提要
我们在思考问题的时候，若能根据题中的结构特点，把问题中貌似独立，但实质上又相互联系的量看成一个整体，从而在宏观上寻求解决问题的途径，这种思想方法就称为整体的思想方法。
知识全解
一．整体法的概念
所谓的整体法，就是研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识地放大问题的视角，将要解决的问题看成一个整体，通过研究得到整体形式或整体处理后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的。
只有所求的问题含有（或通过变形含有）已知条件中的“整体”才可以使用整体法。
二．整体法的解题策略
利用整体思想，把一些看似彼此独立，实质上紧密相连的量作为整体进行处理，不仅会使问题化繁为简，化难为易，而且有助于培养学生的创造性思维能力，提高分析问题和解决问题的能力。
事实上，有许多数学问题，如果我们纠缠于题目中的“细枝未节”，则解题过程冗繁，还有可能解不出，但若能统观全局，用整体思想方法来处理，则可化繁为简，出奇制胜。
学法指导
类型1 整体代入
例1 若a-2b=3，则9-2a+4b的值为___
【解析】把a-2b=3整体代入9-2a+4b=9-2(a-2b) =9-2×3=3
【点评】解决此类的常规方法是先求出a、b的值，然后代入求值，但将已知式整体代入到变形后的求值式，便十分简捷地求得代数式的值。
类型2 整体换元
【点评】若把已知的两个方程联立为方程组，直接求x,y不易求出，同时要检验解的合理性。
类型3 整体变形
【点评】把变形后的1/2a-3b看作整体
类型4 整体代换
【点评】这里体现了一种整体代换的思想，之所以用A表示第一个多项式主要是为了书写上的方便、运算过程的简洁，还不容易出错
类型5 整体加减
【点评】这里体现的是一种整体合并的思想，当已知出现了两个方程的时候，可以考虑让二者相加减得到要求的形式．
类型6 整体补形
例6 如图所示
已知AD是△ABC的中线，BE交AC于点E,交AD于点F，且 AE=EF，求证：AC=BF
【解析】已知AD是△ABC的中线，可以通过作辅助线将三角形补全为平行四边形。 如图所示，延长AD到H，使DH=AD,连接BH、CH
∵BD =DC，DA =DH
∴四边形ABHC为平行四边形
∵AC=BH，∠BHD=∠CAD.
又∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA
∵∠EFA=∠BFD
∴∠BHD=∠BFH
∴BF=BH
∴BF=AC．
【点评]按照常规思路，要把AC、BF两条线段移动到同一个三角形中，或者移动到两个全等三角形中来证明，但是辅助线不易作，将三角形补全为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，可由等量代换来证得AC= BF。
类型7 整体改造
例7 有甲、乙、丙3种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4. 20元。现在计划购甲、乙、丙各一件，共需多少元？
【解析】设购甲、乙、丙各1件分别需x元、y元、z元
解关于x+3y、x+y+z的二元一次方程组，可得x+y+z= 1.05
即购甲、乙、丙各一件共需 1.05元，
【点评】因为要求的未知数有3个，而题设条件中只有两个等量关系，所以要把甲、乙、丙每件的钱数求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各一件的钱数看成一个，问体，问题就可解决。由于所关注的不是x，y，z的值，而是x+y+z整体的值，故解题目标明确，直奔主题即可。需要说明的是，这里用到了整体改造，通过改造使得每个方程中都有x+y+z这个整体，如果把x+3y、x+y+z设成其他未知数，那么就是整体换元思想。
类型8 整体合并
例8 已知：实数x、y满足3x-7y=8，9x-5y=-2，则6x+2y=______
【解析】用9x-5y=-2减去3x-7y=8，可得6x+2y=-10
【点评】本题的常规思路是把3x-7y=8，9x-5y= -2联立成二元一次方程组，解得x、y的值，再把x、y的值代入6x+2y得到答案，这样处理虽然也可得到答案，但解题过程要比用整体合并思想繁杂得多
经典例题
例1 利用整体法求值
若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b-2)-8=0，则a+b=____
【解析】将（4a+4b）（4a+4b-2）- 8=0中的4a+ 4b看作个整体，
∴4a+4b-4=0，或4a+4b+2=0
∴a+b=1，或a+b=-1/2
【点评】本题中只有一个方程，却有两个未知数a、b，一般情况下，欲求出每个未知数是不可能的，因此考虑把所求的代数式a+b整体处理
例2 利用整体法解方程组
【解析】由②得：9(x+2y-3z)+43z=63 ④
将①代入④，得9×（-36）+43z=63
∴z=9
由③，得9x-4（x+2y- 3z）=207 ⑤
将①代入⑤，得9x-4×(-36) =207
∴x=7
将x=7，z=9代入①，得7+2y-3×9=-36
∴y=-8
【点评】本题打破了传统的“消元”常规，视'x+2y-3z"为整体，使解方程组变更得轻松简便，这种运用整体思想解方程组的方法，实质上是一种技巧，是对特定的方程组而言的。
例3 利用整体法求阴影面积
如图所示，
分别以n边形的顶点为圆心，以单位为1的半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为___ 个平方单位
【解析】观察图形，阴影部分由n个扇形组成，若分别求出每一个扇形的面积然后求和是很难实现的。因此可整体思考：由于这n个圆的半径都相等，且这n个圆心角度数之和正好是n边形的外角和等于360度进而可解得：
【点评】本题运用整体处理的技巧，使看似困难的问题简捷获解
例4 利用整体法解反比例函数问题
如图所示，
已知双曲线y=k/x(x>0)经过矩形OABC的边AB、BC的中点F、E，且四边形OEBF的面积为2，则k=___
【解析】设B点的坐标为( 2a，2b)，则E点的坐标为(a, 2b)，F点的坐标为（2a，b），所以k=2ab
因为4ab-1/2×2ab×2=2，所以2ab=2，即k=2
【点评】本题若直接计算k的值比较麻烦，采用的方法是首先设出点B的坐标，借助于坐标表示出图形的面积，整体求解．
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