慈小姐
很多人不理解，其实是因为误解。把定义解释清楚就好明白了。
一米是存在的，1/3米这个长度存在吗？肯定也存在的，那么把这个长度用小数表示出来呢？大家就会发现0.3无论怎么写都不够，这个3写的越多，越接近1/3，但是永远不会相等，是的，永远不会相等，因为无穷是写不完的。那么该怎么用小数表示呢？
先看我们用汉字怎么表示，（0.3无限写下去，会无限接近而永远也达不到的那个数。）这个达不到得数是多少呢？肯定是1/3啊，好了，汉字表示出来了，那用小数表示呢？既然写不完，好吧，发明一个符号，0.3∞。这个数就是括号里汉字表示的同样的意思，0.3无限写下去也到不了的数，是多少呢？当然就是1/3。
所以，0.3∞表示的就是1/3，那个手写永远也达不到的数，换了个符号来表示。同理，0.9后面无论你怎么写9，也到不了1，但是会无限趋近1，我们就用0.9∞来表示这个无限趋近的数，所以0.9∞就是1。
卧牛
1和0.9的无限循环哪个大？简单的数学题曾引发人类数学危机！
最让人纠结的等式，拥有多彩的论证形式
“0.999…=1吗?”很多人在小学和中学时都遇到过这个问题，并且现在国内外网站上关于这个问题的讨论仍然很多，认为0.999…=1和0.999…<1的两派都有自己的理由。
认为0.999…=1的人常给出下面三种证明方法：
证法1（最简单的“证明”）：0.111…=1/9,0.222…=2/9，…,0.999…=9/9=1；或者0.333…=1/3，两边同时乘以3，得到0.999…=1。
调查中发现，不少学生看了这个证明之后都会转而开始怀疑第一个等式的正确性。仔细想想你会发现，“1/3 等于 0.333…” 与 “1 等于 0.999…” 其实别无二致，它们同样令人难以接受。正如很多人会认为 “0.999… 只能越来越接近 1 而并不能精确地等于 1” 一样，“0.333… 无限接近但并不等于 1/3” 的争议依旧存在，问题并没有解决。
证法2（“充满争议的证明”）：设0.999…=x，则10x=9.999…；两边同时减去x，得10x-x=9.999…-0.999…；化简，得9x=9，解得x=1；所以，0.999…=x=1。
有专家在看到这个证明后如此评价：“0.999... 既可以代表把无限个分数加起来的过程，也可以代表这个过程的结果。许多学生仅仅把 0.999... 看作一个过程，但是 1 是一个数，过程怎么会等于一个数呢？这就是数学中的二义性。他们并没有发现其实这个无限的过程可以理解成一个数。看了上面这个证明而相信等式成立的学生，可能还没有真正懂得无限小数的含义，更不用说理解这个等式的意义了。”
证法3：若0.999…不等于1，假设0.999…<1，则0.999…
但认为0.999…<1的人对上述三种证明方法表示怀疑，因为这三种证明方法都是基于数学事实“无限循环小数是分数的另一种表示”，将无限循环小数0.999…看作是分数9/9（=1）的另一种表示，就像0.111…是1/9的另一种表示一样。对整数1，我们在计算1/1时，首商0，然后添加小数点，后面就只能继续商9，最后得到1=1/1=0.999…。这只是一种除法运算，并没有真正证明“0.999…=1”。
也有人用无限等比数列求和的方法证实或证伪0.999…=1:
0.9=9/10，0.99=9/10+1/100,0.999=9/10+9/100+9/1000,…,
0.999…=9/10+9/100+9/1000+…+9/10ⁿ=[9/10*(1-1/10ⁿ)]/(1-1/10)=1-1/10ⁿ。
到这里，有人利用无限等比数列求和的方法证实0.999…=1,有人证伪0.999…=1。证实0.999…=1的人认为当n趋于无穷大时，1/10ⁿ趋于0，1-1/10ⁿ趋于1，所以0.999…=1；而证伪0.999…=1的人认为，当n趋于无穷大时，1/10ⁿ趋于0，但永远不等于0，1-1/10ⁿ趋于1，但永远小于1，所以0.999…<1。
下面看一下图像证明法：
在这张图中，我们可以很清晰地看到边长为1的正方形被不断地对半切割开来，而它的面积为1。但是依然有人质疑这种方法，因为这种方法看起来并不完美。实际上大正方形的右上角是永远无法被填满的。
这个问题的背后，是不同数学体系的碰撞
上述两种说法都看似有道理，但0.999…要么等于1，要么不等于1，不可能同时出现两种结果。
这里出现分歧的原因是对无穷小的认识不同，这也是第二次数学危机中争论的焦点：无穷小究竟是否等于0？无穷小量是一个变量，而在用无穷等比数列求和的证明方法中，左边0.999…是一个常量，右边无限数列求和得到的表达式是一个变量，所以上述证明过程是无效的。
那么如何证明“0.999…=1”呢？这就需要用到戴德金切割定理，也称实数完备性定理：对两个实数集A，B， A中的任意元素a小于B中的任意元素b，则A和B构成实数集R的一个切割，则或者实数集A有最大数，或者实数集B有最小数。
