古今说史

答：从数学角度来看，“∞”若指自然数的个数，那么“∞+1”和“∞”一样大，都是可数的。

在数学中，用测度来表示集合的元素个数，无穷集合也适用，对于研究无穷集合个数的理论，叫做超穷数理论，是德国大数学家康托尔建立的。

需要注意的是：在数学当中，1、2、3、4、5……∞，这里的无穷大并不被看作“数”，而是数的的一种趋势，所以这里的“∞”不能参与运算；如果强制参与运算，必定破坏一些常规的运算法则。

但是“∞”在代指无穷集合个数的时候，即是超穷数理论中，“∞”看作超穷数时，可以参与逻辑运算，专业名称叫做“阿列夫数（ℵ）”。

1、自然数集合个数对应的阿列夫数，叫做阿列夫零，记作ℵ0；

2、实数集合个数对应的阿列夫数，叫做阿ℵ1 ；

3、实数集合的子集对应的阿列夫数，叫做阿ℵ2；

……

其中自然数集合又叫做可数集合，因为里面的数，我们是可以一个一个地数出来的；

实数集合又叫做不可数集合，因为实数我们无法一个一个列举出来；

有了以上概念，我们就知道，“∞”其实有等级之分的，实数就比自然数多。

如果运用超穷数理论的概念，其实无论“∞”指的哪个层次，都有：

“ℵ+1”=“ℵ”；

即是：

“∞+1”=“∞”；

当然，这里的“∞”我们需要看成超穷数才行。

其数学意义是：对于一个无穷集合，其元素增加或者减少有限个，这个无穷集合测度不变。

比如自然数集合｛0、1、2、3……｝，少一个零变成｛1、2、3、4……｝后，两个集合的一一对应关系还是成立的：0→1，1→2，2→3……，不会多也不会少。

好啦！我的答案就到这里，喜欢我们答案的读者朋友，记得点击关注我们——艾伯史密斯！

艾伯史密斯

这个问题早在19世纪就能解决了，德国数学家康托尔于1879年起提出超穷数理论，在此之前他创立了集合论，他从数学上严格证明了“无穷”也是有差别的，并非所有的无穷集合都有相同的大小，无穷的大小也可以比较的。最令人不可思议的是无穷集合的整体可以和自己的一部分一一对应，打破了“部分小于整体”的传统观念。他利用一一对应的原则来比较无穷的大小：我们可以给两组无穷大数列中的各个数一一配对。如果最后这两组都一个不剩，这两组无穷大就是相等的；如果有一组还有些没有配出去，这一组就比另一组大些。举例来说，所有偶数和所有奇数这两个无穷数列，你当然会直觉地感到它们的数目相等，应用上述原则也完全符合，因为这两组数间可建立如下的一一对应关系：

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 等

| | | | | | | | | |

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 等

那么所有整数（奇偶数都在内）的数目和单单偶数的数目，哪个大呢？当然你会直觉地感到前者大一些，因为所有的整数不但包含了所有的偶数，还要加上所有的奇数啊。但这不过是你的印象而已。咱们还用一一对应原则，你会得出什么结果呢？

1 2 3 4 5 6 7 8 等

| | | | | | | |

2 4 6 8 10 12 14 16等

按照上述比较无穷大数的规则，我们得承认，偶数的数目和所有整数的数目是一样大的。这个结论看起来很荒谬的，因为偶数只是所有整数的一部分。但不要忘了，在无穷大世界里，“部分可能等于全部”。

在本题中∞和∞+1属于两个无穷数列，我们很容易用一一对应的原则证明两个无穷大是相等的。因为∞+1⇔∞，对于每一个∞+1总能在∞中找到，反之亦然。

康托尔把无穷大分成几个级别，到目前为止所有的无穷大数只属于头三级，还没有找出更高级的无穷大。第一级：所有整数和分数的数目。第二级：线、面、体上所有几何点的数目。第三级：所有几何曲线的数目。

