雙木良子
本題，涉及第二次數學危機。本文，涉及兩大物理運動。道理很簡單，恐鴕鳥心態。
無理數與有理數的本質區別
無理數的本質，既不在於是否整除，也不在於是否循環，而在於小數點最後位值的“不定性”與“皆趨零”，即：
末位值ε=a×10⁻ⁿ(a=1,2...9; n→∞)是一個趨近零的未知數，即：
∀εi→0且∀εi≠0且∀εi≈0，
末位的無窮小量εi包括：ε₁=1×10⁻ⁿ, ε₂=2×10⁻ⁿ, ε₃=3×10⁻ⁿ, ε₄=4×10⁻ⁿ, ε₅=5×10⁻ⁿ, ε₆=6×10⁻ⁿ, ε₇=7×10⁻ⁿ, ε₈=8×10⁻ⁿ, ε₉=9×10⁻ⁿ。
這些不確定的無窮小量，正是無理數對間斷點填空的緻密性與連續性的純幾何意義。
事實上，我們只能說n→∞且n≈∞且10⁻ⁿ→0且10⁻ⁿ≈0，因為無窮大與無窮小，既無意義也不存在，或者只存在於純主觀意淫中。
請看圓周率：π=3.1415926...，即：
π=3×10⁰+1×10⁻¹+4×10⁻²+1×10⁻³+5×10⁻⁴+9×10⁻⁶+2×10⁻⁷+6×10⁻⁸+...+a×10⁻ⁿ
只有最後一位的絕對無窮小“ε=a×10⁻ⁿ”，才是無理數的決定值。前面的總和卻是有理數。
我們完全有理由推出：無理數的本質是：有不確定的可逼近零的末位無窮小。
就物理學而言，無理數來自曲線運動軌跡，而曲線運動總是指向某點切線方向，可見：
無理數對應切向二維運動，即：f(r,θ)=re^iθ，有理數對應徑向一維運動，即：f(r)=rtgθ。
曲線運動的切向，取決於曲率半徑，曲率是絕對在變的，故有不定性或無理性。
直線運動的徑向，取決於直線斜率，斜率是相對不變的，故有確定性或有理性。
如果曲率足夠小，即令：re^iθ=rtgθ，有：e^iθ=tgθ=ε，θ=π×10⁻ⁿ(n→∞)→0。
這與lim f(n→∞)=lim sin(10⁻ⁿπ)/(10⁻ⁿπ)=1異曲同工。注意到：x→0, lim(sinx)/x=1。
現在可以討論本問關於圓周長的題設
根據定義，圓周長=直徑×圓周率。
其中，直徑(d)屬於徑向之線性參量，只屬於不為零的有理數(R)，即：d∈R(R≠0)；圓周率(π)是無理數。
顯然，非零有理數×無理數≡無理數。圓周長=非零有理數×無理數≡無理數。
因此，假設圓周長是例如為10的整數，是純屬想當然莫須有的。任何圓周長都是無理數。
因此，假設圓周長是有理數，本身就不成立，如果圓周長是有理數，直徑就只能是無理數，直徑就意味著是切向運動，這顯然是荒唐的。
不過，說“有理數是離散性的，無理數是連續性的”，是純屬理論性的假設或臆斷。
這很容易證明。無理數，除了不確定的末位無窮小，其餘數位值，都是有理數。有理數也可以無限精準到或連續每個非無窮小的每個細節。
小結：
有理數，只能對應徑向運動的直線方程與直徑參量，其斜率是相對不變的物理量。
無理數，只能對應切向運動的曲線方程與周長參量，其曲率是絕對變化的物理量。
無限循環小數的末位是係數明確的無窮小。無限不循環小數的末位是係數不定的無窮小。
明白了有理數與無理數的本質區別，明白了第二次數學危機的根源(見筆者前文)，還惑嗎？
Stop here。物理新視野與您共商物理前沿與中英雙語有關的疑難問題。
物理新視野
首先糾正一個誤區，無限不循環小數，它也是一個確定大小的數，在數軸上可以把它標出來。比如根號2，就是邊長為1的正方形的對角線長度，它就有明確長度，可以用尺規作圖畫出來。
既然圓周率是確定大小的數，所以周長當然可以是整數，拿一條10釐米長的繩子圍成一個圓，周長就是10釐米，因此這個圓直徑就等於10/π釐米，直徑反而變成無理數。
