本文刊載於《三聯生活週刊》2020年第5-6期，原文標題《為什麼我們會相信“心形函數”的愛情？》，嚴禁私自轉載，侵權必究
我們既太篤定心形所代表的愛情含義，也過分相信數學對於愛情不確定性的準確表達。
一封數學情書
發明瞭解析幾何的法國數學家勒內·笛卡爾（René Descartes）和瑞典公主克里斯蒂娜（Kristina）之間，有段十分浪漫的愛情傳說，堪稱理工科學霸的表白典範。
故事開始於1650年斯德哥爾摩的一個午後，52歲的笛卡爾正在街頭研究數學問題。這位法國哲學家、數學家因為黑死病的流行逃到了瑞典，此時全部的財產只有身上破破爛爛的衣服和隨身攜帶的幾本數學書。
他專注的神情吸引了一位路過的少女——18歲的克里斯蒂娜。她拿起笛卡爾的數學書和草稿紙，和他交談起來。言談中，笛卡爾發現，這個小女孩思維敏捷，對數學有著濃厚的興趣。兩人道別不久後，他接到國王的通知，被聘請為小公主的數學老師。克里斯蒂娜就是這個公主。愛情，在日復一日的相處中悄然萌芽。然而，當這一切傳到國王耳中時，國王大怒，下令馬上將笛卡爾處死。最終，在公主的哀求下，笛卡爾被遣返回法國。
身體孱弱的笛卡爾回國後很快染上了黑死病，生命進入倒計時。在最後的日子裡，他仍然思念著克里斯蒂娜，每天堅持給她寫信，盼望心上人的迴音。可是這些信都被國王攔截下來。當笛卡爾寄出第十三封信後，他永遠地離開了這個世界。這封最後的情書沒有寫一句話，只有一個方程式：r=a（1-sinψ）。
看不懂這封信的國王召集了全城的數學家，卻沒有任何人能解開這個方程式。於是他放心地把這封信交給了悶悶不樂的公主。拿到信的克里斯蒂娜立刻找來紙和筆，將這個函數方程在座標軸上畫了出來，一顆心形圖案出現在眼前，這是笛卡爾對克里斯蒂娜最後的告白。這個方程，就是著名的“心形函數”。
心形函數極座標解析式及圖像
這段傳說既美麗又硬核，符合人們對一位數學家至深告白的全部想象，因此流傳甚廣，感動無數吃瓜群眾。然而，當我決定求證這段故事時，翻遍外網，卻都沒有找到關於這個故事的記載。這段愛情故事實際上是完全的中國製造，和都市傳說一樣毫不可信。
歷史上，笛卡爾確實擔任過克里斯蒂娜的老師，並因她而死，但故事遠沒有這麼浪漫。和傳說不同，克里斯蒂娜並不是一位柔弱的公主，她的父親是著名的北方戰神古斯塔夫二世。1632年古斯塔夫二世在呂岑之戰中去世，年僅6歲的克里斯蒂娜即位成為瑞典女王，並在短短21年的統治期間，帶領瑞典進入強盛頂峰。
1649年9月，53歲的笛卡爾接受了女王克里斯蒂娜的邀請，從荷蘭來到瑞典的斯德哥爾摩，擔任宮廷教師為女王講授哲學。此時的克里斯蒂娜24歲，已經掌權多年。克里斯蒂娜對於笛卡爾的到來非常高興，免去他一切宮廷瑣務，只需要每週三次在早上5點前來和她討論哲學問題。但是，她沒有料到的是笛卡爾痛恨早起。因為自幼體弱多病，笛卡爾養成了賴床的習慣，上午11點之前不會起床。剛好，那一年冬天是斯德哥爾摩60年來最寒冷的冬季，所以這場教學成為了一道意料之外的催命符，他很快患上了肺炎，並因此在第二年春天便離開了人世。
法國數學家勒內·笛卡爾
真正和故事中這位公主形象比較相符的其實是波希米亞國王腓特烈五世的長女——伊麗莎白公主。她天性聰慧，求知慾極強，在認識笛卡爾之前就通讀了他的大部分著作。自1643年起，笛卡爾與伊麗莎白公主開始通信。伊麗莎白渴望能夠搞懂笛卡爾的形而上學問題，特別關注肉體與靈魂之間的關係。她提出的第一個問題就與身心互動有關，但是笛卡爾的回信並沒有令她感到滿意，所以公主懇請笛卡爾就“靈魂的激情”做出更清楚的說明。這影響了笛卡爾的思考方向，同時也令《靈魂的激情》這本著作得以誕生。
