飲漆：漆一斗飲水三鬥而極，飲水二斗七升即極，問餘漆水各幾何？
——張家山漢簡《算數書》
一、何為《算數書》？
1983年12月，湖北江陵張家山漢墓出土大量漢簡，內容涉及漢代法律、軍事、曆法、醫藥等各個方面。其中有一篇為《算數書》，由190枚竹簡組成，共包含69道數學題，根據簡中《歷譜》記載的日期可知，張家山漢簡的年代下限不晚於西漢呂后二年（前186年）。一直以來，東漢時期的《九章算術》被公認是中國最早的數學書，而《算數書》則以領先兩三百年的成績再次刷新了記錄。
“飲漆”一題位於《算數書》66和67簡，問題背景是關於漆業收稅。
張家山漢簡
《算數書》中“飲漆”一題的簡文
二、繁榮的漆業
在試著理解這道題並找到答案前，我們不妨先回顧下當時官私漆業的大致情況。
在中國，先民們使用漆的歷史可以追溯到新石器時代，此後漆器工藝不斷髮展。戰國時期，專門種植漆樹的漆園數量已經具有一定規模，並且官辦官管，莊子就曾經擔任過宋國孟地的漆園吏（莊子者，蒙人也，名周。周嘗為蒙漆園吏，與梁惠王、齊宣王同時——《史記·老子列傳》附《莊周傳》）。
割漆
到了秦代，漆園的產出要進行評比，如果不幸被評定為下等，所有負責人都要受罰，要是連續三年為下等，漆園管理者就可以直接下課永不錄用（睡虎地秦簡之《秦律雜抄》）。
至漢代，漆器的分工日益精細，製作督造嚴格，產品責任制“物勒工名”更是落到了實處(循秦律，漆器上一般要標註年號，產地，工匠名)。除了官家漆園，私人能否經營漆業呢？《史記·貨殖列傳》中寫道“陳、夏千畝漆；齊、魯千畝桑麻……此其人皆與千戶侯等”，由此可見，個人是可以靠大量種植漆樹發家致富的。
馬王堆漢墓出土漆鼎
三、避稅與驗漆
既然是門生意，漢朝政府當然會收稅，經營漆林的人必須按照一定的比例繳納漆作為稅（漆稅），剩下的才能進入市場自由買賣。
古往今來的不少納稅人都有一個共性：希望在不被發現的前提下，儘量少繳稅。漢代的私人漆林主自然不例外，他們利用漆與水相融的特性往生漆裡摻水上繳。假如國家一畝收十鬥（一斗為十升）漆，每鬥都半漆半水，那麼一畝漆林就能少交五升稅，瞬間避稅一半，更多摻水，更多避稅，更多歡樂。有趣的是，雖然人的貪婪是無止境的，但漆與水的相融卻是有極限的。
生漆
在2004年，日本大阪產業大學的學者進行了漆加水的模擬實驗，最終證實：如果在純漆中加一定量的水，其外觀與純漆毫無差異；直到一份純漆與三倍的水融合（也就是漢簡裡所說的“飲水”），漆的黏度才有明顯變化，成為果凍狀的飽和狀態，一眼就能被人識破，這就是漢簡中所謂的“極”；此外就算漆與水的比例達到一比三時，漆的品質也不會被破壞，一旦設法將漆中的水分蒸發出去，就會恢復原來的狀態。
雖然不知道兩千多年前的秦漢稅吏們是怎麼發現這個規律的，但從張家山漢簡的“飲漆”數學題可知，基於這個認知，飽受注水漆“殘害”的他們吹響了反攻的號角：但凡繳稅，先驗貨，既然一份漆“飲”三份水剛好到極限，那麼如果上繳的漆“飲”了不到三份水就變果凍了，說明漆裡一定事先兌過水，得補繳。
每一個被應用題摧殘過的小學生都不懂為什麼甲隊一定要先出發，乙隊非得過了30分鐘再追；或者好好的水池，為什麼小明蓄水蓄了一半，小剛又放水，簡直無事生非，莫名其妙。這道漢代應用題就不同了，稅吏們必須得算清楚逃稅“刁民”究竟注了多少水，以及還需要補繳多少這樣的注水漆。
回到這道數學題本身：如納漆稅者原本需繳納純漆一斗（10升），已知純漆10升+水30升時會達到極限狀態，現有漆10升+水27升就到極限了，可以判斷這漆中已經含水，也就是說此人拿來的是注水漆。注水的罪過暫且不說，官吏的目的是為了收到足夠的漆稅，那麼為了達成合格狀態（即40升混合物，含10升純漆和30升水），還要補入多少注水漆和多少水呢？
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答案是30/37升漆 和 81/37升水，你算對了嗎？
《算數書》漢簡中給出的標準答案
參考文獻：
大川俊隆,田村誠,劉恆武.張家山漢簡《算數書》“飲漆”考[J].文物,2007(04)
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