對於題主的問題，只要求周長是整數，並沒有說具體單位，那就更好說了，隨便畫一條線，不管它有多長，比如8.12345釐米，我也可以說它長度就是“10”，隨便畫個圓，我也可以說周長是“10”。數學課上，老師也是經常畫一條線，說它長度是“1”。路程問題，兩地相距100公里，老師徒手畫直線，標上100km，它就代表100km
我還看到前面有網友說，因為無法畫出真正的圓，只能無限逼近，這世界不存在真正的圓，所以圓周率是無理數，云云。這也是完全搞笑的。數學是抽象的，圓的定義就是一個平面內到一個指定點（圓心）距離相等的所有點的集合，這個抽象定義，與你能不能準確畫出來，有一毛錢關係？按這邏輯，這世界也沒有真正的直線、垂直線、平行線。。。，因為你畫不出來嘛。
實際上畫不出真正的圓和直線，不妨礙我們做數學研究，我們考試時在草稿紙上，不也是徒手畫個圈，就當成圓然後進行計算嗎？因為這只是個示意圖啊。
小學數學試題：一個圓周長10釐米，直徑多少？答案當然是（10/π釐米）。難道你還能說：老師，這世界上不存在真正的圓，只能無限逼近，所以你的題目是錯的，我拒絕答題？！
圓周率是無理數、超越數，是這個數字本身的特質，是我們宇宙中的一個常數，不需要別的解釋，無論你能不能畫出準確的圓，π就是這麼大。我們構造一個數1.1011011101111....，這是一個無理數、超越數，它的存在也不需要任何解釋，它就是我憑空構造出來的，它也有確定的大小，你同樣可以在數軸標出它的位置。
tank72
圓周率很早就被嚴格證明為是一個無理數，這意味著圓周率無法用分數表示，而它的小數點後是無限且不循環的。如果圓周率是擁有無數位不循環小數的無理數，那麼，圓的周長可以是有理數（比如整數）嗎？圓的周長又怎麼會是一個確定值呢？
從數學上能夠證明，任意一個圓的周長和直徑之比都是相等的常數，這就是圓周率。反過來，圓周率和直徑的乘積即為圓的周長：
C=πd
如果圓的直徑是有理數，那麼，它與無理數的圓周率相乘之後所得的圓周長必然為無理數。
另一方面，如果圓的直徑是某些特殊的無理數，那麼，圓的周長將會是有理數，甚至整數。只要直徑取以π為分母的數，例如，直徑取10/π，那麼，這個圓的周長為10，所以圓的周長不但可以為有理數，而且還能為整數。
雖然圓周率是算不盡的，但這並不意味著它是不確定的未知數。圓周率就是一個常數，它的數值是完全確定的，它可以在數軸上標註出來，這就像諸如根號2等無理數一樣，因為它們都是實數。既然圓周率是一個確定的常數，那麼，圓的周長自然也能夠依據直徑而確定下來。
需要強調的是，無論是在二進制、十六進制或者其他進制下，圓周率的無理數性質是不會改變的。而如果在π或者nπ進制下，圓周率成為了有理數。在這種情況下，圓的直徑和周長都只能是無理數。
在我們已知的宇宙中，時空本身的構造決定了圓周率就是這樣特殊的無理數。倘若平行宇宙存在，那裡的數學家或許會證明出圓周率是一個有理數，而他們所畫出的圓也很可能會不同於我們宇宙中的圓。
火星一號
這數學學得，我也是無語了。正常的邏輯是，如果有一個確定的長度比如1米做直徑，則圓周長要乘以π，所以是無理數。反之，如果將一個比如10米長的繩子，彎成一個圓周（當然是整數啊），則其直徑長度要由周長除以π，所以也是無理數。換句話說，圓直徑和周長可以一個是有理數，另一個是無理數，但不可能兩個同時是有理數。
姜冠亭
首先，π確實是無理數，這點早已得到證明，懷疑π在很多很多位數開始循環的人可以歇歇了！關於π（其他無理數也是一樣），很多人經常有一個誤解，因為π是無理數（無限不循環小說），很多人會認為π是一個不固定的數或不準確的數！
其實並不是這樣的，π與自然數一樣，都是固定的準確的數，有些人可能會說，既然π是一個固定的數，為何寫不出來呢？