更有意思的是，伊麗莎白還很喜歡數學，一項業餘愛好就是解析幾何題。笛卡爾曾在給伊麗莎白的信中寫道：“經驗告訴我，有能力瞭解形而上學推論方法的人，大多數無法理解代數的結構。而那些能夠了解代數的人，又通常沒有能力瞭解形而上學。我尊貴的公主殿下，在我看來，您卻同時能夠輕易地瞭解兩者。”而公主給笛卡爾的信，總是署名“對您充滿深情的朋友致上”。雖然兩人相差了22歲，但他們的書信充滿了感情，看不出任何年齡的差距。幾乎所有的笛卡爾傳記作家都猜測，他們是不是有了男女之情，然而誰也無法從這些滿是思想討論的書信中捕獲任何證據。
不過，對於笛卡爾去瑞典宮廷擔任女王老師的決定，伊麗莎白曾堅決反對，態度異常激烈。後來，當波蘭瓦薩王朝的佛瓦蒂斯四世向伊麗莎白求婚時，她斷然拒絕，理由竟然是，“我已經愛上了笛卡爾的哲學，並希望為此奉獻終身”。
法語愛情詩《梨之戀》所附的插圖
人類的心臟，愛情的象徵
儘管這個故事純屬虛構，但為什麼人們會相信它，其中一項原因自然要怪在這個函數圖形獨特的形狀上。這難免引人胡亂猜測，其背後是否有一個迷人的愛情故事。然而，好笑的是，就連心形函數也並不真的是笛卡爾的發明。
究竟是誰第一個畫出這個讓人誤會的函數，已不可考，但心形函數中所使用的極座標系，是笛卡爾去世百年後的另一位偉大的數學家——艾薩克·牛頓（Isaac Newton）在他1736年出版的《流數術和無窮級數》中首先應用到平面上的。此外，心形函數的英文名稱“Cardioid”，則是意大利數學家卡斯蒂隆（De Castillon）1741年正式命名並發表在英國皇家學會期刊《自然科學會報》上，意為“像心臟的”。
不過，即便心形函數並不是笛卡爾的發明，但作為解析幾何的奠基人，沒有他便不會有心形函數的誕生，人們便樂得將這個故事安排在了他身上。不過，為什麼我們看到心形就會聯想到愛情呢？是什麼時候，這種圖形成為了愛情的標誌？
“在13世紀和14世紀之前，它並不意味著愛情。”加州大學洛杉磯分校的中世紀文學教授埃裡克·雅格（Eric Jager）在他那本《心形圖案的前世今生》中指出。儘管人們看到心形的時候，就會聯想到一系列與愛相關的詞語，但古希臘人可能會對這種用法感到極度困惑。
現在人們熟悉的這種形狀，最早是作為裝飾形狀出現在許多古希臘陶器上，那些被粗略描繪的葉子等植物圖案，環繞成了一個並不複雜的曲線，並不蘊含其他意味。但當愛情的概念在中世紀開始成形時，它的象徵意義也隨之成形。
早在古希臘，抒情詩就常常把心和愛聯繫在一起。在已知最早的希臘故事中，詩人薩福為自己“瘋狂的心”因愛顫抖而痛苦。她生活在公元前7世紀的萊斯博斯島，身邊圍繞著她的女弟子，她為她們寫了充滿激情的詩歌，比如：愛搖撼了我的心，就像山上的風吹亂了橡樹。
希臘哲學家們也或多或少都同意，心臟與人們最強烈的情感有關，包括愛。柏拉圖認為，在愛情以及恐懼、憤怒、暴怒和痛苦等負面情緒中，胸部佔據了主導地位。亞里士多德進一步擴展了心臟的作用，賦予它至高無上的地位。古羅馬人把心和愛聯繫起來是很平常的事。愛神維納斯在她兒子丘比特的幫助下點燃了人們的心，而丘比特的箭總是能射中人的心臟。