物原爱牛毛1

无穷大是什么？

无穷大是用来表示一种趋势，或者说极限的形式，并不是一个具体的数字。

通常在说无穷大的时候，我们并不说它是什么驱使下的无穷大，是不太可靠的。

而且你把它当作一个特定的值或是数，进行简单的加减，那是会得到一下意想不到的结构，比如∞ - ∞ （无穷大-去穷大）或得到什么？

零？那可未必

如果吧前一个无穷大计作A后一个计作B的话。A = n*n （n→∞)得到的，而

B= n（n→∞)；两者都满足结果是∞（正无穷），但是A-B的结果是∞，反过来如果前者B后者是A，结果就是-∞（负无穷），如果前后都是A，结果就是0。

无穷是可以比较的

通过上面的例子，你应该可以了解到无穷是可以比较的。但是这样的比较又可能不是你理解意义上的比较。

举个例子：

有两个笼子，A笼子里面有1只鸡，B笼子有9只，那么你说B鸡更多。

但是上述例子里面你却不能这样理解无穷。比如无穷A = n*n （n→∞)和无穷

B= n（n→∞)；我们不能说A比B大是因为B里面的数字更少，实际上B和A里面都有无穷多个数。

那么A和B之间到底差了什么？

答案就是增长的趋势，A的增长趋势比B更快！所以A-B还是无穷大。

兔肉菌

这个问题翻译过来就是著名的“希尔伯特旅馆悖论”。

首先，简单解释一下这个问题的答案，∞是没有简单的大小之比。

再返回头说说“希尔伯特旅馆悖论”，说的是有一家旅馆，旅馆的房间有无穷多个，并且这些房间都客满。这天又来了一位客人，老板安排原来住1号房间的客人住在2号房，原来住2号房的客人搬到3号房，以此类推。这样就空出了1号房给新来的客人，从而旅馆内住下了无穷大+1个客人。

过了几天，这个旅馆又来了无穷多个客人，老板又将1号房的客人安排在了2号房，原2号房的客人安排到4号房，依次将n号房的客人安排到2n号，这样空出奇数号的房间也是无穷多个，刚好可安置新来的无穷多个客人。

怎么样，是不是有点蒙？其实这个悖论并不是我们常说的悖论，只是与我们的常识相悖罢了，因为无限集合与有限集合性质完全不同。无穷多的房间内每个房间都住满依旧可以住下新的客人，∞+1仍是∞，注意这里不是比较这两个的大小。

这就是数学之美吧，有些不是人们熟知的常识中能够找到对应的实例来进行理解的，比如0.999…=1。在集合论里，无穷的“大小”唯一比较方式是他们是否可建立“一一对应的关系”。这里还得说下集合的势的概念，集合的势是度量集合规模大小的属性。不同于有限集合用元素个数度量，无限集合只能用势来度量。两个无限的集合如果存在集合A到集合B的双射，则称集合A和集合B等势。引出了这个定义，我们开篇提到的∞没有简单的大小之分这个说法，就可以准确的描述成∞+1和∞是等势的了。

留白说

题主的这个问题其实就是一个关于无穷的非常著名的故事：希尔伯特旅馆悖论（Hilbert's paradox of Grand Hotel），这也是数学上非常著名的一个悖论。

这个悖论假设了一个旅馆。一个旅馆一天来了一个新客人，旅馆老板说：“虽然我们已经客满，但你还是能住进来的。我让 1 号房间的客人搬到 2 号房间，2 号房间搬到 3 号房间⋯⋯n 号房间搬到 n+1 号房间，你就可以住进 1 号房间了。”又一天，来了无限个客人，老板又说：“不用担心，大家仍然都能住进来。我让 1 号房间的客人搬到 2 号房间，2 号搬到 4 号，3 号搬到 6 号⋯⋯n 号搬到 2n 号，然后你们排好队，依次住进奇数号的房间吧。”这就是德国大数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）提出的著名悖论。每个学过集合论的学生，都应该“拜访”过这个奇妙的希尔伯特旅馆。

心照不宣，意大利数学家伽利略（Galileo Galilei）在他的最后一本科学著作《两种新科学》（Two New Science）中也提到一个问题：正整数集合 {1, 2, 3, 4, ⋯⋯} 和平方数集合 {1, 4, 9, 16, ⋯⋯} 哪个大呢？一方面，正整数集合里包含了所有的平方数，前者显然比后者大；可另一方面，每个正整数平方之后都唯一地对应了一个平方数，两个集合大小应该相等才对。伽利略比较早地使用了一一对应的思想，可惜没有沿着这个思路更进一步思考下去。最后他得出的结论就是，无限集是无法比较大小的。这是伽利略得出的结论，其实就是题主的问题，和以上几位的回答是一致的，无法比较大小（即无穷大的数是否仍然有四则运算？）。

