的文章時，他才第一次找到了研究裡奇曲率的切入點。既然如此，又如何能放棄呢。早在 20 世紀 60 年代晚期，一些懷疑卡拉比猜想正確性的人曾使用齊傑( J． Cheeger，1943 ～ ) 和格羅莫爾( D． Gromoll，1938 ～ 2008) 的還原理論來構造卡拉比猜想的反例，都沒有成功。丘成桐一開始也是沿襲了前人的這種研究方法與觀點，試圖證明卡拉比猜想是錯的，最終都以失敗告終。從伯克利畢業後，丘成桐到了拓撲學中心普林斯頓高等研究院任職( 1971 ～ 1972) ，在那裡丘成桐仍舊對卡拉比猜想很有興趣，曾對卡拉比猜想構造過一系列的反例，並在私下裡解釋他的構造，或在會議上做一個非正式的演講，但是最後在他的構造裡總能找出漏洞。
1973 年暑假，在微分幾何中心紐約州立大學石溪( Stony Brook) 分校數學系作助理教授的丘成桐參加了美國數學會在斯坦福大學舉行的微分幾何大會，年輕的丘成桐當時在
微分幾何領域已經處於領先水平，他在會上作了 3 個學術報告。在這次大會上，物理學家傑拉奇( R． Geroch) 向數學家們講演了廣義相對論，解說了正質量猜測( 即愛因斯坦猜想) ，並牽扯出了與之相關的卡拉比猜想。卡拉比猜想在這種場合的再次出現，激發了丘成桐解決它的強烈願望。就在會議期間，他使用還原理論並採用反證法來考察卡拉比猜想。在假定猜想正確的情形下，他得到了一個分裂理論: 每一個裡奇曲率等於零的緊凱勒流形，能夠被圓環面和具有裡奇平坦凱勒度量的單連通流形的度量積所覆蓋。使用這個理論，他獲得了卡拉比猜想的一個反例，由此證明卡拉比猜想是錯誤的。他把得出的結果告訴了幾個朋友，朋友們要求他在大會上把他的工作講出來。於是丘成桐就在大會上當眾討論了他的想法並宣佈了他的結果，沒有人表示反對。但有一個人存疑，他就是一直堅信猜想正確的卡拉比本人。會後他花 2 個月時間仔細分析了丘成桐的論證，發現在推理中丘成桐錯誤的假定: 具有大量非負反典範約數的流形允許點態非負的第一陳類。卡拉比寫信將此告訴了丘成桐，丘成桐說這是他研究生涯中最痛苦的經歷了，雖然當時只是在大會上宣佈了他的想法和結果，並沒有將此成文發表，但是這也足以使名譽因為所犯的錯誤毀於一旦。他說那些日子輾轉反側，不能成眠，不斷反覆考察每一步推理，不斷嘗試各種證明，想了很多辦法來彌補這個錯誤假定，但是每次都是眼看快要成功的時候，卻在最後一個很小的地方推不下去，這種狀況一直持續了2 個星期。在經歷幾十次證明的失敗後，丘成桐發現，在為卡拉比猜想尋找反例的過程中，首先是假設卡拉比猜想是對的，然後考慮其後果。而卡拉比的來信表明這個反證法是行不通的，他意識到問題反過來是對的。於是他向卡拉比寫信，承認反例是錯的，根本沒有辦法彌補，他要反過來證明猜想的正確性。不僅如此，丘成桐還撤銷了他在斯坦福大學會議上所做的有關猜想反例的報告，開始轉變思路著手證明猜想的正確性。
很快，丘成桐就將卡拉比在"典範類為零的凱勒流形"中提到的與猜想密切相關的積分可微方程進一步明確成一個復蒙日-安培方程。蒙日-安培方程是一類很古老的二次非線性偏微分方程，它經常出現在微分幾何裡。巧合的是，這個方程中的蒙日( G． Monge，1746 ～ 1818) ，也是 18 世紀少有的對幾何和分析予以同等重視的數學家。丘成桐要求解的這個復蒙日-安培方程是一個很難的非線性偏微分方程，他花了將近3 年的時間，做了大量準備工作: 和好友鄭紹遠( 與丘成桐同為陳省身的學生) 合作研究蒙日-安培方程、仿射幾何和極大曲面等相關問題; 和舍恩( R． Schoen，丘成桐的第一個博士生) 合作研究調和映照; 和舍恩、西蒙( L． Simon，1945 ～ ; 在斯坦福大學的澳大利亞數學家，曾和丘成桐共同指導舍恩) 研究極小曲面。通過這些準備工作，丘成桐發展了強有力的偏微分方程技巧，使用先驗估計方法，在 1976 年 6 月終於求解了這個非線性復蒙日-安培方程，從而給出了卡拉比猜想的完整證明。
