如果你問一個大學老師，什麼是高等數學的基礎課？他可能會和你說，微積分和線性代數。對於一個非理工專業的大學生來講，如果在大學裡只學兩門數學課，恐怕就是這兩門了。微積分主要是訓練我們的思維方式，而線性代數，大家在工作和生活中真的用得上。
關於線性代數，我們其實已經講了兩講了，只是我沒有用這個名詞罷了。我們講的都是向量代數，它其實就是線性代數中最基本的內容。在線性代數中，用到的最多的概念是矩陣。矩陣是怎樣一回事，它有什麼用途呢？讓我們先來看一個具體的矩陣：
從這個矩陣中你可以看出，它無非就是把數字按照橫豎排起來，每一行、每一列數字的數量都相等。比如上面一個矩陣有3行，每行有4個數，我們稱這種矩陣為3x4的矩陣。
瞭解了矩陣的形態，你可能緊接著就有一個問題：把數字這麼橫平豎直地排列起來有什麼用？事實上，把數字這麼橫平豎直地排列不是原因，而是結果，矩陣產生的原因是向量的擴展。
我們在前面講了，向量是橫著的一排數字，每一個數字代表一個維度的分量。比如一個企業在招聘員工時把所有考核的項目總結為N個維度。每一個崗位對各種能力的側重點就是一個N維向量，比如辦公室部門對人的要求是能力、溝通、協作、健康四個維度，寫成V1=（3，2，5，0）。
我們上一講講了，可以用它來算算和某個候選人的相似性。當然公司不僅僅有辦公室一個部門，還有比如銷售部門、研發部門，等等。每一個部門可能又有不同的崗位，每一個崗位的要求就是一個向量。於是，我們就會有V2，V3，V4，……，VM。
這麼多向量如果把它們放在一起，怎麼表示比較好呢？顯然最直觀的方式，就是把它們一行行排起來，這形成了一個有M行N列的矩陣。這就是矩陣的由來。
今天“矩陣”這個詞無論是在數學上還是生活中都經常用，但是它在數學史上出現的時間非常晚，直到1850年才由英國數學家西爾維斯特（James Joseph Sylvester）發明，而構成它的向量其實出現的時間也很晚，是1835年才被提出來的。
當然，你如果讀一些文章會提到早在3世紀的時候，中國數學家就發明了矩陣的原型，類似的話日本人、意大利人和阿拉伯人也都這麼說，但是那些所謂的發明和今天的數學發展沒有半點關係。
因為對於一個矩陣，不僅僅是把數字一行一列地排起來，更重要的是每一行、每一列需要能夠被賦予特殊的含義，而且需要發明出一系列相應的計算，讓這個工具能夠解決很多問題。西爾維斯特所提出的矩陣則滿足了這些要求。關於矩陣的運算有很多，我們接下來就介紹兩種最簡單的，即加法和乘法。
首先講講矩陣的加法。
我們可以把一個M行N列，或者說MxN的矩陣想象成一個公司的M個崗位，每個崗位有N種技能。我們假設這個公司是一家跨國公司，它會對人員有一個總體上的要求，但是對於不同國家的員工在要求上也會有不同的調整，比如對英語水平的要求。
我們把總體要求用矩陣A來表示，某個國家相應的調整用矩陣B來表示。那麼矩陣A+B，就是在某個國傢俱體的要求。為了直觀起見，我們就假設矩陣A是上面那個3x4的。矩陣B也需要是一個3x4的矩陣。我們隨便寫一個B矩陣，比如像下圖這樣：
當我們進行A+B時，只要把兩個矩陣中相應位置的元素逐一相加即可，也就是說矩陣A加矩陣B，會得到下面的結果。
今天在生活和工作中，經常需要有相對固定的大的原則，以及針對各種情況的小的變動，這時候就需要有一個相對固定的核心，再加上一個增量，而不是複製一大堆，拷貝以後逐一修改。
相比矩陣加法，用途更大的可能是矩陣乘法。我們先來說說一個矩陣和一個向量是如何相乘，然後再擴展到矩陣和矩陣的乘法。
我們來看一個實際的例子，假如第一家投資銀行的股票基金、債券基金和高風險基金的回報分別是：7%、3%和10%，第二家投資銀行三類金融產品的回報分別是8%、2%、9%。當然，這些都是歷史數據，只能作參考。
你現在有1萬元要投資，你是找第一家投行，還是第二家投行給你管錢呢？我們不妨把這兩組數放到下面這個矩陣中：
然後我們根據自己對各種投資的喜愛和對風險的承受能力，分別測算在不同情況下的回報是多少。
比如在第一種情況下，1萬元按照上述投資類型的分配方式如下：7000、2000、1000。因為這1萬元分到了三個維度中，我們把它寫成一個向量，不過為了等會兒方便做乘法，我們將向量豎著寫：
