原文作者，Kevin Hartnett，量子雜誌資深作家。
翻譯作者，我是崔小白，哆嗒數學網翻譯組成員。
校對，Math001。
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兩位數學家已經證明了兩個不同的無窮其大小是相等的，解決了數學界一個長期存在的問題。他們的證明建立在無窮的大小和數學理論的複雜性之間意外的聯繫上。
在一項顛覆了幾十年傳統智慧的突破中，兩位數學家證明了兩種不同的無窮大實際上大小相等。這一進展涉及到數學中最著名、最棘手的問題之一：自然數的無窮與實數的無窮之間是否存在別的無窮。
這個問題早在一個世紀前就被發現了。當時數學家們知道“實數比自然數多，但不知道多多少。實數的無窮是剛剛好比自然數大的那個無窮，還是它和自然數之間還有別的無窮？”芝加哥大學的馬利亞里斯（Maryanthe Malliaris）說，他與耶路撒冷希伯來大學和羅格斯大學的沙龍·希拉一起合作完成了這項新工作。
在他們的新工作中，馬利亞里斯和希拉（Shelah）解決了一個70年沒解決的相關問題，即一個無窮大(稱為p)是否小於另一個無窮大(稱為t)的大小判定問題。他們證明了兩者實際上是相等的，這讓數學家感到意外。
“當然，無論是我個人觀點，還是之前大家的看法，都認為p應該小於t，”希拉說。
馬利亞里斯和希拉去年在“美國數學學會雜誌”上發表了他們的證明，並在去年七月榮獲了集合論領域的最高獎項之一。然而他們的工作遠遠超出了這兩個無窮數的相關問題。它為無限集合的大小和另一個不同鄰域數學理論複雜性之間開闢了一條意想不到的聯繫通道。
多種無窮
無窮的概念令人費解。那麼會不會存在很多大小不同的無窮呢？這可能是有史以來最違反直覺的數學發現。然而當我們用一個配對的遊戲來解釋的時候，連小孩子都能理解。
假設你有兩組物體，或者兩組“集合”，就像數學家所說的那樣：一組汽車和一組司機。如果每輛車只有一個司機，沒有空車，沒有司機留下，那麼你就知道汽車的數量等於司機的數量(即使你不知道這個數字是多少)。
在19世紀後期，德國數學家喬治·康託在數學的形式語言中領會到了這種匹配策略的精髓。他證明了兩個集合當它們可以一一對應時，它們大小是相同的，或者說它們具有相同的“基數”——即當每輛車只有一個司機時。也許更令人驚訝的是，他證明了這種方法也適用於無限大的集合。
考慮自然數:1、2、3等等。自然數的集合是無限的。但是對於偶數和質數的集合呢?每一個集合起初看起來都是自然數的一個較小的子集。實際上，在數軸上的任何有限長度上，都有大約一半的偶數是自然數，而質數的數目則更少。
然而無限集的表現卻不同。康託表示這些無限集的元素之間存在一一對應關係。
1 2 3 4 5 … （自然數）
2 4 6 8 10 … （偶數）
2 3 5 7 11 … （質數）
正因為如此康託得出的結論是，三個集合都是一樣大。數學家把這個大小的集合稱為“可數的”，因為您可以為每個集合中的每個元素標記一個編號。
在確立無限集的大小之間可以進行一一對應的比較後，康託做出了一個更大的飛躍：他證明了一些無限集其實比自然數集更大。
考慮實數，也就是數軸上的所有點。 實數有時被稱為“連續統”，反映了它們的連續性：在一個實數與下一個實數之間沒有空隙。康託能夠證明實數不能與自然數進行一一對應：即使在創建了一個將自然數與實數相匹配的無限列表之後，總是可以拿出另一個不在你的列表上的編號的實數。 因此他得出結論：實數集合大於自然數集合。於是第二種無窮誕生了：即不可數無窮。
然而有個問題康託始終無法解決，即是否存在一箇中間大小的無窮——介於可數的自然數集的大小和不可數的實數集之間。他認為沒有，這是一個現在被稱為連續統假設的猜想。
在1900年，德國數學家希爾伯特列出了數學中最重要的23個問題。他把連續統假設放在首位。“這似乎在說，我們迫切的想知道這個問題的答案，”馬利亞里斯說。
在這之後的一個世紀，儘管數學家們拼盡全力，這個問題本身已經證明它是史無前例的難以攻克。介於中間的那個無窮存在嗎？ 我們可能永遠都不知道。
力迫法證明
在整個20世紀上半葉，數學家試圖通過研究出現在許多數學領域的各種無限集來解決連續統假設。他們希望通過比較這些無窮大之間的大小，可以開啟對自然數的大小和實數的大小之間可能存在的中間數的間隔的理解。
這些無窮大的大小判定研究，很多被證明對連續統假設沒有用。在20世紀60年代，數學家保羅·科恩解釋了其中的原因。 科恩提出了一種叫做“力迫”的方法，證明了連續統假設獨立於數學公理，也就是說，在集合論的框架內是無法證明的。 （科恩的工作補充了庫爾特·哥德爾1940年的工作，哥德爾的成果表明連續統假設不能用通常的數學公理來否定它。）
科恩的工作成果於1966年為他贏得了菲爾茲獎（數學最高榮譽之一）。數學家隨後用力迫法來解決在前半個世紀中所提出的無窮之間的許多大小判定，表明這些大小判定也不能在集合論框架得到肯定或否定的回答。（具體來說，ZF（策梅洛-弗蘭克爾）集合論加上選擇公理。）
然而有些問題仍然存在，其中包括20世紀40年代提出的關於p是否等於t的問題。p和t都是兩個無窮有序集的大小，它用精確的(而且似乎是唯一的)方法量化了自然數極小子集族的大小。
