哪怕笑得再大聲
要想弄清楚這個問題，就得先弄清楚一個函數在某一點的導數是什麼。求一個函數在一點處切線的斜率是導數問題的思想來源之一，如下圖所示
即，已知函數f(x)，並告訴你函數圖像上的一點P，過P點做該曲線的切線，問如何求該切線的斜率？
我們知道對於一條直線而言，它的斜率定義就是在直線上任取兩個點(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，那麼斜率就是(y₂-y₁)/(x₂-x₁)，但是求曲線的切線斜率則遭遇到了困難，因為我們只知道一個點P的座標，而不知道第2個點，因此我們需要採用全新的手段。
我們採用用割線來逼近切線的方法，即，在點P附近的函數圖像上取另外一個點Q，連接PQ兩點得到一條直線，這條直線就是函數的一條割線，而現在我們有了兩個點，因而割線的斜率是可以求出來的。在點P附近可以找到無數個Q點，因此可以做出無數條割線來，我們讓Q向P點的方向移動，那麼這條割線也就隨之移動，當Q無限接近於P時，割線也就無限接近於切線，如下圖所示
因此割線的斜率的極限就是切線的斜率，我們再來明確一下這個計算公式，先在函數圖像上把我們需要的信息標出來
P點的座標是(a,f(a))，Q點的座標是(x，f(x))，因此割線PQ的斜率就是f(x)-f(a)除以x-a，再讓x無限趨近於a，於是就得到了切線的斜率，我們把這個數值稱為f(x)在這一點的導數，記為f'(a)，即
同樣上面的過程，我們還可以換一套符號系統，如下圖
我們把P和Q兩點橫座標的差值記為h，於是按照同樣的方法，我們又可以得到另外一個式子
上面兩個式子的實質是一樣的，稱為函數f(x)在x=a處導數的第一定義和第二定義。
由上面的定義可以看出，函數在一點的導數值，實際上就相當於是一個極限值，而我們學極限的時候也已經學過，極限的結果有三種情況：某個常數、正負無窮、不存在。而一條直線的斜率又不能是正負無窮，因此當這個極限值算出來是正負無窮或不存在時，我們也說這一點的導數不存在，即函數在這一點不可導。
我們所能想象出來的函數絕大部分都是可導的，那麼不可導的會有什麼樣的情況呢？
首先最明顯的一個例子，如果函數在某一點是間斷的，那麼一定是不可導的，證明如下：
我們在學函數的連續性的時候，已經學過，函數在一點a處是連續的意思就是滿足下面這個三聯等式:
於是如果函數在一點是斷開的，那麼至少有一個等於號不成立，我們不妨設
於是代入到導數計算式中求右極限的式子
可以看出當x無限趨近於a的右側的時候，分母不等於0，而分子等於0。於是他的極限只能是無窮，因而函數在這一點不可導。
其實我們直觀的想象一下也可以明白其中的原因，函數如果在一點是斷開的，那麼就無法做切線了，因而肯定是沒有導數的。
上面這個結論也是高中時我們常說的，可導必連續的由來，因為這句話的逆否命題就是不連續一定不可導，二者同真同假。因此又留下一個疑問，如果是連續的，那麼是不是一定可導了呢？顯然也不是的，我們有如下幾個例子。
例1
我們可以帶入到導數的定義式中計算
這個算式的左右極限不一樣，因而該點的極限不存在，進而導數也就不存在。這個函數的圖像如下圖所示
從圖中我們也可以看到，零點處是一個帶尖兒的點，如果想在零這一點做切線的話，從左邊做和從右邊做做出來是兩條不同的直線，因此該點處沒有一條統一的切線，所以也就沒有導數了。這種不可導數點，我們稱之為尖點。
例2
同樣代入到導數的表達式中，我們有
從左右兩邊來看極限都是無窮，因此這一點也是不可導的。它的函數圖像如下圖所示
可以看出來，如果過零點做一條切線的話，是一條豎直線，而豎直線是沒有斜率的，因此也就沒有導數。這種點我們稱之為豎直切線點。
上面兩個例子是我們可以想象出來的，還有一類例子我們非常難以想象，只能靠計算了。
例3
代入到導數的計算公式中可以得到
而這個函數當x趨近於0時是無窮震盪的，因為極限也不存在
，進而不可導，它的圖像如下圖所示：
越接近於零點時震盪得就越劇烈。
其實在歷史上，人們對連續性與可導性的認識經歷了相當漫長的過程。一開始當微積分的發明人牛頓提出導數這個概念時，因為當時人們對函數的認識還不是很清晰，認為函數無非就是一條連續的曲線，那麼過任何一點都是可以做切線的，於是當時人們就認為函數在任何一點都是可導的。
但是後來隨著人們研究的深入，發現了諸如尖點這樣的不可導點，但是依然受限於人們的認識水平，他們認為一條連續的曲線除了個別尖點之外，剩下的應該是處處可導的。函數在某個區間上可導則稱函數這個區間上是光滑的，也就是說當時人們以為對於任何一個函數，它除了少數見點之外，剩下的大部分應該都是光滑的。這其實也很符合我們現在的認知。
但是在1860年，德國數學家魏爾斯特拉斯卻發現了這樣一個函數
經過複雜的證明，可以知道這個函數是處處連續的，但是卻處處不可導。這個發現震驚了當時數學界，徹底顛覆了人們對導數的認識：原來還存在這樣一類函數，它是一條連續的曲線，但是所有點的導數不存在。這一發現又開闢了一個新的研究領域，即處處連續但無處可導的函數，從而也大大加深了人們對函數的認識，在一定程度上為分型理論的提出奠定了基礎。
威爾斯特拉斯(Weierstrass, 1815-1897)
處處連續但處處不可導的函數的例子
參考文獻
[1]. Calculus, early transcendentals, 7ed，James Stewwart，BROOKS/COLE.
