原文作者，Michael Alba。
翻譯作者，donkeycn，哆嗒數學網翻譯組成員。
校對，小米。
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許多人會對晦澀的符號以及嚴格的數學規則望而生畏，一旦看到一個問題中既有數字又有字母，就會很容易放棄。然而，雖然數學有時可能是困難且難以理解的，但它可以證明的結果有時卻可以是美麗的、令人難以置信的，或僅僅只是出人意料的。就比如如下這些結果：
10、 四色定理
四色定理最先是由一個叫Francis Guthrie的人在1852年發現的。當時他試圖給一幅畫有英國所有郡的地圖著色（這是在互聯網發明之前，根本沒有什麼工具可以使用）。他發現了一些有趣的東西：只需最多四種顏色，他就能確保任何兩個有公共邊界的郡都著不同的顏色。Guthrie想知道這個結論是否對所有的地圖成立，這個問題成了多年來一直沒有解決的數學趣題。
直到1976年（經歷了一個多世紀），這個問題終於被Kenneth Appel和Wolfgang Haken解決了。他們的證明相當複雜並且需依賴於計算機。它指出，在任何政區圖中（比如說，畫有多個國家的地圖），對每個國家進行著色，使得著相同顏色的國家不相鄰，只需要四種顏色就足夠了。
9、 布勞威爾不動點定理
這個定理來自於一個被稱為拓撲學的數學分支，是魯伊茲·布勞威爾發現的。雖然它的專業表述很抽象，但它在現實世界中有許多令人著迷的應用。現在假設我們有一張圖片（例如，蒙娜麗莎），然後我們拿來它的一個副本。我們可以對這個副本做任何我們想做的，放大它，縮小它，旋轉它，把它揉作一團，等等。布勞威爾不動點定理說，無論我們對那個副本做了什麼，只要我們把它放在原始的圖片正上方（且副本在原始的圖片上的投影不超出原始的圖片的範圍），副本上必然存在至少一點，使得該點恰好在它所對應的原始圖片上的相應點的正上方。這個點可能是蒙娜麗莎的眼睛，耳朵，或微笑的一部分，雖然不知道它究竟是哪個點，但它確實是存在的。
這在三維空間中也是成立的：現在想象我們有一杯靜置的水，然後拿起勺子，想怎麼攪拌就怎麼攪拌，然後再等它完全靜止。由布勞威爾不動點定理，將有至少一個水分子，它會恰好位於攪拌前所處於的位置。（哆嗒小編注：意思是這個意思，單用分子舉例子，數學角度看，並不嚴謹。）
8、 羅素悖論
在19、20世紀的世紀之交，很多人著迷於一個被稱為集合論（我們將在後面稍加討論）的新數學分支。簡單地說，集合就是放在一起的一堆東西。當時的觀點是，任何東西都可以構成一個集合：所有種類的水果構成的集合、所有美國總統構成的集合，這些都是完全有效的。另外，有一點很重要，集合可以包含其它集合（如前面句子：所有集合的集合也是集合）。在1901年，著名數學家伯特蘭·羅素意識到這種觀點有一個致命缺陷（並因此導致了第三次數學危機），即：並非任何東西都能構成一個集合。
羅素決定對此進行深入研究，並構造了一個集合，其元素為所有的不以自己作為元素的集合。因為所有的水果構成的集合不包含自己作為元素（估且不論西紅柿算不算水果），所以它屬於羅素構造的那個集合，當然還有許多其它符合該條件的集合。但是羅素構造的那個集合本身又如何呢？如果它不包含自己作為元素，那麼按照它的定義，它就應該包含自己。但是等等……現在它確實包含了它自己，所以按照它的定義，我們自然又得把它拿出來。然後，還是按照它的定義，我們現在又必須把它放回去……等等。這一邏輯悖論導致了集合論（它是當今數學最重要的分支之一）的徹底變革。
7、 費馬大定理
還記得在學校裡學過的畢達哥拉斯定理嗎？它是有關於直角三角形的，說的是：直角三角形中，兩個較短邊的平方和等於最長邊的平方（x² + y² ＝ z²）。皮埃爾·德·費馬最著名的定理是：如果你將上述方程中的指數2換成任何一個大於2的正整數，那麼這一方程就沒有正整數解了（例如，x³ + y³ ＝ z³ 沒有正整數解）。
正如費馬本人所寫的：“我發現了一個絕妙的證明，但書旁邊的空白太窄了，寫不下。”那真是太糟糕了，因為費馬早在1637年就提出這個問題，但它在相當長的一段時間內沒有被證明。在經歷了很長一段時間後，我的意思是，它終於在1995年（在問題被提出了358年之後）由安德魯·懷爾斯所證明。
6、 末日論
此處可以合理地假設這篇文章的大部分讀者都是人類。作為人類，本條目將特別發人深省：數學可以用來推斷我們這個物種可能會在什麼時候滅絕。無論如何，我們得用上概率。
這個論點（已經存在了大約30年，並且已經被發現或重新發現了好幾次）基本上都是在說人類的時間就快到了。一個版本的說法（歸功於天體物理學家J. Richard Gott）出奇地簡單：如果把人類這一物種完整的存續時間看成是一條人類從出現到滅絕的時間線，那麼我們可以來推斷我們現在位於該時間線的何處。