這時，如果把錢交給這兩家公司，總的回報就是矩陣R和P1相乘的結果，我先把結果給大家看看，然後再說說是如何計算的。
我們可以看到，第二家投行帶來的投資回報更高。那麼這兩個數是怎麼計算的呢？拋開矩陣和向量，這個問題其實也能算清楚。
就以第一家投行為例，7000元7%的回報是490元，2000元3%的回報是60元，1000元10%的回報是100元，加起來是650元。我們把這個式子列一下：
7%x7000+3%x2000+10%x1000=650
你如果注意一下上面的矩陣和向量，你會發現這就是矩陣第一行每一個數字，分別和向量的每一個數字相乘之後再相加。為了清楚起見，我把矩陣和向量中參與運算的數字用紅顏色標了出來：
類似的，第二個結果690，就是矩陣第二行和向量各個元素相乘後再相加的結果。
當然，可能有朋友會說，這不就是算術中加權相乘後的連加嗎，為什麼要搞出矩陣這樣一個工具？如果只有三個維度，可能不需要用矩陣，但是如果是1萬維、1百萬維，人通常就想不清楚了，矩陣就非常直觀，使用它既方便又不容易出錯。
我們可以這樣理解矩陣和向量相乘，它是批處理解決問題的思路，而過去我們學的乘法和連加是單個解決問題的思路。
接下來我們再看另一種情況，假如你這時對風險的承受力比較強，願意將更多的錢放在高風險、高回報的基金中。比如你按照3000、2000、5000來分配投資，我們把這個向量稱為P2，這時哪家的回報更高呢？
我們再用矩陣和向量的乘法做一次，得到下面的結果。
你可以看出，這時第一家投行給的回報更高了。當然，你還可以嘗試其它的投資方式，對應的向量就是P3，P4，P5……
今天，你如果帶著一大筆錢找到高盛或者摩根士丹利，問它們會打算怎麼幫你投資，它們為你做的第一件事情就是根據歷史數據，幫你推算出在不同的投資配比情況下，回報是多少，也就是做我們剛才做的事情。因此，如果你想在投行找工作，用到最多的數學工具就是線性代數中的矩陣運算。
下面，我們把P1，P2, P3……這些向量一字排開，其實就得到一個矩陣P。我們可以寫成下面的形式。
注意，矩陣P的每一列，就是一個個向量P1，P2, P3……
接下來，我們就可以定義矩陣R和矩陣P的乘法了。我們把矩陣R和P中的第一列，也就是向量P1相乘的結果，放在結果矩陣的第一列，把矩陣R和P中第二列向量P2相乘的結果放在結果矩陣的第二列，以此類推。
我們就得到了兩個矩陣相乘的結果，它也是一個矩陣：
在圖中，我特意標紅了第一個矩陣的第二行，和第二個矩陣的第二列，以及結果矩陣第二行、第二列的數值，因為紅色的行和紅色的列，元素兩兩相乘再相加後，就是結果矩陣中的那個結果。對於一般的情況，第一個矩陣中的第i行，和第二個矩陣的第j列，相乘相加，結果就是結果矩陣中第i行、第j列位置的數值。
那麼從矩陣和向量相乘，到矩陣相乘有什麼好處呢？前一種情形我們可以理解為小批量處理，後一種則是大批量處理。
要點總結：
我們講了矩陣這個人們虛構出來的一種工具，利用這種工具，我們能夠讓計算從單個的，變成批處理的。矩陣有很多用途，我們只講了一點點，從它的加法，我們可以理解核心矩陣和增量的關係；從它的乘法，我們看到了它在金融中的應用。
要再次強調的是，將單個計算變成大批量處理，這是我們今天在信息時代要有的思維方式。
在結束本模塊之前，我們要回答最後一個問題。為什麼討論矩陣運算這樣問題的數學分支被稱為線性代數？我們回顧一下矩陣和向量的乘法就知道答案了。
在運算時，左邊的那個矩陣裡的數字可以被看成是一組常數係數，右邊豎著的向量中的數字則是未知數變量，這樣矩陣和向量的乘法就變成了一組線性方程。如果把它們畫在空間中，就是直線、平面或者立方體，都是線性的，不會有任何曲線。因此涉及到這一類的代數運算被稱為線性代數。
當然，自然界中很多數學問題並非線性的，但是我們在解決它們的時候經常將問題近似為線性的問題，這樣可以利用很多線性代數的工具來解決。
有了解析幾何以及代數的基礎，我們就可以正式開始講高等數學中最為重要的微積分的問題了。也希望你把這一講分享給你的朋友，幫助他們提高批處理問題的能力。我們下一講再見。——吳軍《數學通識五十講》
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