丘嶽
手算開立方從沒學過，初中的時候的一位老數學老師教過開平方，數學老師還說過，他還會用算盤開平方。
開平方因為很少用，也幾乎快忘了，現在還有大概的印象，舉個例子吧。給65823.0336開平方，類似除法豎式的形式，將被開方數寫在被除數的位置。
從小數點開始往兩邊相鄰兩個數為一組：6＇58＇23＇.03＇36＇。從左往右找平方數最接近第一組的數（2），寫在第一組數的商的位置（為便於敘述，不妨也成為商），下面類似除法寫出平方數（4），6-4＝2，同除法下拉一組數字58為258。然後用商乘以20（2×20＝40），作為除數同除法一樣試商。如是5，與除數相加（40+5＝45）做除數，5做商，45×5＝225，258-225＝33，再下拉一組23為3323。用商乘以20（25×20＝500），作為除數試商，下面同上，大家可自己試一下。
只知道這樣處理，原因一直沒弄明白，在此請教各位朋友！
甜甜向上314159
第三期《最強大腦》播出之後，“中國版雨人”周瑋立即成了焦點。被視為“弱智”，被同學追打的他，卻能算出超複雜的數學難題，這讓他的挑戰充滿了催淚的效果，無數觀眾為他掉下了眼淚。“中度智障”和“數學天才”的雙重身份，也讓周瑋的人生波折不斷，充滿心酸。他能自己推導等差數列等，對自然數的高次冪運算、兩位數、三位數以及四位數之間的相乘，高位數的開平方、開立方、循環小數化分數都會給出準確的答案。下面我們來學習一下怎樣用手算開平方，開立方？雖然看似複雜，但掌握原理後還是容易掌握的。
方法原理
查閱下面已經回答的，感覺筆算原理敘述的不清晰不直觀，這裡通過例題詳細給出筆算
開平方，開立方的方法步驟。
解：第一步，要把被開方數，以小數點為界，每兩個數位來分節，也就是小數點前的個位和十位為一節，百位和千位為一節，以此類推：
第二步，從左到右開始每個小節計算，最左邊第一個小節數字為12，因為我們要開平方，所以首先要找到一個平方數不大於12 的自然數，很顯然就是3 。也就是平方根的首位數為3，然後用第一節數字12-3^2=3，計算結果如下：
第三步，計算第一節餘下的3和第二節34，也就是334，從這一步開始要進行試商，也是開平方根最關鍵的一個步驟。假設平方根的第二位數字為b.
計算過程：334-b*(20*3+b),滿足b*(20*3+b)不大於334，並且取b 為滿足條件的最大自然數，顯然b=5 , 334-5*(20*3+5)=9。
第四步，繼續試商，用前兩節計算餘下的9和後面第三節的56，一起956來試商。過程同上一步，假設開平方根第三位為c
計算過程：956-c*（20*35+c），即c*（20*35+c）不大於956，並且取c 為滿足條件最大自然數，顯然c=1, 956-1*(20*35+1)=255 。
後面按照每一節的順序，逐步依照上面的步驟來試商，就可以求出平方根。
開平方計算的關鍵步驟就是試商，只要掌握試商的過程，就不難求出任何數的平方根，試商的公式就是：b*(20*a+b),a 為前面計算的平方根前n 位，b 為當前小節要求出的平方根，只要滿足b*(20*a+b)不大於前面計算所餘數字加上本小節的數字所組成的數字，並且取滿足條件的最大自然數b，就是本小節計算出來的平方根。
下面我們來研究一下，為什麼開平方根要如此來試商呢？
例如一個兩位數，個位為b，十位為a，則這個兩位數可以寫成10a+b，那麼這個數字的平方就是=100+20ab+,因為我們在計算前每兩位分一小節，所以100就是上一小節，那麼剩餘20ab+=b(20a+b) 。
所以開平方所用的試商方法源自完全平方公式：
第二步，從左往右，從第一小節開始計算，第一小節數字為1，自然數里立方數不大於的最大數字，顯然就是1 。
第三步，計算第二小節，也就是立方根的第二位數字，假設為b，
後面按照每一節的順序，逐步依照上面的步驟來試商，就可以求出立方根。
再繼續延伸一下，我們可以通過二項式定理：
來求出任意高次方根。
話外題，會有更大收穫
1.珠算也可開平方、開立方