這就是思維的侷限性，完全可以寫出來，它就是π！固定的數並不一定非要用小數表示出來，同理，√2也一樣，它就是√2，一個固定的數。如果你非要用小數表示出來，有理數也並不定都能用小數表示出來，比如1/3，你能用小數表示出來嗎？0.333……，你寫到天荒地老也寫不完！
明白了這點，圓的直徑和周長是無理數還是有理數就不再有任何問題了！
舉個例子，隨便畫一條線段，可以肯定的是這條線段的長度肯定是固定的，這點毫無疑問，是固定的並不意味著一定是有理數，也可以是無理數，比如說理論上你完全可以畫出一條π釐米長的線段，但這並意味著你可以用尺子測量這條線段的精確長度！
比如，我們可以在數軸上畫出π釐米長的線段，當然你無法測量是否真的是π釐米，理論上肯定是存在的，這更多的意味著π對應著數軸上的一個點！
實際上，不要說測量π釐米長的線段，任何長度的線段我們都無法準確測量出，比如說1釐米的線段，你能準確地測量出1釐米的線段嗎？並不能，這就是數學概念和現實的差距，理論與實際的差距！
最後說一點，其實根本不用這麼繞來繞去的分析，只要明白一點，π與任何自然數一樣都是固定的數，這就足夠了，固定的數對應圓的周長或直徑都可以存在，不管是有理數還是無理數！
宇宙探索
提這個問題說明沒有學好幾何學。幾何學中著名的線段公度問題引出了無理數。所謂公度就是尋求給定幾何圖形中不同線段之間的比例關係。如正方形邊與對角線，圓周與直徑等等。尋求兩個線段之間的比例本身就是把其中一個視為基本單位，用於度量另一個線段。一旦無法得到整數度量，就出現循環或不循環小數。pai是指圓周和直徑之間的比例為無理數。而不是說圓周和直徑為無理數。通俗說法就是找不出一把長度穩定的尺子同時度量直徑和圓周，而且尺子長度變化是沒有規律的。祖沖之的割圓術就是說明此現象的。從物理上看，pai是一個與圓有關的無量綱常數，反映了圓的內稟性質。幾何學的線段公度問題深刻反映了用數刻畫空間的複雜性。人類研究各類自然現象發現，引進無理數也不夠，還要引進複數等等。其實用數刻畫自然現象擁有巨大的威力。就現實世界而言，只有兩種情況，有或無，對應著0或1。利用這種簡單的數，現代計算機居然可以描述極其複雜的規則系統，讓職業圍棋手懷疑人生。我們的祖先很早就注意到二進制現象，卦象表達就利用了這個原理。可惜他們沒有深入發掘其中的豐富內涵。
靄秀樺
這個問題其實是我最先發現的，曾經在小範圍裡討論過，沒有人能說出個所以然。問題的本質是，如果按照我們現在的已知，圓周率是個無理數，那麼圓的周長和麵積都有可能是不確定的，那麼這就說明可能沒有真正意義上的圓。而問題是，當我們確定了半徑，一定可以有真正意義上的圓。那麼，我們就應該思考一下，是不是我們對圓周率的計算方法出了問題？因為這個計算方法是從古人那裡來的，現在的數學是不是應該重新探討一下？而不要將疑問一棍子打死。
木子李維明
周長肯定是整數準確的說是個有理數，直徑也是有理數，*派是無理數只不過是數學家非要拿圓的周長來除以圓的直徑所產生的一個奇怪而很有意思的一個數字，表面講直徑乘以一個無理數，應該得出來的也是一個無理數，但是你們要知道周長與直徑是沒有因果關係的，一個直徑x的圓周長剛好就是p，這裡的尺寸都是經過精密儀器測量出來的，但是人們不能每次想知道周長都去用精密儀器去測量，就好比在宇宙天體上的計算根本無法去量，所以數學家就人為的把周長與直徑聯繫起來了，發現圓的周長除以圓的直徑是一個無理數，發現這個規律以後，只要想知道無法測量圓的周長時，科學家只需取派小數點後多少位就可以把周長的精度控制在自己想要的範圍。一個直徑10米圓，周長可以去測量，如果一個直徑一萬千米的圓，周長是沒有辦法測量的，只能通過計算，但是計算出來的誤差可以通過選用小數點後多少位來把周長的誤差控制在，幾十千米，一千米，甚至幾毫米等等量級
