黄洁仪
在微积分中为什么f(x)dx是小矩形的面积？
要高清这个问题我们先得明白f(x)，dx在函数图像中分别代表什么。
x为函数的自变量，f(x)是自变量x所对应的函数值。
如图所示：
点G(x,f(x))为函数图像上任意一点。dx是自变量的一个微小的变化范围，dx的长度就是图像上线段AB的长度。f(x)是函数在x处的函数值，即GH的长度（若f(x)<0，则其绝对值为GH长度），那么f(x)dx=GH×AB，即图中矩形ABCD的面积，也就是你提问中小矩形的面积。
知道这个小矩形的面积有什么用呢?
实际上，在微积分里边，我们用小矩形ABCD的面积代替曲边梯形ABFE的面积。曲边梯形的面积无法直接计算出来，当AB的长度足够小，也就是dx足够小的时候，曲边梯形ABFE的面积与小矩形ABCD的面积就越接近，当dx趋近于0的时候，他们就相等了。
所以在计算曲线与坐标轴围成图形面积的时候，我们直接在区间（a，b）上对f(x)积分就可以了。
院子三尺三
这种解释是早期莱布尼茨给出的粗略的几何描述。它方便大家形象的去记忆，去用微元法。
但是按照现在的科学的观点，它是不严格的，也是不对的。
现在严格的黎曼积分，是按照达布上下和的确界来定义的。当然还有勒贝格积分，是按照测度的上下确界来定义的。学这些东西需要先学严格的实数理论，极限的一不西龙，德尔塔定义，要花费好长的时间呢。
芙蓉笔
定积分就源自求面积问题
在初等数学中，我们学习了如何求矩形、梯形等的面积，然而在实际生产中，很多情况下我们往往需要求各种曲线围成的图形面积。这样初等数学的知识就不够了。
譬如下面这个曲边梯形,它的三条边是直线，另一条边是曲线，那么我们如何求它的面积呢？
我们知道矩形面积=底*高。而曲边梯形底边ab上的高f（x）是连续变化的，因为f（x）在很小的一段内的变化很小，这就启发我们可以按照图中的方法把曲边梯形分割称为很多长条的矩形，长条矩形的长为f（x），宽为
小矩形的面积就是
当分割无穷多时，
就成了它的微分形式dx，宽度无限小的小矩形面积也就成了f（x）dx。
a梁清a
f(x)代表原函数y值，dx代表x的增量，当曲线被极限分割，每一个dx与对应的y值可以近似为小矩形，矩形面积长乘宽就是f(x)dx
骑乌龟的阿基里斯
这个问题从根本上问出了牛顿—莱布尼兹公式的来由，我只说这么多