儘管說一個問題的解決不會只限定在一個人身上，但對於卡拉比猜想的證明，是有丘成桐本人的特質在裡面的。丘成桐在伯克利剛學幾何學的時候，流行的是度量幾何，所有工具都是從三角比較定理來的; 作為一名年輕的研究生，丘成桐通過大量的聽課與習題，感覺到微分幾何的工具很多是從微分方程方面來的，所以他覺得當時研究幾何的做法對幾何的刻畫不夠深刻。於是本來就樂此不疲聽各種課的丘成桐去跟近代偏微分方程的奠基者莫里( C． Morrey，1907 ～ 1984) 學習了微分方程，巧的是莫里常常用微分方程來做一些微分幾何的問題，於是丘成桐也和幾個朋友以及學生做一系列用微分方程做工具的幾何研究。對於莫里的研究，當時的微分幾何學家並不是很清楚，因為在當時做幾何的人有一個共同的想法，他們認為微分方程跟微分幾何無關，而且認為微分方程不是主流，所以做微分幾何的一般不去注意微分方程。如果說在伯克利，對微分方程的接觸使丘成桐萌生了研究微分幾何的某種想法，那麼在斯坦福大學，這種在微分幾何上的新想法則有機會得到進一步發展。尤其在斯坦福大學期間證明卡拉比猜想之後，丘成桐開始響亮地提出對於研究微分幾何的新想法。1978 年 8 月 15 ～ 28 日，在芬蘭首都赫爾辛基舉行的 18屆國際數學家大會上，29 歲的丘成桐作為重要受邀報告者作了題為"偏微分方程在幾何中的作用"的報告。1982 年 3 月 31 日 ～ 4 月 2 日，在 34 屆英國數學研討會上，丘成桐作了題為"微分幾何中的非線性方程"的報告，這次研討會全體出席的大會報告只有 3個，丘成桐的報告就屬於其中之一。正是這個微分幾何學家對微分方程重要性的深刻認識，才使他能花 3 年工夫求解與卡拉比猜想有關的復蒙日-安培方程。
非線性復蒙日-安培方程的求解，直接表明卡拉比猜想的可證性。對於沉浸其中達 6年之久的丘成桐，迫切想要與更多的人分享這個結果。在受美國斯隆基金資助的情況下，丘成桐將思路系統整理成兩頁，於 1977 年 1 月 31 日由陳省身將其遞交到世界著名的《美國科學院院刊》，1977 年 5 月便被迅速刊載出來，題為"卡拉比猜想以及代數幾何中的一些新結果"，其中丘成桐對卡拉比在猜想什麼，卡拉比解決了什麼問題，遺留了什麼問題，作了簡潔清楚的解釋。有理由說丘成桐是對卡拉比猜想理解最深刻的人，他的解釋是理解卡拉比猜想最好的陳述。在此基礎上，丘成桐給出一個定理，首次宣稱對卡拉比猜想的證明。1977 年 6 月，丘成桐在訪問紐約大學數學科學科朗研究院的時候終於完成了長達 73 頁的卡拉比猜想詳細完整的證明，1978 年 5 月被刊載出來，題為"關於緊凱勒流形的裡奇曲率和復蒙日-安培方程，Ⅰ"，直接醒目地將證明卡拉比猜想的核心都體現在了一起，並且文中對卡拉比猜想有了更加深刻簡明地闡釋。
2. 2 證明猜想的數學過程
在討論丘成桐如何證明卡拉比猜想之前，還需要交代一下他對卡拉比猜想的理解。卡拉比猜想到底在說什麼，找出卡拉比的兩篇論文讀一下，都未必清楚，這也是它一度被認為毫無意義的原因之一。對於這個猜想，丘成桐在 1977 年 5 月和 1978 年 5 月兩篇論文中，分別做過兩次不同表述，這表明就是到最後，丘成桐對卡拉比猜想的理解都在不斷昇華。在第二次表述中，丘成桐先將卡拉比在"凱勒度量空間"一開始給出的凱勒度量空間的性質，描述成這樣一件事: ( 1，1) 型能夠成為某個凱勒度量裡奇形式的必要條件是它必須是閉的，並且它的上同調類必須表示 M 的第一陳類; 在此基礎上，丘成桐提出卡拉比所猜想的就是: 上述必要條件也是充分條件。