当然，要解决这个问题，应该感谢大数学家乔治·康托（George Cantor），他建立了集合论（set theory），并系统地研究了集合（尤其是无穷集合）的大小，只不过这个大小不是简单地叫做“大小”了，而是叫势（cardinality）。如果两个集合间的元素能建立起一一对应的关系，我们就说它们等势，这也是我们比较集合大小的方式。希尔伯特悖论形象地说明了正整数集合和正偶数集合是等势的。一切和自然数集合等势的集合都称为“可数集合”（countable set），否则就叫做“不可数集合”（uncountable set）。所以，依照康托的理论，无穷大数组成的集合和无穷大加一的数组成的集合是等势的，所以N与N+1建立了对应关系，因此是等势的，不再是单纯的比较大小。

重要的是前人们研究这一问题所做的努力和付出，今天我们都知道地球是圆的，但这并不值得骄傲。

小说I你在异界百鬼夜

∞本身就是表示无法计数的意思了，因此就不存在∞+1的情况。

比较∞和∞+1哪个大也就没有意义。 人的认知会有个极限度，超过一定量级的数字，即便本身仍有很大的差距，都会模糊掉。

比如在一个高级聚会上，很多人都谈论自己的爱车，只有我一个人是坐出租车去的。在我听来，那些奥迪、宝马、玛莎拉蒂、奔驰、法拉利，蓝博基尼……尽管有些车同品牌的也有几十万的亲民版和几百万的限量版，有些车甚至售价高达几千万。但在我眼里都是我买不起的豪车。 →_→

∞无穷大，无论用来描述什么物体，你都无法看到其尽头，也就无法知道它尽头之外还有什么。因此，头条里经常会有同学问宇宙之外还有什么，宇宙对于现在的人类来说，就是无穷大，宇宙之外有什么，谁都不可能给出确切的答案。

∞无穷大，无论用在数学什么公式里，都不会对相应的加减乘除……各种运算产生有效计算。 ∞和∞+1没有哪个更大，哪怕说一样大都是没有意义的。

姝子

从前有这么一个宾馆，里面有∞个房间，都住满了，那也就是有∞个客人，老板刘强西特别开心。

但突然有一个雷雨交加的夜晚，宾馆又来了一个客人，可客房已经住满了，宾馆外面的雨水这么大，这可怎么办呢？

这时，宾馆的数学系实习生“小天”跑出来说：刘老板，你看这样弄，行不行呀——我们让第一个房间的客人住第二个房间，第二个房间的客人住第三个房间，以此类推。所有客人都换完房间以后，让后来的客人住第一个房间。

如此安排后，老板刘强西开心得不得了，又多赚了一间房费。

高兴的摸着实习生“小天”的头说：“小天是我见过最单纯最善良的实习生”.....

But，怎么就突然间多出一间房？

难道∞+1＝∞？

那∞+1＝∞，这个是正确的吗？

对于这个式子，其正确与否听超模君来说一说。

其实，这里的∞并不是用来＋的，就像是0不是用来除的一样。没有意义！

如果你非要定义∞+1，那么∞+1=∞。

同时我们也不能通过这个等式推导出：1=0。

而对于这个问题，为什么大多数人会出现这么大的思维漏洞呢？

主要是大多数人存在着严重认知障碍，并不了解超出常识的极大和极小背后的影响，

就像一个P民们都能理解的例子：

福利彩票的中奖金额从500万增加到5000万，P民购买量不会显著增加；

中奖概率从500万分之一降到5000万分之一，P民购买量也不会显著减少。

因为在P民们看来，500万和5000万都是∞，反之都是ε

PS：在数列极限中，ε是一个正数，非常小的正数，一个假设的数。

这就是智商税的数学基础。

所以说，福利二字，是对彩票发行者而言的。

如此朴素的数量级差别都搞不清楚，就更别说∞和ε了。

首先你得修完数学分析，理解极限的概念。

古人云：一尺之棰，日取其半，万世不竭。

在这里，万世就是∞，不竭就是ε 。

古人又云：哀吾生之须臾，羡长江之无穷。

在这里，长江之无穷，就是∞；而你生之须臾，就是 +1 。

你+1或者不+1，对于真正的∞并没有影响。

就像现在的pm2.5指数一样 700和800根本没差别,吸起来都很香醇

所谓的∞+1，只是一种态度：∞

各位模友，你觉得呢......