戴德金切割定理同样适用于有理数。根据戴德金切割定理，可证明有理数集Q的一种分割确定唯一一个有理数，且相同的分割确定的有理数相同。可以证明0.999…和1确定的有理数集的分割相同，从而0.999…=1。
戴德金分割证明如下：
我们可以尝试在1和0.9循环分别进行分割，分割成集合A集合B，和集合C集合D。
A等于C或B等于D，那么别可以证明1和0.9循环相等。
在证明A是C的子集时，我们可以先讨论有理数。然后再利用无理数分割后上无最小有理数。知道一定有有理数大于讨论的无理数但小于0.9循环。
至此便证明了，0.9循环等于1。
物理角度的再认识
1.、无限的意义是什么？
0.9的无限循环真的可以吗？如果让一个数学家去回答这个问题，答案当然就是肯定的，这没毛病。然后把这个问题抛给一个物理学家去回答的话，物理学家会陷入沉思，并且告诉你，这需要通过实验去验证。
物理学家得到的结论是，在目前的理论框架下，0.9不能无限循环，因为时空是有最小单位的，那就是普朗克时间和普朗克长度。我们这里不去讨论普朗克时间和普朗克长度的来源，因为这涉及到了引力量子化和大统一理论，目前也只是一个半经典的方程。
在物理学中，由于0.9不能无限循环，因此0.9的循环和1拥有完全不同的物理意义，它们是不相等的，0.9的循环小于1。
2、有质量的物质的运动速度不能达到光速
高中物理课上，我们都接触过狭义相对论中的洛伦兹协变公式。在质速方程式中我们可以看到，任何一个有质量的物体，如果速度被加速到接近光速，那么它的质量将变得无穷大。我们当然是没有那么多的能量能办到这种事。如果把光速看做是1的话，即使是一个电子我们也只能是把它加速到0.9的无限循环，但永远都不可能等于1,。因为，这要消耗掉整个宇宙的能量。所以1和0.9的循环有着本质的区别。
3、0.9无限循环不能等于1关乎着宇宙是开放还是闭合
如果我们把0.9的无限循环看做是我们现在这个宇宙的曲率，那么即使它是无限接近于1的，也意味着，我们的这个宇宙是个封闭的宇宙。当宇宙的曲率等于一时，我们就是一个平坦的开放的宇宙。这是完全不同的两种情况。数学家不应该让0.9的无限循环等于1。
4、概率统计中的问题
关于无限小是不是有意义的问题也引起了一大批统计学家的关注，今年年初三位统计学家联名发在《自然》杂志上发表了一封公开信，质疑了统计学课本中写到的：“没有统计显著性则不能‘证明’零假设（关于两组之间无差或者两个实验组和对照组的假设）。同时，统计显著性也不能‘证明’其他假设。”。他们表示，这种误解用夸大的观点扭曲了文献，而且导致了一些研究之间的冲突。这一质疑迅速得到了，超过800名科学家的支持。
《自然》杂志连续刊发了超过40篇论文都是关于：“21世纪统计推断：P＜0.05以外的世界”的学术论文。这三位科学家指出，他们并不是要禁止P值的使用，而是提议在常规的二分法的情况下不使用P值来决定一个结果是否反驳一个科学假设。其实如果让0.9的无限循环等于1，相当于在数学上正是否定了0.1的无限次方这个无穷小量的真正意义。
这一争议引发类似的数学界的争议，引发第二次数学危机
经典的芝诺悖论，这也算是物理学界的一个争议，阿基里斯与乌龟芝诺赛跑，乌龟在阿里斯基前面先跑100米，然后阿基里斯才开始跑。
当阿基里斯跑了100米的时候，乌龟多跑出去一米，阿基里斯跑了一米的时候，乌龟又多跑了一厘米，以此推论下来，阿基里斯永远都跑不过乌龟。虽然现实中是很快就跑过去的，但是在数学里，似乎永远都是追不上的。《庄子·天下篇》中也提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
其实这一争议的实质就是数学上所谓的第二次数学危机的问题。早在公元前450年，芝诺就注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论。到了17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。
直到19世纪20年代，威尔斯特拉斯在前人工作的基础上，消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。然而关于无穷小量的争议并没有因此就结束，关于第二次数学危机，自其爆发开始直到二十一世纪，始终都存在着不同意见。
结语
正如高斯所说数只是我们心灵的产物 。但是我觉得也许这一切会因为数学的发展而改变，就像无理数实数的出现一样。也许有一天，我们能够公理化的形容无穷小。在那一天，我们就能更好的对待0.9循环和1的区别了。
其实本文并不是一个简单的0.9的无限循环是否等于1这个问题的争论，我想说明的问题是：如果我们不能给数学赋予一定的意义，那么数学存在的意义是什么？科学向来讲究的是求真、求实，向客观存在探讨真理是科学的本质。希望有一天科学家能够找到最终答案，在0.9的无限循环这个问题面前不再彷徨。