風181365739
這個問題很有意思，我來回答一下。
如果對數學有興趣的朋友我推薦大家一本書，叫做《數學分析八講》，這本書是著名的蘇聯數學家、教育學家辛欽寫的，不厚，也幾乎沒有太多的公式，但是仔細讀一下就會對很多數學問題有醍醐灌頂一般的感受。
這個《數學分析八講》中的第一章就詳細說了什麼叫做“連續統”，尤其是關於無理數的概念——事實上無理數這個概念遠比我們想象的要複雜。
人類本質上只知道什麼是“整數”，這些數雖然無限多，但是是這個世界的一種非常明確的計量方法。而有理數就是通過這些整數構建出來的，表示為兩個整數的商。有理數雖然有無限多個，但是依然不能填滿整個數軸。
比如說我們常說的根號二（ √2）就是一個無理數，這個數不能表示為兩個整數的商。不過我們也可以說，其實根號二對我們來說並不是一個陌生的事物，因為根號二這個數字可以跟整數建立起來關係——也就是 √2* √2=2。而這些可以表示為整係數多項式的根的數叫做“代數數”。
從整數，到有理數，到代數數，我們似乎獲得了數不盡的“數”，但是這些數不盡的數就能夠把我們整個數軸填滿嗎？答案是：依然不能填滿。
我們依然可以從數軸上找到一些無理數，這些無理數不是任何整係數多項式的根——也就是我們沒有辦法把這些數通過我們已有的數——整數“構造”出來。比如說圓周率π，比如說一個神奇的數——e。
確實有這些數，但是你沒有辦法把他們跟任何的整數關聯起來，只能說，這是數軸上的一個數字，雖然我們不知道這個數具體是多少，又怎麼通過我們已知的數把這個數字表示出來，但是這個數字確實存在，他的大小近似是3.1415926……。
不可思議並且難以想象，但是這些不能表示但是又存在的數確實是實數的一部分的。
這些數字就是“超越數”，超越數跟代數數之間的加減乘除和各種運算、超越數互相之間的加減乘除和各種運算都被囊括在“實數”內。
比如說，10/π存在嗎？答案是，存在。這個數字就在數軸上，它的大小是
X.XXXXX
……這個數字的特點就是跟π相乘等於10，用這個數字作為圓的直徑的時候，圓的周長是10。
你可能會奇怪，一個無理數10/π跟另一個無理數π相乘，怎麼反而是一個有理數了？這個沒辦法，因為這個數字10/π確實存在，它的唯一定義就是：它是一個“跟π相乘結果等於10”的數，除此之外，沒有任何意義。你不要管這個數字你寫不寫得出來，有多奇怪的性質，但是它就是存在——這就是數學不講理、但是又符合邏輯的地方。
我們需要這個數，這個數字就出現了，我們只知道他在數軸上，但是除此之外對它一無所知——換句話，實數軸就是一個寶庫，我們可以從中找到各種我們需要的東西，因為實數軸是“連續的”，上面有任何我們需要的數。
甚至於你說數軸上有通過有理數、代數數、超越數加在一起還構造不出來的數嗎？這個其實我也不知道，你知道嗎？
所以說，對數學不能較真，或者說數學本來就是超越我們“直觀認識”的存在，有些時候只有定義，而沒有你能夠看到、感受到甚至於構造出來的“實體”。
航小北的日常科普
問題的說法是錯的！
π是無理數，沒錯。但π是無理數不能說周長也是無理數！比如半徑長度為1/兀，周長便為整數2，2不是無理數吧！
對於問問題也問不清的問題，別人怎麼回答你？
重新回到初中，老老實實、紮紮實實學習吧！也可能不現實，你可能沒時間，有時間別人也不一定同意。
建議找來初中數學，仔細閱讀+做習題，不懂的問問初中數學老師。問其他人沒太多用，一則別人可能忘記了，二則沒忘的其表述不一定你聽得懂。
反正要學習，否則腦殘會有後遺症！
數學是培養邏輯思維的重要課程，學好數學可幫助建立嚴密的思維體系。中學沒有邏輯學課程，青少年系統邏輯思維培養幾乎盡在數學中！！
