【分析方法導引】
當幾何問題中出現角平分線和平行線的組合關係式，就可以想到要應用等腰三角形的基本圖形進行證明。然後就應用將角的邊的平行線與角平分線及角的另一邊相交或將角平分線的平行線與角的一邊及另一邊的反向延長線相交的方法找到等腰三角形的基本圖形。再應用角平分線、平行線、等腰三角形中任何兩個性質成立就可以推得第三個性質成立的方法來完成分析。
例17 如圖3-59，已知：O是△ABC的外心，AD是高，AE是角平分線。求證：∠OAE=∠DAE。
圖3-59
分析：由條件AE是角平分線，可知∠BAE=∠CAE。而這兩個角都是圓周角，所以可應用圓周角的基本圖形的性質進行證明，但這兩個圓周角由一條邊尚未和圓相交，所以要先將這條邊延長到與圓相交，於是延長AE交⊙O於F（如圖3-60），就可得弧BF=弧CF，即F是弧BC的中點。
圖3-60
由於現在出現了弧的中點，所以可應用弧的中點的性質，也就是應用垂徑定理，但現在圖形中這條垂徑尚未出現，所以應先將它添出，於是聯結OF，即可得OF⊥BC，而已知AD⊥BC，所以又有OF∥AD。而我們要證的結論是AE為∠OAD的角平分線，從而就出現了角平分線和平行線的組合關係，也就必定出現一個等腰三角形的基本圖形。由於OF是角的一邊AD的平行線，所以它應和角的另一邊OA以及角平分線AF相交組成等腰三角形，根據這樣的方法我們就可以找到這個等腰三角形應是△OFA（如圖3-61）。由於現在AF是∠OAD的角平分線是要證明的結論，所以就要轉而先證△OFA是等腰三角形，亦即要先證明OA=OF。由於OA、OF都是⊙O的半徑，當然相等，所以分析就可完成。
圖3-61
本題的分析也可以從另一種可能性來開始進行。要證明∠OAE=∠DAE，而已知∠BAE=∠CAE，所以問題也可以轉化為證∠BAO=∠CAD、由於∠BAO在⊙O中是一個圓周角，但它的一邊AO尚未與⊙O相交（指尚未出現第二個交點），所以應將它延長到與圓相交，也就是延長AO交⊙O於F（如圖3-62）。然而在作出了AF後，就出現AF是⊙O的直徑，從而就可以應用直徑的性質，也就是半圓上的圓周角的基本圖形的性質進行證明，但現在出現了圓的直徑和半圓上的點B（或C），半圓上的圓周角尚未出現，所以應先將這個圓周角添出，也就是聯結BF（如圖3-63），可得∠ABF=90°。而根據條件∠ADC=90°，這樣在△ABF和△ADC中，要證明∠BAF=∠DAC，就可以轉化成要證明∠F=∠C，而這兩個角都是圓周角，且它們所對的弧都是弧AB，所以由A、B、F、C四點共圓，就可以應用圓周角的基本圖形性質證得∠F=∠C，分析就可以完成。
圖3-62
圖3-63
例18 如圖3-64，已知：⊙O、⊙O′外切於A，OO′的延長線交⊙O′於P，PB、PC於⊙O相切於B、C。求證：A是△PBC的內心。
圖3-64
分析：欲證A是△PBC的內心，就應根據三角形內心的定義，證明A是△PBC的兩條角平分線的交點。由於PB、PC與⊙O相切於B、C。且O、A、O′、P共線，故應用切線長定理可得AP平分∠BPC，從而只須證明A也在∠PBC（或∠PCB）的平分線上，於是聯結AB，應證AB平分∠PBC（如圖3-65）。
圖3-65
又因為條件給出⊙O和⊙O′外切於A，這是兩個圓的組合問題，所以可以轉化到一個圓中來討論，而在兩圓外切時，轉化的方法是過切點做兩圓的內公切線，於是過A作兩圓的公切線交PB於F（如圖3-66），可得AF⊥OO′。而根據切線長定理的推論，又有BC⊥OO′，所以FA∥BC，於是又出現了角平分線和平行線的組合關係，所以可得到一個等腰三角形的基本圖形。由於FA是角的一邊BC的平行線，所以它應和角的另一邊BP以及角平分線BA相交組成等腰三角形，於是就可以找到這個三角形應是△FAB。由於現在這條BA是∠CBP的角平分線是要證明的結論，所以問題就要先證這個三角形是等腰三角形，也就是要證明FB=FA。由於它們都是由F點所作的⊙O的切線，所以再應用一次切線長定理就能證得這個性質，分析也就可以完成。
圖3-66
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