理解清楚卡拉比猜想之後，丘成桐依循卡拉比提出的證明思路，開始構造與卡拉比猜想等價的非線性偏微分方程。主要有兩步:第一步: 從上述必要條件出發構造方程。如果( 1，1) 型是閉的並且是 M 的第一陳類，那麼它可以成為某個凱勒度量的裡奇形式; 再根據已知，能夠找到 M 上的一個光滑函數F，就會有一個方程( 0. 1) : 珘Ri珋j － Ri珋j = －2Fzizj。經過兩次等價變換，最後方程( 0. 1) 等價變
換為方程( 0. 4) : det gi珋j +2φziz( )j det ( gs珋t ) － 1 = Cexp { }F 。
第二步: 反過來，如果方程( 0. 4) 可以求解，那麼 Σ i，j ( gi珋j + 2φ /zizj ) dzid zj 就定
義了一個凱勒度量，同時卡拉比猜想也得到了解決。這樣，丘成桐就找到了與卡拉比猜想等價的方程( 0. 4) 。對於方程( 0. 4 ) ，卡拉比已經證明了它的解的唯一性; 並且還證明了方程( 0. 4) 等式右邊非常接近於一個常量時，方程( 0. 4) 存在一個光滑解。遺留的問題是: 在沒有任何限制條件下，證明方程( 0. 4 ) 解的存在性。丘成桐全面討論了方程( 0. 4) ，不僅解決了卡拉比遺留的問題; 同時還推廣了卡拉比猜想，將方程( 0. 4) 推廣到了更一般的情形復蒙日-安培方程( 0. 6) :det gi珋j +2φziz( )j det( gi珋j ) －1 = ( s1 2h1 +… + sp 2hp) ( t1 2k1 +… + tq 2kq) －1 ×exp F( x，φ{ })
只是，這種推廣存在一個問題，就是與方程( 0. 4) 相比，方程( 0. 6) 相當難解。怎麼辦呢? 丘成桐發現當方程( 0. 6) 的右邊特殊成形式 exp φ + F( x{ }) 時，方程( 0. 6) 不僅比方程( 0. 4) 容易求解，而且還能夠簡化成具有豐富典範線叢的緊凱勒流形上典範凱勒-愛因斯坦度量的存在性和唯一性問題。受此啟發，丘成桐從方程( 0. 6) 的特殊情況開始，通過使用連續性方法，最後求解了方程( 0. 6) 。
求解方程( 0. 4) 和( 0. 6) 的過程說起來簡單，做起來是相當複雜的，尤其是其中所使用的大量先驗估計，有的文字評價其為眼花繚亂與驚心動魄。
第一步，丘成桐為證明建立一套術語。第二步，丘成桐就迅速開始了他高超的先驗估計技術。在 C = 1 的情況下對方程( 0. 4) 的解 φ 進行二階估計和三階估計。具體的數學過程是相當技術性的，丘成桐首先對方程連續作了兩次微分，並且引進正規化拉普拉斯算子的表示，得到一個新的方程。為了便於計算，他使用了一套新的座標系，引進了 13 個常量，應用了一些性質，進行了 13 次估計，使用了歸納假設，另外還在測地球上使用了很多假設討論 φ 解。進行了幾乎 14 頁的運算，丘成桐終於給出了方程 φ 解的二階估計。為了獲得方程 φ 解的三階估計，丘成
桐考慮了卡拉比［33］在 1958 年曾研究過的函數 S = Σ g'i珋r g'珋j s g'k珋tφi珋j kφ珋rs珋t的拉普拉斯算子，通過多次估值之後，得到了 φ 解的三階估計。