超级数学建模

无穷大一般不直接比较大小，而是比较“阶”的高低。如果比较集合的元素个数，则需要用到“势”的概念。

首先说“阶”。

如果f(x)和g(x)都是无穷大，且f(x)/g(x)=0, 则称f(x)是低阶无穷大，g(x)是高阶无穷大；如果f(x)/g(x)=常数，且常数不是零也不是无穷，那么称g(x)和f(x)是等阶无穷大；若f(x)/g(x)=1， 则称二者是等价无穷大。

例如：n趋向于无穷时n^3和n^2相比，n^3是高阶无穷大，n^2是低阶无穷大；2n和3n是等阶无穷大；n和n+1是等价无穷大。

如果认为等价无穷大就是相等，那么无穷和无穷+1相等。

再说“势”

如果两个集合都是无限集合，怎么比较元素的多少呢？如果A和B能够建立一个一一映射，也就是一一对应关系，则称二者等势；如果能从A建立到B一个单射（A中的所有元素都对应到B中的元素，且A中元素不同时，对应到B中的元素也不同），则称B的势不低于A的势。如果B的势不低于A的势，但是A和B不等势（不能建立一一对应关系），则称B的势高于A的势，或者说B中元素多于A中元素。

等势的例子有：全体正数X和全体实数Y集合是等势的。因为可以建立一个X和Y之间的一一对应关系：log(x)=y, 其中x是X中的元素， y是Y中的元素。正偶数集合E={2,4,6,...}和自然数集合N={1,2,3,...}等势，这是因为由公式f(n)=2n所决定的函数f:N→E是一个由N到E的双射。

不等势的例子有：实数集合R的势严格大于自然数集合N的势，因为内含映射i : N →R 是单射的，且可证明不存在一由N到R的一一映射。

从这个观点上看，如果题主中的无穷表示正数集合，无穷加1表示非负整数集合。那么可以建立一一映射如下：

x属于正数，y属于非负数。

若x是整数，则y=x-1;

若x不是整数，则y=x。

如此建立了一个一一映射，因此二者等势。

从两种观点看，无穷和无穷+1都是相等的。

李永乐老师

我从实际运用角度来考虑这个问题。

人体内含有∞细胞，身体覆盖∞多灰尘，但是我们在茫茫人海中只能扮演唯一个体，沐浴后会在思维界定上认为自己香喷喷，这不是主观上的错误，而是∞这个概念，我们未曾应用到实际。

阿姨去超市购物，第一天购物袋清单如下:

卫生纸×3，热狗×2，水果×7，洗发露×1。

第五天购物清单如下:

卫生纸×4（3+1），热狗×3（2+1），水果×9（7+1+1），洗发露×0。

我用最好的话语来作为这篇文章的眼睛。你拥有了世界第一∞的财富，却想追求更富有，无疑最终坠入沼泽；你拥有了万里阳光，却想追求整个太阳，无疑最终烈火焚身；当然你拥有了∞多的知识，却还在追求更多，你就是人类文明的挖掘者与接班人。无论∞+1是否比∞多出几何，只要是好的无污染的精神食粮，我们就要去追求。同时面对∞这个词的诱惑，我们要取其精华弃其糟粕，唯有这样，中华民族的大旗将会一代代传承，始终屹立在文明珠穆朗玛之巅！

举手发言

爱举手的大学生

这实际上已不是一个数学问题了，而是一个哲学问题。

无穷大的概念是数学给出来的，从概念出发，无穷既包括所有，那还怎么＋1呢？因此∞+1是没有意义的。

我们学数学里的无穷大通常是个变量，∞＋1的表述是成立的，从这个角度说∞+1＞∞是永久成立的。

从极限角度考虑，两者比值=1，因此，可以认为两者是相等的。

好了，现在出现3种情况：大于，相等，无意义。这是要闹哪样？

其实，都是数学概念惹的祸，数学世界完美的世界，纵然整个世界是无穷无尽的，但里面的一粒沙尘也不能被忽略。这是数学是最原始的定义。

这个完美世界有没有可能用人类语音完全描述出来？我认为不能。如果能，人已接近神。

无穷小的概念引发了第二次数学危机，无穷大的概念引发了第三次数学危机。第三次数学危机解决了吗？我认为还没有，只是被巧妙回避了。

最后回到原来问题上，我的答案是三种答案都对！答案原本是一团混沌，不同的人得出不同结论，只要世界观不崩塌，则都对！只能说到这里了。

關鍵字: 数学 科学 个数