[2]. 無處可微的連續函數，劉文，遼寧教育出版社.
數學救火隊長
不是所有函數都可以求導。
可導的函數一定連續；不連續的函數一定不可導。
導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。如果函數的自變量和取值都是實數的話，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。
導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。
不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。然而，。 對於可導的函數f(x)，x↦f'(x)也是一個函數，稱作f(x)的導函數（簡稱導數）。尋找已知的函數在某點的導數或其導函數的過程稱為求導。實質上，求導就是一個求極限的過程，導數的四則運算法則也來源於極限的四則運算法則。
具體理論基礎知識就不多講了，因為這裡不是複習基礎知識的地方。
函數不可導有以下兩個條件：
1、函數在該點不連續,且該點是函數的第二類間斷點。
2、函數在該點連續,但在該點的左右導數不相等。
我要舉幾個典型案例，來說明有些函數不可導。
1.y=|x|在x=0點不可導，幾何圖像上來看，函數在不光滑的地方不可導,上例x=0點就是一個尖點,不光滑不連續的點處不可導。
即使這個函數是連續的,但是lim(x趨向0+)y'=1,lim(x趨向0-)y'=-1，兩個值不相等，所以不是可導函數。 也就是說在每一個點上導數的左右極限都相等的函數是可導函數，反之不是。
其他不可導的函數也都類似這種情況。
2.在分界點曲線發生突變的（包括尖點、角點），如y=tgx,在x=π/2處不可導。
3.個別冪函數，出現尖點的。
如y=x^(2/3)，在x=0處不可導。
還有其他一些不可導的函數，大家可以進一步慢慢認識研究。
風雪武士TCL
首先判斷函數在這個點x0是否有定義，即f(x0)是否存在；其次判斷f(x0)是否連續，即f(x0-), f(x0+), f(x0)三者是否相等；再次判斷函數在x0的左右導數是否存在且相等，即f‘(x0-)=f'(x0+)，只有以上都滿足了，則函數在x0處才可導。
可導的函數一定連續；不連續的函數一定不可導。
可導，即設y=f(x)是一個單變量函數， 如果y在x=x0處存在導數y′=f′(x),則稱y在x=x[0]處可導。
如果一個函數在x0處可導，那麼它一定在x0處是連續函數。
擴展資料：
如果f是在x0處可導的函數，則f一定在x0處連續，特別地，任何可導函數一定在其定義域內每一點都連續。反過來並不一定。事實上，存在一個在其定義域上處處連續函數，但處處不可導。
函數f的圖象是平面上點對
的集合，其中x取定義域上所有成員的。函數圖象可以幫助理解證明一些定理。
如果X和Y都是連續的線，則函數的圖象有很直觀表示注意兩個集合X和Y的二元關係有兩個定義：一是三元組（X,Y,G），其中G是關係的圖；二是索性以關係的圖定義。用第二個定義則函數f等於其圖象。
週期函數有以下性質：
（1）若T（T≠0）是f（x）的週期，則-T也是f（x）的週期。
（2）若T（T≠0）是f（x）的週期，則nT（n為任意非零整數）也是f（x）的週期。
（3）若T1與T2都是f（x）的週期，則
也是f（x）的週期。
（4）若f（x）有最小正週期T*，那麼f（x）的任何正週期T一定是T*的正整數倍。
（5）T*是f（x）的最小正週期，且T1、T2分別是f（x）的兩個週期，則T1/T2∈Q（Q是有理數集）
（6）若T1、T2是f（x）的兩個週期，且T1/T2是無理數，則f（x）不存在最小正週期。
小智教育
可以去查一查狄利克雷函數，看一看它是怎麼回事
touchfishgod
連續不一定可導，可導必定連續
淡然286148474
概念不清，自己去看高數上
發紅包啦趕緊點擊拆開
連續函數才有導數,不連續一定是不可導的.分段函數也是可以求導數的,主要是分段的點要用導數的定義來求,段內直接求導就好,前提這個分段函數是連續的.