第三步，丘成桐開始目標方程的求解，證明卡拉比猜想。在上述 φ 解二階和三階估計的基礎上，丘成桐找到了一個 φ 解。根據這個結果，可以找到卡拉比猜想所等價方程( 0. 4) 的一個光滑 φ 解，這樣卡拉比所猜想的凱勒度量的存在性就得到了證明。
第四步，丘成桐討論了方程( 0. 6) 。這個方程無法直接求解，丘成桐採取了從特殊到一般的方法，先求解這個方程右邊退化成 4 種特殊情形的方程，這個過程還給出了許多好的數學結果。
第一種情形是方程( 0. 6) 右邊退化為 s 2kexp{ }F 。丘成桐首先將這個方程近似成一個非退化橢圓方程，在使用了 20 多個常量，進行了 20 多次估值和相當複雜的計算後，求解了這個方程，同時他還證明了這個方程解的存在性和唯一性。這裡的唯一性證明，同時也證明了卡拉比所猜想的凱勒度量的唯一性; 結合上述第三步對存在性的證明，卡拉比猜想就得到了完整證明。第二種情形是方程( 0. 6) 右邊退化為 exp F( x，φ{ }) 。丘成桐首先證明了這個方程解的唯一性，接著使用迭代法，通過大量技術性很強的估值、計算，使用了大量常量，最終求解了這個方程。這個方程的求解，同時引出了一個結果: 在具有豐富典範線叢的凱勒流形上，存在唯一的凱勒-愛因斯坦度量。
第三種和第四種情形分別是( 0. 6 ) 右邊退化為 s 2k exp F( x，φ{ }) 和 s12k1 s2－ 2k2exp{ }F 。在求解過程中，丘成桐使用了與所解方程近似的非退化橢圓方程，使用了大量常量，進行了大量估值、計算，最終求解這個方程。
完成上述 4 種特殊情形的求解工作之後，方程( 0. 6) 就很好求解了，丘成桐最終求解了這個一般的復蒙日-安培方程。至此對於與卡拉比猜想等價的方程( 0. 4) 以及其推廣後更一般的方程( 0. 6) ，丘成桐都進行了全面的研究，不僅完美地完成了卡拉比猜想的首次完整證明，而且還首次推廣了卡拉比猜想。這篇論文可以說將丘成桐在數學上的才華展露無遺。
丘成桐解決卡拉比猜想之後，在論文還沒有正式發表出來之前，就立刻受到卡拉比邀請到賓夕法尼亞大學做報告，聽眾中有賓夕法尼亞大學的著名數學家卡茲丹( J． L． Ka-zdan) ，他的主要研究領域也是微分幾何和偏微分方程。幾個月之後，卡茲丹進一步簡化了丘成桐在二維情況下卡拉比猜想的證明( 這個簡化與丘成桐的文章刊載在同一期上) 。得知此事，法國朱西厄( Jussieu) 數學中心的奧賓( T． Aubin，1942 ～ 2009) ，邀請卡茲丹介紹了丘成桐在二維情況下對卡拉比猜想的證明以及卡茲丹本人的簡化。1977 年年底，奧賓和博規農( J． P． Bourguignon，1947 ～ ) 在布爾巴基討論班正式介紹了丘成桐的工作，並且二人獨立地將丘成桐在二維情況下對卡拉比猜想的證明推廣到了高維。
丘成桐在完成卡拉比猜想證明以後的心情，不是僅僅用激動、欣喜這些詞語能夠表達的。六年的時間，那是一種成長，那份心情也深深地鐫刻在了這個研究中一直給予他鼓勵的人中: 卡拉比、陳省身、鄭紹遠、小林昭七( S． Kobayashi，1932 ～ ) 、科恩( J． J． Kohn，1932 ～ ) 、勞森( B． Lawson) 、尼倫伯格( L． Nirenberg，1925 ～ ) 和蕭蔭堂( 1943 ～ ) 。陳省身就丘成桐的論文專門組織了報告會，丘成桐認為這對論文在表述方面的改進有重要意義，無論怎樣表達陳省身的幫助與鼓勵都毫不誇張。丘成桐認為和鄭紹遠合作的文章對論文有非常明確的影響。丘成桐認為和尼倫伯格就復蒙日-安培方程進行過多次很有幫助的交談，特別是有關卡拉比計算的復類比。丘成桐將該研究獻給了他的母親梁若琳，並以此紀念他的父親丘鎮英。他說父親生前研究領域包括哲學、經濟和中國文化，父親的深刻洞察力對他有很大的影響。父親早早去世了，母親挑起了貧窮的家庭重擔，撫養和教育了 7 個孩子。丘成桐說沒有父母長久以來的教育，他不可能成為一個數學家。