在心形圖像的歷史上，常被提及的一幅作品出自1255年詩人蒂博（Thibaut）創作的法語愛情詩《梨之戀》（Le Roman De La Poire）所附的插圖，被認為是解剖學文獻之外的第一張心臟插圖。人們認為，這首詩和這幅圖像的靈感來自：一個深陷戀愛中的人可以把他或她的心交給所愛之人，就像詩中的情人把梨給別人一樣。然而，詩作插圖中這顆心的形狀更像一個梨，與我們如今熟知的樣子仍然有些差別。
另一個早期將心臟與愛結合在一起的例子來自中世紀手抄卷《馬內塞古抄本》，這是一本時間大約在1300到1340年之間的情詩合集。其中一頁插圖中，一棵奇特的樹矗立在一對夫婦之間，形成了一顆心的輪廓，心的紋章上有一個拉丁字母的“愛”。
意大利詩人弗朗西斯科· 巴爾貝李諾的詩歌著作《愛的記錄》插圖
到了1400年，意大利詩人弗朗西斯科·巴爾貝李諾（Francesco Barberino）的詩歌著作《愛的記錄》（Documenti d'amore）出版，大膽描繪了一個裸體的丘比特，站在脖子上戴有心形花環的馬背上，射出箭和玫瑰的圖像。這個圖案很快得到了普及，心形開始出現在掛毯、撲克牌和其他藝術形式上。
如今收藏在盧浮宮的15世紀早期掛毯《心的禮物》（Le don du Coeur），描繪的是一名男子小心翼翼地拿著那顆紅色的小心臟，向一位棲息在綠葉中的女子走去，似乎要把這顆心交付於她。這一形象成為“宮廷式愛情”最受歡迎的代表之一。“宮廷式愛情”是支配著歐洲貴族宮廷行為的柏拉圖式愛情規則。這一富於幻想的畫面在貴族圈子裡不脛而走，表現了高尚而有禮貌的愛情。與此同時，1440年，約翰內斯·古騰堡用活字印刷機引發了一場信息革命，心形所代表的愛情含義也就此傳播開來，為人廣泛接受。
收藏在盧浮宮的15 世紀早期掛毯《心的禮物》
如何用數學找到真愛
“心形函數”故事的另一個迷人之處在於，人們試圖在感性的愛情和理性的數學之間建立聯繫。這可能源自於歷史上，許多數學家就嘗試運用數學的方法來幫助自己尋求真愛。
如何選擇人生伴侶？約會有點像賭博，如果太早安定下來，你可能會錯過遇見“真愛”的機會，但如果等待太久，你可能會孤獨終老。那麼，在你決定和這個人步入婚姻殿堂前，究竟該和多少人約會？這個問題被數學家們稱作“最優停止理論”，也叫“未婚妻問題”，20世紀50年代曾在美國數學家之間被反覆討論。普遍認為的是，1949年，美國數學家梅里爾·弗勒德（Merrill M. Flood）首先解決了這個問題，並在1961年由英國統計學家丹尼斯·林德利（Dennis Lindley）首次發表。根據這個理論，要找到最適合結婚的人，你必須忽略前37%的人。
比如你一生中如果會遇到100個求愛者，就應該拒絕掉前37%（即37個），然後從第38個求愛者開始，一旦發現比前面37個都好的人，就果斷接受他。不過，37%法則有一個小問題：如果最佳人選本來就在這37%的人裡面，錯過這37%的人之後，你就再也碰不上更好的了。但你可能無法判斷最佳人選是否已經被拒，所以仍會痴痴等待，導致最後將有37%的概率“失敗退場”，或者以被迫選擇最後一名求愛者的結局而告終。
德國數學家約翰內斯·開普勒（Johannes Kepler）在第一任妻子死於霍亂後，曾嘗試用數學方法來尋找下一任妻子。在1613年寫的一封信中，他描述了自己如何計劃用兩年的時間來面試11位可能的未婚妻候選人，並對她們進行排名，然後做出慎重的選擇。儘管不知道他所採用的“妻子適當性函數”是什麼，但他可能感覺到了“未婚妻問題”的缺陷。開普勒試圖回頭向他面試的第四個人求婚，但她已經離開了，因此拒絕了他。最終，他選擇與11位候選人中的第五位喜結連理。