兩個集合大小的細節並不重要。更重要的是數學家們很快就發現了p和t大小的兩種情況，首先，兩組都比自然數大。第二，p總是小於等於t，因此如果p小於t，那麼p就是一箇中間的無窮——介於自然數和實數的大小之間。那連續統假設便是錯誤的了。
簡單的說說這個問題是什麼：p是一個具有“強有限交性”和沒有“偽交性”的自然數無窮子集合組成集族的最小的無窮，這意味著其中的子集以一個特定的方式相互重疊；t稱為“塔數”並且是按“反向幾乎包含”且沒有“偽交性”的自然數無窮子集合組成的集族的最小大小的有序集合的無窮。
數學家之前傾向於認為p和t之間的關係不能在集合論框架內被證明，但是他們也不能確定問題的獨立性。p和t之間的關係幾十年來一直處於這種未確定的狀態。 直到馬利亞里斯和希拉涉及別的研究領域後，才最終找到了解決辦法。
複雜性的序
當保羅·科恩用力迫法證明了連續統假設在通常的數學框架之外的時候，模型論領域正在開展一項截然不同的工作。
對於模型論家來說，“理論”是定義數學領域的一套公理或規則。你可以將模型論視為一種對數學理論進行分類的方式——對數學源代碼的探索。威斯康星大學麥迪遜分校數學退休教授H·傑羅姆·基斯勒說：“我認為人們有興趣對理論進行分類的原因是他們想要了解一些特定事情在不同數學領域裡發生的真正原因。”
1967年，基斯勒介紹了現在所謂的基斯勒序，這個序關係試圖根據數學理論的複雜性將其進行分類。 他提出了一種衡量複雜性的技術手段，並試圖證明數學理論至少可以分為兩類：最小複雜性和最大複雜性。基斯勒說：“這是一個小起點，但是我的感覺就是這裡有無窮的類。
在基斯勒建立基斯勒序十多年後，希拉發表了一本有影響力的書，其中包括一個重要的章節，證明了複雜性中有自然發生的跳躍——具有較大複雜性的理論與較小複雜性理論之間可能存在一條明確的分割線。而此後30的年，基斯勒序的研究幾乎沒有任何進展。
一個理論具有複雜性，其意義並不總是那麼顯而易見。這個領域的很多工作在某種意義下是如何讓大家直觀的理解這些問題。基斯勒將複雜性描述為一種理論中可能發生的事情的範圍，如果一個理論較之於另一個理論中可能發生的事情越多，我們就說前者理論更復雜。
然後，在她2009年的博士論文和其他早期論文中，馬里亞里斯重新開始了關於基斯勒序的工作，併為其作為分類程序的權提供了新的證據。 2011年，他和希拉開始合作，旨在更好地理解序的結構。 他們的目標之一是依託基斯勒的標準，找到更多的性質，構造出具有最大複雜性的理論。
馬里亞里斯和希拉尤其關注兩個特別的性質。他們已經知道其中一個會導致極大的複雜性。他們想知道另一個是否也如此。隨著他們工作的進展，他們意識到這個問題與p和t是否相等的問題是平行相關的。2016年，馬里亞里斯和沙拉發表了一篇60頁的論文，解決了這兩個問題：他們證明了這兩個特性是具有相同複雜性的(它們都導致了最大的複雜性)，並且證明了p等於t。
“不知不覺中，一切都準備就緒，”馬里亞里斯說。“然後問題就順理成章的解決了。”
今年七月，馬利亞里斯和希拉被授予豪斯多夫獎(Hausdorff Medal)，集合論的最高獎項之一。這項榮譽印證了他們證明是一個令人驚奇的結果，也印證了他們證明的強大力量。因為在集合論的框架內證明p和t不相等是不可能的，大多數數學家曾經期望p可以小於t。馬利亞里斯和希拉證明了兩個無窮大是相等的。 他們的工作也表明，p和t之間的關係比數學家之前知道的要深奧得多。
“我覺得如果有一天人們意外地發現兩個基數相等，那麼該證明可能是令人驚訝的，但那可能是一個簡短而睿智的論證，不涉及建立任何實體的機制。”康奈爾大學的數學家賈斯汀·摩爾（Justin Moore）說到，他發表了一篇有關馬利亞里斯和希拉的證明的概述。
相反，馬利亞里斯和希拉證明了p和t是相等的，通過在模型論和集合論之間開闢一條通路，並已經在這兩個領域開闢了新的研究前沿。他們的研究也最終解決了數學家們希望能夠幫助解決連續統假設的問題。然而專家們的壓倒性的感覺是，無法解決的連續統假設是錯誤的：雖然無窮在很多方面的性質異於常態，如果在已發現的無窮之間沒有更多大小不同的無窮，那麼這太不同尋常了。
澄清：在9月12日，本文進行了修改，以澄清20世紀上半葉的數學家想知道連續統假設是否屬實。 正如文章所述，這個問題在很大程度上取決於保羅·科恩的工作。
我們哆嗒補錄的番外篇：
這篇文章提到的問題叫做極小塔問題(The Minimal Tower Problem),收錄在科學出版社出版的《10000個科學難題(數學卷)》中，我們把這一頁截圖呈上。
遺憾的是我們偶然發現這裡居然有筆誤。這裡兩個箭頭，左邊一個箭頭的α不應該寫在下標位置，應該寫在正常位置。而右邊箭頭的α其實寫錯了，應該是a 。我們已經把這個問題向出版社反饋了。
另外，文章中提到的連續統基數的確定的問題，是一個更加詭譎的問題。這書裡也有介紹，標題叫做《連續統勢確定問題》。
總體來說，這本書是本非常好的收錄當代數學難題的工具書。
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