3 卡拉比猜想與凱勒-愛因斯坦度量的密切關係
解決卡拉比猜想的榮譽毫無爭議的屬於丘成桐，但是在 20 世紀 70 年代還有一個比丘成桐大 7 歲的年輕人，他在卡拉比猜想上的工作需要提及，即法國數學家奧賓。奧賓生前就職於法國朱西厄數學中心，1990 年當選法國科學院通訊院士，2003 年成為法國科學院院士，主要研究方向是微分幾何和非線性偏微分方程，他被稱為法國幾何分析的一個重要先驅，他廣為人知的兩個研究是山邊問題和卡拉比猜想。
對於奧賓在卡拉比猜想上的工作，主要體現在 3 篇論文中: 一篇是 1970 年的《黎曼度量和曲率》，有 42 頁; 一篇是 1976 年的《緊凱勒流形的復蒙日-安培方程》，有 3 頁;還有一篇是與 1976 年論文同名的 1978 年的論文，這個論文主要是對 1976 年論文的詳細論述，有 33 頁。
在 1970 年的論文中，奧賓在第一陳類為負，且假定凱勒流形具有非負全純雙截曲率情況下，求解了類似丘成桐的右邊為 exp( F) 的復蒙日-安培方程 ; 在 1976 年的論文中，奧賓充分論證了第一陳類為負的情況，並且在第一陳類為正的情況下，求解了類似丘成桐的右邊為 exp( cφ + F) 的復蒙日-安培方程 ; 從而給出了卡拉比猜想的一個部分證明。在 1978 年的論文中，奧賓對 1976 年論文進行了更加詳細的論述 ，論文頁數由 3頁變為 33 頁。
阿布德塞拉姆( A． B． Abdesselem) 在紀念奧賓的文字中指出: 奧賓最後幾乎完全證明了卡拉比猜想。在丘成桐之前，奧賓的這些工作確實是一個巨大的貢獻，但是數學界並未因此而震驚。丘成桐認為原因有兩個: 一是奧賓是在假定凱勒流形具有非負全純雙截曲率的情況下，給出的卡拉比猜想的證明，這種具有非負全純雙截曲率的凱勒流形的類是相當有限制性的; 二是在證明中，奧賓使用了變分法，這種方法不是很容易理解的。
就是奧賓本人在後來的著作中也提到了這一點，他說連續性方法更簡單( 這是丘成桐使用的方法) ; 而且在討論卡拉比猜想時，他使用了連續性方法，而不是變分法。後人常常將奧賓與卡拉比猜想聯繫在一起討論; 奧賓本人則更傾向於將他的這些工作與凱勒-愛因斯坦度量聯繫起來，在他後來的文字中可以看到這一點。從這個角度，奧賓的上述工作又可以闡述為: 在 1970 年的論文中，奧賓首次研究了緊凱勒流形上凱勒-愛因斯坦度量存在性問題，並將其轉化成奧賓方程 logM( φ) = － λφ + f的求解問題。在 1976 年的論文中，奧賓證明了第一陳類為負的緊凱勒流形上存在凱勒-愛因斯坦度量。對於奧賓的工作，博規農做了很好的解釋。
凱勒-愛因斯坦度量是裡奇形式與凱勒形式成比例的度量，也就是要求複流形上的度量不僅是凱勒度量，而且也是愛因斯坦度量。其中愛因斯坦度量是裡奇形式與度量形式成比例的度量，之所以稱為愛因斯坦度量，是為了紀念愛因斯坦，因為這個條件也相當於
說這個度量是真空愛因斯坦方程的一個解。允許愛因斯坦度量的黎曼流形稱作愛因斯坦流形; 這類流形與很多重要論題有聯繫，包括楊-米爾斯理論。在已知的愛因斯坦流形的例子中，非常好的一類就是凱勒的。
緊凱勒流 形 上 凱 勒-愛 因 斯 坦 度 量 存 在 性 問 題 與 卡 拉 比 猜 想 有 密 切 關 系，奧 賓、貝斯( A． L． Besse) 、莫羅亞努( A． Moroianu，1971 ～等人的著作都有專門章節論述，總的來說，有四個方面:
( 1) 從二者提出問題的角度分析。凱勒-愛因斯坦度量存在性問題是: 已知緊凱勒流形上存在凱勒-愛因斯坦度量的必要條件是第一陳類為負、零和正; 那麼這是否也是充分條件。換句話說就是，緊凱勒流形上是否存在凱勒-愛因斯坦度量。卡拉比猜想的問題是: 已知緊凱勒流形上每一個( 1，1) 型成為其上某些凱勒度量裡奇形式的必要條件是這些形式表示第一陳類; 那麼這是否也是充分條件。換句話說就是，緊凱勒流形上每一個表示第一陳類的形式是否都是其上某些凱勒度量的裡奇形式。
( 2) 從二者所等價的方程分析。凱勒-愛因斯坦度量存在性問題等價於求解奧賓方程，當 λ 為負、零或正時，這個方程的解分別給出第一陳類為負、零和正的凱勒流形上的凱勒-愛因斯坦度量。特別的當 λ = 0 的時候，這個問題就是卡拉比猜想: 即第一陳類為零的緊凱勒流形上，允許裡奇平坦凱勒度量。後來卡拉比曾通過口頭交流，將猜想推廣成第一陳類是負定的且愛因斯坦度量具有符號 － 1( 即 λ = － 1) 。 到丘成桐的時候，卡拉比猜想可以分為三種情況，即第一陳類為負、零或正。在這三種情況下，凱勒-愛因斯坦度量的存在性問題就等價於求解右邊為 exp( cφ + F) 的復蒙日-安培方程。
( 3) 從卡拉比、丘成桐和奧賓的論文分析。本文前邊有關卡拉比和丘成桐論文的論述是側重於卡拉比猜想的，而事實上，在他們的論文中都可以看到有關凱勒-愛因斯坦度量的論述。卡拉比在《凱勒度量空間》一文中，實際上也隱含著猜想了凱勒流形上存在凱勒-愛因斯坦度量，其中凱勒流形的第一陳類為負、零和正，並且它不允許任何全純向量場。丘成桐在《卡拉比猜想以及代數幾何中的一些新結果》一文中給出凱勒-愛因斯坦度量這個名稱以及對其的闡釋，在《關於緊凱勒流形的裡奇曲率和復蒙日-安培方程，Ⅰ》中，定理 5 就給出了第一陳類為負時的凱勒-愛因斯坦度量。奧賓在《黎曼度量和曲率》一文中就明確提到了愛因斯坦度量，該文第十節就是有關"愛因斯坦度量存在性的充分條件"。
( 4) 從卡拉比、丘成桐和奧賓論文給出的結論分析。1976 年，丘成桐在給出卡拉比猜想完整證明的同時，也證明了第一陳類為負和零的情況下，緊凱勒流形上凱勒-愛因斯坦度量的存在性。丘成桐在卡拉比猜想上的工作與卡拉比的工作一起被稱為卡-丘定理，這是一個有關卡拉比猜想的定理。丘成桐和奧賓在凱勒-愛因斯坦度量存在性上的工作與卡拉比的工作一起被稱為奧賓-卡-丘定理，這是有關凱勒-愛因斯坦度量存在性的定理; 進一步，第一陳類為零情況下的凱勒-愛因斯坦度量被稱為卡-丘度量，第一陳類為負情況下的凱勒-愛因斯坦度量稱為奧賓-卡-丘度量。
部分的因為奧賓和丘成桐的這些工作，再次引發了對愛因斯坦流形的研究。1979 年9 月，在法國的埃斯帕利永就召開了關於愛因斯坦流形的討論會。
儘管卡拉比猜想與凱勒流形上凱勒-愛因斯坦度量存在性問題密切相關，但二者畢竟是兩個獨立的問題。卡拉比猜想在 1976 年由於丘成桐的工作，已告完全解決; 而凱勒流形上凱勒-愛因斯坦度量存在性問題，當時奧賓和丘成桐解決了第一陳類為負、丘成桐解決了第一陳類為零的情形，對於第一陳類為正的情形，至今仍未解決。不過對於數學和物理，第一陳類為正情形的重要性遠遠不及前兩種情形。後來，丘成桐曾提出一個穩定性原則來研究這個問題，這個想法被稱為丘成桐猜想。對此丘成桐的學生們，包括田剛，作了諸多努力，給出了一些有意義的結果。最近，在這個問題上，唐納森和陳秀雄又給出了一些進展。
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