用戴德金分割很容易定义实数集上的全序性质，这也是大家喜欢用戴德金分割的原因。用柯西序列构造实数，四则运算很容易定义，不过要用到(ε, δ)语言。但是定义实数集的全序性质并不自然，当然你可以选取由有理数组成的单调柯西列。我以为戴德金分割更简单。
用Cauchy系列构造实数序列,证明实数全序不必选取单调的比例数列。首先定义正实数:正限制离开0的Cauchy序列的形式极限,负实数类似.然后证明一个实数x只能是下面三种之一1.正实数2.负实数3.零
直观地说，Dedekind-MacNeille completion是一个偏序集的“最小”的完备化。这也能从另一个角度直观理解为什么0.999...=1 —— 否则，实数集就不是有理数集的“最小”完备化了（这时，你可以去掉0.999...或1中的一个，而得到一个仍然完备的真子集）。
设0.999999999…为x
10x=9.9999999999…
10x—x=9.999999999…—0.999999999…
9x=9 x=1 即 0.999999999=1
这样一个经典的问题，难道数学界没有定论吗？问题主要出现在处理无限小数和有限小数“序”关系上。事实上靠平时比有限小数的这种大小这种方法已经不对了。小数模型本身就是实数这个概念的一个载体。用分式直接表示有理数就可以了。dedkind的做法比较直观，缺点是不易引入实数的运算。而cantor基本列的引入符合数学分析的主流，因为极限语言本身就能很好的说明实数应该具有的四则运算性质。
＂所有的实数，当它是有限小数（即从小数点后某位开始全是零的数）时，它有两种十进>制表示，当它不能表示成有限小数时，它只有一种十进制表示＂，似乎有点问题，０．９８，０．９９８，０．９９９８也可以表达成一个Cauchy序列，与１．０００序列等价，同样的表示有无数种，只不过按你写的实数定义，所有这样的无限趋近同一极限值的有理序列被定义为等价，所趋向的数值定义为唯一的实数，这样定义的所有实数的集合才有了可以用极限来表述的基础，然后才能用极限来求此序列的极值。
但还是有需要证明的地方，就是当ｎ为任一确定的数值，０．９ｎ是有理数无疑，但ｎ趋向无穷时还是有理数却并非显然，所以你还需要证明０．９ｎ当ｎ>趋于无穷大时是一个有理数。
在证明过程中提到0.999……≤1显然是成立的，那么如果要在证明0.999……＝1的过程中证明x显然小于1，是x＜0.999……≤1。那么在数学中≤是小于或等于，也就是两个中有一个成立。如果是0.999……＜1,那么可证0.999……＝1。如果0.999……＝1，那么就是在证明0.999……＝1的过程中默认了0.999……＝1。
这个问题的本质，应该是解释0.999...(后记为x)到底是个啥东西，或者说他的定义是什么。最后的结果无非就是将实数同构与有理数的分割，然后证明分割相等，故而x=1。事实上，作者的论证基于两点：第一： x \\leq 1, 第二， for all y<1, can prove y
既然想用戴德金分割来解释这个问题，只需要把0.9...的戴德金分割给明明白白地定义出来就行了吧。我是这样证明的: 若存在一个分割A|B，记为0.9...，其中A无上界，B有下界，并且满足
1) 若有理数x属于A，则x<1;
2) 若存在某个有限小数0.9...9, 使得有理数y<0.9...9，则y属于A.
那么A={x<1}.