約翰內斯· 開普勒
與此同時，“最優停止理論”認為，人們應該在“約會期”過去37%之後，才開始尋找他們想要安定下來的伴侶。舉個例子，如果一個人想在35歲之前結婚，並且從15歲開始約會，那麼他/她應該在15+（35—15）×37%=22.4歲左右開始接受下一個比以前都優秀的對象。
數學家們用數學的方法處理與愛相關的問題比我們所預想的更多。2010年菲爾茲獎得主賽德里克·維拉尼（Cédric Villani）曾在他的日記體自傳《一個定理的誕生》中寫道：“坐飛機一向只選擇經濟艙”，因為從統計學意義上來說，“經濟艙裡的姑娘更可愛”。
2010年，在單身3年後，當時還在華威大學攻讀博士學位的數學家彼得·巴克斯（Peter Backus）以《為什麼我沒有女朋友》為題寫了一篇論文。其中，他用一種被稱為“德雷克方程”的數學公式，設置了“住在我附近的女性有多少”“多少人年齡適合”“多少人單身”“多少人和我合得來”等一系列問題，計算出全英國適合他的真命天女只有26位。並且他還得出，每晚，他只有1/285000的機會遇到她們中的一位。巴克斯為他的長期單身找到了理由，但他同時感到，要找到合乎標準的對象近乎渺茫。不過，好消息是，巴克斯最終遇到了其中的一個——來自倫敦的女孩羅斯，現在他娶了她。
數學還被運用到了婚姻關係的預測中。心理學家約翰·葛特曼（John Gottman）和數學家詹姆斯·穆雷（James Murray）曾開發了一種數學模型，通過對夫妻對話時的情緒表現進行打分，比如認同加4分、有興趣加2分、拒絕溝通扣2分，來量化夫妻間吵架時，彼此間的互動和影響，並通過視覺化的圖像分析，為遭遇婚姻危機的夫婦提供諮詢。
他們發現，最終每對夫婦的分數走勢都會慢慢趨於穩定，不會有太大出入。這種趨勢代表了這對夫妻之間的問題，如果他們的對話評分曲線一直向下，這就代表兩人實在很難彼此欣賞，導致婚姻最終可能走不下去。根據不同的函數圖像，葛特曼和穆雷將婚姻分為五類：不穩定型、理智型、逃避型、敵意型和分裂型。其中前三者儘管相處模式不同，但都屬於比較能夠長久的婚姻。通過對130對伴侶長達12年的跟蹤實驗，這套模型的總體預測精準度高達94%。葛特曼和穆雷此後將這項研究出版成書，名為《婚姻的數學：動態非線性模型》。
如果說，將愛情和數學聯繫起來，在以前是專屬數學家們的高端玩法，那麼如今隨著在線約會逐漸普及，數學在愛情中的作用逐漸加強。在日本漫畫《戀愛禁止的世界》中，為了解決少子化的問題，日本政府禁止了自由戀愛，改為由政府全面接管。也就是說，政府會通過分析一系列遺傳基因和各種數據資料，利用數學模型幫你決定合適的婚姻對象，保證兩人之間的契合度。儘管這是一個極端的假設，但越來越多的交友軟件正在利用一套數學解決方案來幫助用戶匹配潛在的合適人選。
為什麼人們總是希望藉助數學的力量去解答愛情？伽利略曾說：“數學是描述現實、揭示世界運作原理的語言，這種通用語言現已成為檢驗真理的黃金標準。”或許，正是因為愛情的不確定性，讓人們希望能夠用一種準確的語言去加以描述和檢驗，而數學“非錯即對”的標準，也能夠為那些在情感中猶豫不決的人們提供直接的解決方案。不過，需要警惕的是愛因斯坦所說的那句話：“數學定律離現實越近就越不確定；數學定律越確定，離現實就越遠。”
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