作為“律聖”明代皇室後裔朱載堉除了音樂理論的專著《律學新說》外，還專門寫了如何計算這些開方的《算學新說》，也是一位不折不扣的算學家。大多數人認為中國古代的科技成就主要是依靠經驗建立起來的，而缺乏嚴密的數學的定量論證，朱載堉的新法密律似乎可以改變一下這種認識，作為“律聖”他以精準的十二平均律解決了音樂實踐中旋宮轉調的難題（律學新說），同時又是一位嚴謹的數學家，發展了珠算開方術，使樂理與數學進行了完美的結合（算學新說）。
2.九章算術 ,解密自然，預測未來
《九章算術》是戰國、秦、漢封建社會創立並鞏固時期數學發展的總結，就其數學成就來說，堪稱是世界數學名著。例如分數四則運算、今有術（西方稱三率法）、開平方與開立方（包括二次方程數值解法）、盈不足術（西方稱雙設法）、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數運算的加減法則、勾股形解法（特別是勾股定理和求勾股數的方法）等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負數加減法則在世界數學發展上是遙遙領先的。就其特點來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數學完全不同的獨立體系。
《九章算術》“少廣”章有“開方術”和“開立方術”，給出了開平方和開立方的算法。《九章算術》開方術本質上是一種減根變換法，開了後來開更高次方和求高次方程數值解之先河。用現代記號表述，《九章算術》開方術相當於解方程設
容易看出，《九章算術》開方術實際上包含了二次方程的數值求解程序，稱為“開帶從平方法”，它實際上是相繼不斷計算減根變換後新方程係數的程序，顯然，這裡需要知道最簡單的二項展開：
3.華羅庚巧算開立方
據說，我國著名數學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜誌上有一道智力題：一個數是59319，希望求出它的立方根，華羅庚脫口而出地報出答案，鄰座的乘客十分驚奇，忙問計算的奧秘．
一點感慨
離初中數學老師教我們的“開平方”“開三次方”算法，大概已有30多年了，當時記得方法比較繁，有畏難情緒了，心裡有底牴觸，認為學不好了，看到有人麻利去做好了，感覺很不是滋味，疑惑自己笨嗎。
看了一篇文章：《你考不上，是因為給自己留了太多退路》，頗以為然。做事的三種心態：試一試，盡力而為，全力以赴。看後面兩者的差別似乎不大，但產生的結果非常大。此時想起一個故事。一隻獵狗去追趕一隻受傷的兔子。善於奔跑的獵狗，卻沒有追上兔子，後來。獵人問獵狗，獵狗說，我盡力而為了呀。回家之後，兔子媽媽問兔子，你今天受傷了，仍然能夠逃回來，是因為什麼原因？它說我必須全力以赴，不然就沒命了。
看上去不同的態度，後面導致差距很大的結果。人的心理非常奇妙，認為能學好的，果然學好了，為為恐怕學不好的，果然沒有學好，潛意識決定了結果。
中學數學深度研究
先來看一下正運算。
2的2次方等於4。
2的3次方等於子8。等於2的2次方等於4再乘於2等於8。設2為a。則2的3次方等於2aX2=8。
聰明的讀者，按此計算下去，你將得到什麼。望寫到給我的評論下面。開啟你心靈的窗戶，打開你的創造之旅吧。
經常用了
去年我曾在網上發幾個數字，希望學子用手算法開立方，並寫出豎式。有幾個大學生表示試試看。也有的問我會不會。值此機會，把我掌握的開立方手算法介紹給大家。因手機打不出有些內容，只要採用圖片形式，照的不好，請諒解！
張永科38
我是用二分法，例如根號二，首先可以確定是它的平方為2，1^2=1，2^2=4，也就是1~2之間，1.5^2=2.25所以在1和1.5之間，1.25^2=1.5625所以在1.25和1.5之間，1.375^2=1.890625所以在1.375和1.5之間，這種操作重複無數次就會接近根號2
美遊艾德費爾特
手算開平方和開立方，都需試商，原理相同，只是開立方比開平方要複雜一些，同理，理論上還可開五次方、七次方等，但計算量將非常大。
741534266
開平方口訣，20倍初商加試商乘試商。一句話搞定。
鄧丙良
數字立方根手祘練習題，作為數學興趣題，遊戲用，工程計祘可直接查數學用表。