我说，首先定义分割0.9...=A={x<1}|B={x>=1}，然后说该分割是具有那两条性质的唯一分割不是说得更清楚些吗？你辛辛苦苦证明了这个分割的唯一性，为什么不干干脆脆地告诉大家，0.9...就是A={x<1}|B={x>=1}？
用戴德金分割的眼光来看，对于所有原有的有理数r有个现象，A={x
那么在我看来，要用戴德金分割来解释，这就是0.9...和1！
0.9... = A={x<1}|B={x>=1}
1 = A={x<=1}|B={x>1}
事实上，x并没有什么神秘的，这就是一个记号，首先需要的是对它进行一个明确的定义。如果有人认为它定义就是级数求和，那可以证明它收敛到1，这在我看来也是十分严格的，而且这些收敛数列的逐项加减也完全合符。如果向作者定义x是满足以上两个性质的实数，自然也可以用序来证明。
并非“初等方法不行”，而是“错误的初等方法不行”——即不能对无限小数做想当然的四则运算（例如，一般来说，我们不知道两个随意给出的无理数的乘积是否无理数），一开始所指出的三个错误的初等方法都犯的是这个错误。而对实数比较大小则是正确的方法，这基于实数集的全序性和稠密性。通过确定“小于”的定义来理解0.9999...与1的相等性，如果一个数小于另一个数，那么我们可以认为其实在两个数之间是有空隙的，或者可以说是至少有一个数可以插入到这两个数之间，如果这样的定义成立，则0.9999.......与1中间是不能插入其他数，那么就没有大小之分，所以他们是相等的。
这个问题的本质本来就很简单，在任何数学系的大一学生眼中这都是个显然的事情。如果不科普会有什么后果呢，就强硬地说“要有一点前提共识，0.99999...只是一个记法，其实表示的是 1-1/10^n，当 n 趋向于无穷时的极限”，于是就有人反驳说“极限等于一，0.999999……不等于1”……其实本质上来说，严格这个问题的关键点就在于“无限小数的严格表示”。有的人采用了级数的方式，我采用了Dedekind分割的方式，这两种方式都是大一的数学分析课里会讲到的。我的区别只是在于其他人没解释为什么“级数可以严格表示所有的无限小数”，而我解释了为什么Dedekind分割可以做到。
在我们看来显然的东西，非数学系的同学未必觉得显然。所以，我的想法是，你向他们解释“所有实数都能用级数严格表示”，这样他们就更能接受“0.999...也能用级数表示”；同理，你向他们解释“所有实数都能用分割唯一确定”，这样他们就更能接受“0.999...也能用分割唯一确定”。
但不管用什么办法解释，你知道不管什么数学理论总会有一个不言自明的“起点”而无法无限制地追溯。 对于一般人来说，接受“0.999<0.999...”作为起点，要比接受“用级数定义0.999...”更自然——虽然在我们看来确实“一样强硬”，但对不学数学的同学来说，心理接受度是不一样的。换句话说，他们“直觉上”就会觉得“0.999<0.999...”成立（这个“直觉”也确实是正确的），所以容易接受这个结论；但没接受过数学分析训练的他们“直觉上”不太容易接受“0.999...是1-1/10^n，当 n 趋向于无穷时的极限”。
“从1/q>0，怎么推出1/q>1/10的n次方>0”——注意1/q是一个确定的有理数而不是一个变量，你只需要取n使得10^n比q大就可以做到。“引入了一个极限为0的数”——注意只有数列或函数才能谈“极限”，没有极限为0的“数”这种说法，我们谈一个“数”时，它是一个确定的常量，而不是变量。“但不能上面科普时用分割，到下面证明时候就变成了四则运算和极限”——我并没有说证明中不能用四则运算，只是不能用“错误的四则运算”——对无限小数做想当然的四则运算就是错误的（例如，一般来说，我们不知道两个随意给出的无理数的乘积是否无理数），在任何中学数学课本里你都找不到“无限小数的四则运算”的定义的。我的证明中只用到了有理数的四则运算，这是在初中课本里就定义过的（即分数的四则运算），是合法可行的。 另外，我的证明中没有用到任何“极限”的概念“这还不如直接定义0.999...的极限等于1”——如上所说，0.999...是一个确定的常数，没有“0.999...”的极限这种说法。你只能谈数列0.9, 0.99, 0.999, ...的极限。
做数学就是建立一套游戏规则，然后自娱自乐。这里的“游戏”就是不同的数学分支，“游戏规则”就是各个分支里的公理。公理无所谓对错，只是你要玩这游戏，就要接受这套规则；这就好像你问“为什么足球比赛要每队11人？为什么只有守门员可以用手碰球”？没有为什么，这就是”规则“。当然设定规则并不是没有道理胡乱设定的，一般情况下，就是为了“让游戏更好玩”，或者为了“让游戏更逼真”。你如果不喜欢现在某个数学分支里的游戏规则，你也可以改变它，去提出你自己的规则，只不过那样的话你就不是玩这个游戏了，而是建立了一个新游戏。至于你能不能说服其他做数学的人也来跟着你玩这个新游戏，这就看你的本事了。
閱讀更多 歷史深度揭祕 的文章