因為“現在”這一時刻只不過是我們作為一個物種、在我們存續時間內的一個隨機的時刻，因此我們可以認為，我們有95%的概率處於該時間線的中間95%的某處。如果我們現在恰好位於該時間線的前2.5%分位點處，那留給我們人類的時間最長。如果我們現在恰好位於該時間線的前97.5%分位點處，那留給我們人類的時間最短。這就讓我們能夠給出人類還能存續多久的一個範圍估計。Gott認為，有95%的概率，人類將會在從現在開始的5100年後到780萬年後之間的某個時刻滅亡。所以，人類啊，該幹嘛幹嘛去吧，最好是趕緊去看看你的人生目標清單上還剩下些什麼。
5、 非歐幾何
你在學校裡學過的、也許還記得的一點點數學大概就是幾何了，甚至也就僅僅是你在筆記裡隨手塗鴉的那些東西。我們大多數人熟悉的幾何叫做歐幾里得幾何，它基於五條相當簡單的、不言自明的關於點和線的公理。這些關於點和線的公理很容易在黑板上表示出來，而且很長一段時間，它被認為是幾何唯一可行的方法。
然而，問題在於，歐幾里得在2000年前提出這些的看似不言自明的真理，並不是在每個人看來都是不言自明的。有一條公理（被稱為平行公設）在數學家們看來有點不一樣，幾個世紀以來許多人試圖用其它公理來推導出它。在18世紀初，人們嘗試了一種大膽的新方法：於是第五公設（即：平行公設）被簡單地替換掉了。然而整個幾何體系並沒有因此崩潰，反而是產生了一種新的、現在被稱為雙曲幾何（或鮑耶—羅巴切夫斯基幾何）的幾何。這導致了科學界徹底的範式轉變，也為許多不同類型的非歐幾何打開了大門。其中比較突出的一個就是黎曼幾何，它被用於描述愛因斯坦的相對論（有趣吧，我們的宇宙居然是不遵循歐幾里得幾何的！）。
4、 歐拉公式
歐拉公式是這篇文章中最強大的結論之一。它歸功於史上最多產的數學家之一：萊昂哈德·歐拉。歐拉一生髮表了800多篇論文，其中很多是他失明之後發表的。
這個結果乍看起來很簡單：e^iπ+1=0。其中e和π都是數學常數，它們經常會出現在各種意想不到的地方，i是虛數單位，它等於-1的平方根。歐拉公式的非凡之處在於：它把數學中最重要的五個數（e，i，π，0和1）組合成了這樣一個優美的等式。物理學家理查德·費曼稱之為“數學中最神奇的公式”，其重要性在於：它把數學的多個方向統一了起來。
3、 通用圖靈機
我們生活在一個由計算機主宰的世界裡。也許你現在也恰好是在計算機上讀這篇文章！說計算機是二十世紀最重要的發明之一估計也沒什麼人會反對，然而你可能會驚奇地發現，計算機起源於理論數學的領域。
數學家（同時也是二戰時的密碼破譯者）艾倫·圖靈發明了一種被稱為圖靈機的理論機器。圖靈機就像一臺非常簡單的計算機：它使用無限長的紙帶以及3種符號（不妨設為0, 1和空白），然後根據一組指令進行運算。指令可以是：
將“0”改為“1”並向左移動一格，或者輸入“空白”並向右移動一格（以上只是舉例子）。這樣，圖靈機就可以用來執行任何定義良好的函數運算。
圖靈接著描述了什麼是通用圖靈機，它是一個能夠模擬其它所有圖靈機的圖靈機且能讀入任意的輸入。這基本上就是存儲程序計算機的概念了。圖靈僅僅只是用了數學和邏輯，就在技術水平發展到可以設計出真正的計算機之前，創立了計算科學領域。
2、 不同層次的無窮
無窮本身已近是個很難掌握的概念了。人類生就也是很難理解像“無限”這樣的概念的。因此，數學家對待無窮一向是謹小慎微的。直到十九世紀下半頁，格奧爾格·康托爾才建立了名為集合論（還記不記得我們在羅素悖論那部分曾提到過它？）的數學分支，有了這一理論才能使康托爾能夠思索無窮的真正本質。康托爾對無窮的研究成果真是令人歎為觀止。
事實證明，對任何一個我們能想象到的無窮，總會存在另一個比我們想象到的那個無窮還要大的無窮。最低層次的那個無窮就是所有正整數（1,2,3…）的個數，這個是可數無窮。隨著一些非常優雅的推理，康托爾確認了存在另一個層次的無窮：所有實數（1，1.001，4.1516，…… 包括了你能想到的任何數）的個數。這種類型的無窮是不可數無窮，這意味著即使你擁有宇宙中所有的時間，你也不可能在不漏掉某些實數的情況下按某個順序列出所有的實數。但是請等一下，按照康托爾的理論，在那個無窮之後還有更多的不可數無窮。那麼到底有多少呢？當然是有無窮多個了。
1、 哥德爾不完備定理
在1931年，奧地利數學家庫爾特·哥德爾證明的兩個定理撼動了整個數學界的核心，因為這兩個定理結合在一起給出了讓整個數學界沮喪的結論：數學是不完備的，而且永遠也不會完備。
技術細節就不贅述了。哥德爾第一不完備定理說的是：對任何形式系統（需包含自然數的系統），總存在該形式系統中的真命題，且該命題在該形式系統內是無法被證明的。然後更本質地，哥德爾第二不完全定理說的是：任何公理體系的無矛盾性都不可能在該公理體系內被證明。永遠不會有一個能包含所有數學理論的封閉的系統，因為我們不可能讓數學體系完備，所以數學體系只能越來越龐大。
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