中学数学深度研究
这个问题有点无聊。
连极限的概念都没弄懂，也敢吹什么数学证明？
0.9后面再加多少个9，也不是1。只是与1的差距越来越小。当小数点后面9的个数有无穷个的时候，认为无限趋近于1，或者说差趋近于零。只是在这个意义上，两者相等。注意是定义为相等，不证自明。
用小学生能听懂的话来说，那就是：0.9999999999……是个小数，1是整数。
1是自然数。0.99999999……不是，只是一个无限循环小数。
自然数是从屈指可数开始的，1就是第一个能数出来的。小数是算出来的，直接或间接；分数是分割出来的。
零不是数出来的，零是减出来的。桌子上有苹果，数了个数，拿了同等个数，生活经验说桌子上没有苹果了，算术说有零个。如果想拿的超过桌上苹果数量，就产生了负数。唐代引进阿拉伯数字的同时引进了零的概念。引进零概念才是真正的数学体系开端，同阿拉伯数字一样，不是华夏自古以来天然就有的。
如果在特定的数学领域，涉及到具体概念，一般来说，1与0.99999999……是否相等，也并不是证明的问题，而是这门数学如何定义。比如近似计算只要求最终结果保留几位有效数字，又允许四舍五入，那么只要有限个，例如4个9就可以认为等于1。注意这只是表明，实际问题中人们不可能真正得到无限精确的1，只能说这个1的精度是多少。
生活中，人们常见的温度计可以看做一根竖直放置的数轴。确定一个零点，高于的是零上，正值，反之负值。但冰冻的过程其实是渐变的，你真的不知道冬天室外的一盆水究竟什么时刻达到零度的，只有大概时间段，因为这不是瞬间完成的。从零开始增长，到达1的过程也是这样。不会是突变，那个临界点就是困扰物理学家的趋近界。
大家知道，二进制中，只有1和0，0.99999……就没法凑热闹了。
布尔代数中，1的定义是正极向，或者高电位，当然也可以是负逻辑，也没0.99999……什么事。
所以，0.9999……是否等于1，只是某个数学或工程技术领域的规定。从此出发建立一套体系。它本身不可证明，除非你一定要陷入死循环。
Jack595769000539
反正我认为不相等。
实数是人为定义的，就像四舍五入一样，或者可以说如果不是人为定义的，它们就不相等。举个例子：
0.3×9=2.7
0.33×9=2.97
0.333×9=2.997
0.3333×9=2.9997
0.33333×9=2.99997
……
看到没有永远有一个7拖在后面，如果没有3×9=27，写7进2，加到前面一个7（7＋2=9），然后变成9。所以我们知道这些9是怎么来的，都是7进2加成9的。也就是说没有最后一个27进2，7的前面就不可能是9，换句话说前面就算有无数个9，最后一位肯定是7。
好了我们继续看
0.33333……×9=2.99999……7（此时0.33333……不是循环数，就当比无数少一个吧，或者接近无数）
0.33333……×9=2.99999…… （此时0.33333……是个循环数）
咦怎么一循环最后那个7不存在了呢？
问题就出在这里，请问2.99999……（循环数）这里的9怎么计算来的，你和我说3×9=27，进2得来的，那最后一个7呢？
你会回答因为0.33333……是循环数，所以2.9999……后面没有7，老师是这样教的，数学家也是这样说的，实数的定义（什么稠密性啊）不允许7存在。
7不存在？但是7参与了计算整个过程，没有最后一位7（3×9=27）进2，前面9就不可能有，管你是实数还是虚数，是有理数还是无理数，是循环数还是非循环数，所有的数都遵循四则运算基本法则，如果凭空消失（就像四舍五入一样），那为了等式成立，一定是人为的。
假如我非要写成2.99……7呢？人家说这个数不存在，有悖于实数。
我想未来要是有一个牛逼的数学家给这类数定义为超实数（暂时用这个名字）呢？那么是不是2.99……7就可以？
再看
0.33……×1=0.33……
0.33……×2=0.66……
0.33……×3=0.99……
0.33……×4=1.33……（后面2没有了）
0.33……×5=1.66……（后面5没有了）
0.33……×6=1.99……（后面8没有了）
0.33……×7=2.33……（后面1没有了）
0.33……×8=2.66……（后面4没有了）
0.33……×9=2.99……（后面7没有了）
为什么歧视×4 5 6 7 8 9，把循环数后面的干掉？因为实数啊，后面那个和前面不同没有意义。而且既然是无限循环了，哪来的后面那个数？说的好。我就反问，没有后面那个数参与计算，你循环个毛线？你前面是不是循环还不一定呢！不要干过河拆桥的事好吗？（就像临时工一样，参与工作，干完走人）
所以我认为，0.99……和1是不相等的，因为一开始就是数学家给实数定了义，把最后一个数拿掉了。或者换句话说，在实数的定义下，可以是相等的。
大家有不同见解欢迎评论！
孤军战喷子
证明满足0.999...
